浙教新版 九年级数学上册 第3章 圆的基本性质 单元测试卷（Word版 含解析）

第3章 圆的基本性质 单元测试卷
一、选择题（共10小题）.
1．（3分）已知⊙O的半径为2，点P到圆心O的距离为，则点P在（　　）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不能确定
2．（3分）如图，⊙O的直径AB，C，D是⊙O上的两点，若∠ADC＝20°，则∠CAB的度数为（　　）
A．40° B．80° C．70° D．50°
3．（3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．8
4．（3分）若正六边形的边长等于4，则它的面积等于（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，⊙O的半径为6cm，四边形ABCD内接于⊙O，连结OB、OD，若∠BOD＝∠BCD，则劣弧的长为（　　）
A．4π B．3π C．2π D．1π
6．（3分）如图，圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（　　）
A．36° B．60° C．72° D．108°
7．（3分）如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB＝8cm，CD＝3cm，则圆O的半径为（　　）
A．cm B．5cm C．4cm D．cm
8．（3分）已知⊙O的直径CD＝4，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝2，则∠ACD等于（　　）
A．30° B．60° C．30°或60° D．45°或60°
9．（3分）如图，一根6m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（　　）
A．9πm2 B．πm2 C．15πm2 D．πm2
10．（3分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB的中点，以E为圆心，ED为半径作半圆，交A、B所在的直线于M、N两点，分别以直径MD、ND为直径作半圆，则阴影部分面积为（　　）
A．9 B．18 C．36 D．72
二、填空题（共8小题）.
11．（4分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝135°，则∠D＝　 　．
12．（4分）圆内接正五边形中，每个外角的度数＝　 　度．
13．（4分）如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为　 　．
14．（4分）如图，在⊙O中，半径OA⊥弦BC．若∠ADC＝24°，则∠OBC的度数为　 　．
15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为x的圆，使点A和点B有且只有一个点在⊙D内，则x的取值范围是　 　．
16．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BC＝3，则⊙O的直径为　 　．
17．（4分）如图，直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），将△AOB连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④，…则第19个三角形中顶点A的坐标是　 　．
18．（4分）如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为　 　．
三、简答题（共38分）
19．（8分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．
（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；
（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．（结果保留π）
20．（10分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC＝∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若∠PBC＝22.5°，⊙O的半径R＝2，求劣弧AC的长度．
22．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当BC＝CE＝2时，求DE的长度．
四、解答题（共2小题，满分0分）
23．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，AC，BC的中点分别是M，N，PQ若MP+NQ＝12，AC+BC＝18，则AB的长为（　　）
A．9 B． C．11 D．15
24．一个半圆形零件，直径紧贴地面，现需要将零件按如图所示方式，向前作无滑动翻转，使圆心O再次落在地面上止．已知半圆的直径为6m，则圆心O所经过的路线与地面围成的面积是　 　m2．（不取近似值）
参考答案
一、选择题（共10小题）.
1．（3分）已知⊙O的半径为2，点P到圆心O的距离为，则点P在（　　）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不能确定
解：∵点P到圆心的距离，小于圆的半径2，
∴点P在圆内．
故选：A．
2．（3分）如图，⊙O的直径AB，C，D是⊙O上的两点，若∠ADC＝20°，则∠CAB的度数为（　　）
A．40° B．80° C．70° D．50°
解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠D＝∠B＝20°，
∴∠CAB＝90°﹣20°＝70°．
故选：C．
3．（3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．8
解：连接BC，
∵∠BOC＝90°，
∴BC为圆A的直径，即BC过圆心A，
在Rt△BOC中，OB＝8，OC＝6，
根据勾股定理得：BC＝10，
则圆A的半径为5．
故选：C．
4．（3分）若正六边形的边长等于4，则它的面积等于（　　）
A． B． C． D．
解：连接正六变形的中心O和两个顶点D、E，得到△ODE，
∵∠DOE＝360°×＝60°，
又∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED＝（180°﹣60°）÷2＝60°，
则△ODE为正三角形，
∴OD＝OE＝DE＝4，
∴S△ODE＝OD?OM＝OD?OE?sin60°＝×4×4×＝4．
正六边形的面积为6×4＝24．
故选：B．
5．（3分）如图，⊙O的半径为6cm，四边形ABCD内接于⊙O，连结OB、OD，若∠BOD＝∠BCD，则劣弧的长为（　　）
A．4π B．3π C．2π D．1π
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠A＝180°，
∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠BCD，
∴2∠A+∠A＝180°，
解得：∠A＝60°，
∴∠BOD＝120°，
∴劣弧BD的长＝＝4π；
故选：A．
6．（3分）如图，圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（　　）
A．36° B．60° C．72° D．108°
解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝108度，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠CBD＝∠BDC＝＝36°，
∴∠APB＝∠DBC+∠ACB＝72°，
故选：C．
7．（3分）如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB＝8cm，CD＝3cm，则圆O的半径为（　　）
A．cm B．5cm C．4cm D．cm
解：连接AO，
∵半径OD与弦AB互相垂直，
∴AC＝AB＝4cm，
设半径为x，则OC＝x﹣3，
在Rt△ACO中，AO2＝AC2+OC2，
即x2＝42+（x﹣3）2，
解得：x＝，
故半径为cm．
故选：A．
8．（3分）已知⊙O的直径CD＝4，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝2，则∠ACD等于（　　）
A．30° B．60° C．30°或60° D．45°或60°
解：连接OA，
∵CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，
∴∠AMO＝90°，AM＝BM＝AB＝＝，
∵AO＝CD＝2，
∴由勾股定理得：OM＝＝＝1，
∴OM＝OA，
∴∠OAM＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠ACD＝60°；
当C和D互换一下位置，如图，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴此时∠ACD＝180°﹣90°﹣60°＝30°；
所以∠ACD＝30°或60°，
故选：C．
9．（3分）如图，一根6m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（　　）
A．9πm2 B．πm2 C．15πm2 D．πm2
解：大扇形的圆心角是90度，半径是6，
所以面积＝＝9πm2；
小扇形的圆心角是180°﹣120°＝60°，半径是2m，
则面积＝＝π（m2），
则小羊A在草地上的最大活动区域面积＝9π+π＝π（m2）．
故选：B．
10．（3分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB的中点，以E为圆心，ED为半径作半圆，交A、B所在的直线于M、N两点，分别以直径MD、ND为直径作半圆，则阴影部分面积为（　　）
A．9 B．18 C．36 D．72
解：根据图形可知阴影部分的面积＝两个小的半圆的面积+△DMN的面积﹣大半圆的面积．
∵MN是半圆的直径，
∴∠MDN＝90°．
在Rt△MDN中，MN2＝MD2+DN2，
∴两个小半圆的面积＝大半圆的面积．
∴阴影部分的面积＝△DMN的面积．
在Rt△AED中，DE＝＝＝3，
∴阴影部分的面积＝△DMN的面积＝＝．
故选：B．
二、填空题（每题3分，共32分）
11．（4分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝135°，则∠D＝　45°　．
解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝135°，
∴∠D＝45°，
故答案为：45°．
12．（4分）圆内接正五边形中，每个外角的度数＝　72　度．
解：360°÷5＝72°．
故答案为：72．
13．（4分）如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为　3　．
解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，
在Rt△AOC中，OA＝5，
∴OC＝＝＝3，
即圆心O到AB的距离为3．
故答案为：3．
14．（4分）如图，在⊙O中，半径OA⊥弦BC．若∠ADC＝24°，则∠OBC的度数为　42°　．
解：∵OA⊥BC，
∴＝，
∴∠AOB＝2∠ADC＝2×24°＝48°，
∴∠OBC＝90°﹣∠AOB＝90°﹣48°＝42°．
故答案为42°
15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为x的圆，使点A和点B有且只有一个点在⊙D内，则x的取值范围是　3＜x≤5　．
解：连接DB，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝90°，
∴BD＝＝5，
∵点A和点B有且只有一个点在⊙D内，
∴点A在圆⊙D内，点D在圆⊙D上或圆⊙D外，
∴3＜x≤5．
故答案为3＜x≤5．
16．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BC＝3，则⊙O的直径为　3　．
解：连接OB、OC，如图，
∵∠BOC＝2∠A＝90°，
而OB＝OC，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴OB＝BC＝，
∴⊙O的直径为3．
故答案为3．
17．（4分）如图，直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），将△AOB连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④，…则第19个三角形中顶点A的坐标是　（72，4）　．
解：∵A（﹣4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝5，
∵△AOB连续作三次旋转变换回到原来的状态，
而19＝3×6+1，
∴第19个三角形的状态与第1个一样，
∴第19个三角形中顶点A的横坐标为6×12＝72，纵坐标是4，
即第19个三角形中顶点A的坐标是（72，4）．
故答案为（72，4）．
18．（4分）如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为　2　．
解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，与MN的交点即为点P，PA+PB的最小值即为A′B的长，连接OA′、OB、OA，
∵A′点为点A关于直线MN的对称点，∠AMN＝30°，
∴∠AON＝∠A′ON＝2∠AMN＝2×30°＝60°，
又∵点B是弧AN的中点，
∴＝，
∴∠BON＝∠AOB＝∠AON＝×60°＝30°，
∴∠A′OB＝∠A′ON+∠BON＝60°+30°＝90°，
又∵MN＝4，
∴OA′＝OB＝MN＝×4＝2，
∴Rt△A′OB中，A′B＝＝2，即PA+PB的最小值为2．
故答案为：2．
三、简答题（共38分）
19．（8分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．
（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；
（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．（结果保留π）
解：（1）如图所示：△AB′C′即为所求；
（2）∵AB＝＝5，
∴线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积为：＝π．
20．（10分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．
解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC，
∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，∠AOD＝∠B＝70°．
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO＝（180°﹣∠AOD）＝（180°﹣70°）＝55°，
∴∠CAD＝∠DAO﹣∠CAB＝55°﹣20°＝35°；
（2）在直角△ABC中，BC＝＝＝．
∵OE⊥AC，
∴AE＝EC，
又∵OA＝OB，
∴OE＝BC＝．
又∵OD＝AB＝2，
∴DE＝OD﹣OE＝2﹣．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC＝∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若∠PBC＝22.5°，⊙O的半径R＝2，求劣弧AC的长度．
解：（1）∵∠PBC＝∠D，∠PBC＝∠C，
∴∠C＝∠D，
∴CB∥PD；
（2）连结OC，OD．
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴＝，
∵∠PBC＝∠DCB＝22.5°，
∴∠BOC＝∠BOD＝2∠C＝45°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝135°，
∴劣弧AC的长为：＝．
22．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当BC＝CE＝2时，求DE的长度．
【解答】（1）证明：∵OD⊥AC，
∴＝，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD平分∠ABC；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD⊥AC，
∴AE＝CE＝2，
在Rt△ABC中，AB＝＝2，
∴OD＝，
∵AE＝CE，OA＝OB，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE＝BC＝1，
∴DE＝﹣1．
四、解答题（共2小题，满分0分）
23．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，AC，BC的中点分别是M，N，PQ若MP+NQ＝12，AC+BC＝18，则AB的长为（　　）
A．9 B． C．11 D．15
解：连接OP，OQ，
∵DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q，
∴OP⊥AC，OQ⊥BC，
∴H、I是AC、BD的中点，
∴OH+OI＝（AC+BC）＝9，
∵MH+NI＝AC+BC＝18，MP+NQ＝12，
∴PH+QI＝18﹣12＝6，
∴AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI＝9+6＝15，
故选：D．
24．一个半圆形零件，直径紧贴地面，现需要将零件按如图所示方式，向前作无滑动翻转，使圆心O再次落在地面上止．已知半圆的直径为6m，则圆心O所经过的路线与地面围成的面积是　π　m2．（不取近似值）
解：圆心O先以A为圆心、以3m为半径，圆心角为90°的弧OO1，接着圆心O从O1平移到O2，且O1O2的长为半圆的长，然后圆心O以B为圆心、以3m为半径，圆心角为90°的弧O2O3，
所以圆心O所经过的路线与地面围成的面积＝S扇形AOO1+S矩形ABO2O1+S扇形BO2O3
＝+3??2π?3+
＝π（m2）．
故答案为π．