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第四章：相似三角形培优训练试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：D
解析：∵，
∴=+1=+1=．
故选D．
2.答案：B
解析：∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∵，∴
∴
故选：B．
3.答案：B
解：∵四边形EFGH是正方形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴．
设AN=x，则EF=FG=DN=60-x，
∴
解得：x=20
所以，AN=20．
故选：B．
4.答案：A
解析：在第一个直接三角形中，若m是直角边，则，
若m是斜边，则；
在第二个直接三角形中，若n是直角边，则，
若n是斜边，则；
又因为两个直角三角形不相似，故m=5和n=10不能同时取，
即当m=5，，，
当，n=10，，
故选：A．
5.答案：C
解析：∵四边形ABCD是矩形，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，，
，
同理可证，，
，，，
，
故选：C．
6.答案：C
解析：过作GN⊥BC于N，交EF于Q，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴△EFG∽△CBG，
∵，
∴EF：BC=1：2，
∴GN：GQ=BC：EF=2：1，
又∵NQ=CD=6，
∴GN=4，GQ=2，
∴S△BCG=×10×4=20，
∴S△EFG=×5×2=5，
∵S矩形BCDA=6×10=60，
∴S阴影=60-20-5=35．
故选：C．
7.答案：B
解：在矩形ABCD中，是等边三角形，
∴∠DAB=90°，∠EAB=60°，
∴∠DAE=90°-60°=30°，
故A说法正确；
若∠BAC=45°，则AB=BC，
又∵AB=BE，
∴BE=BC，
在△BEC中，BE为斜边，BE＞BC，
故B说法错误；
设EC的长为x，
易得∠ECB=30°，
∴BE=2EC=2x，BC=，
AB=BE=2x，
∵DC∥AB，
∴∠ECA=∠CAB，
又∵∠EFC=∠BFA，
∴△ECF∽△BAF，
∴，
故C说法正确；
AD=BC=，
∴，
故D说法正确．
故选：B
8.答案：B
解析：设截成的两边的长分别为xcm、ycm，
若从60cm长的木条上截取，
∵x+y≤60<120，
∴不符合题意；
若从120cm长的木条上截取，
①当60cm与75cm是对应边时，
∵两三角形相似，
∴，
解得x=80，y=96，
∵80+96=176cm>120cm，
∴此种情况不符合题意；
②当60cm与100cm是对应边时，
∵两三角形相似，
∴，
解得x=45，y=72，
∵60cm
<45+72=117cm<120cm，
∴从120cm长的木条截取45cm和72cm两根木条；
③当60cm与120cm是对应边时，
∵两三角形相似，
∴，
解得x=37.5，y=50，
∵60cm
<37.5+50=87.5cm<120cm，
∴从120cm长的木条截取37.5cm和50cm两根木条；
综上所述，共有两种截法：方法一：从120cm长的木条截取45cm和72cm两根木条，方法二：从120cm长的木条截取37.5cm和50cm两根木条．
故选B．
9.答案：B
解析：如图所示，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，
∵BF⊥CD，
∴∠CFB＝90°，
∴∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC＝∠CFB＝90°，
∴△ACE∽△CBF，
∴，
∵FB＝FE＝2，FC＝1，
∴CE＝CF+EF＝3，BC＝，
∴，
∴，
故选：B．
10.答案：C
解析：直线与反比例函数的图象交于点，
解求得，
的横坐标为2，
如图，过C点、A点作y轴垂线，
OA//BC，
∴，
∴，
，
∴，
∴，解得=1，
的横坐标为1，
把代入得，，
，
将直线沿轴向上平移个单位长度，得到直线，
把的坐标代入得，求得，
故选：．
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，
∵是的中点，
∴OE是△DCB的中位线，
∴OE//BC，OE=BC，
∴△DEO∽△DCB，
∴△DEO：△DCB=．
12.答案：20
解析：设投影三角尺的对应边长为xcm,
∵三角尺与投影三角尺相似,
∴8：x＝2：5,
解得x＝20.
答案为：20
13.答案：
∵四边形是矩形
∴∠BAD=，BC=AD=8，AB=CD=6
∴在ABD中，BD=
∴FD=BD?BF=10?y
又∵ADBC
∴FEDFBC
∴
∴
∴
故答案为
14.答案：8
解析：如图，过点B作轴，设，则，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∵D为OB的中点，
∴，
∴，
即，解得，
∴k的值为8，
15.答案：16
解析：∵
∴AD∥BC，AB//DF
∴∠DAE=∠BEA
∵∠DAE=∠BAE
∴∠BAE=∠BEA
∴BE=AB=10,即EC=BC-BE=5
∵BG⊥AE
∴AG=EG=AE
∵在Rt△ABG中，AB=10,BG=8
∴
∴AE=2AG=12
∴△ABE的周长为AB+BE+AE=10+10+12=32
∵AB∥DF
∴△ABE∽△FCE且相似比为
∴
,解得=16．
16.答案：①②③④
解析：①∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形
∴∠EAG=∠BAD=90°
又∵∠EAB=90°-∠BAG，∠GAD=90°-∠BAG
∴∠EAB=∠GAD
∴①正确
②∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形
∴AD=DC，AG=FG
∴AC=AD，AF=AG
∴，
即
又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC
∴∠DAG=∠CAF
∴
∴②正确
③∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线
∴∠AFH=∠ACF=45°
又∵∠FAH=∠CAF
∴△HAF∽△FAC
∴
即
又∵AF=AE
∴
∴③正确
④由②知
又∵四边形ABCD为正方形，
AC为对角线
∴∠ADG=∠ACF=45°
∴DG在正方形另外一条对角线上
∴DG⊥AC
∴④正确
故正确答案为：①②③④
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17解析：（1）证明：因为四边形ABCD是矩形
所以
，
(2)解：
18.解析：设正方形的边长为x
mm，
则AI＝AD﹣x＝80﹣x，
∵EFHG是正方形，
∴EF∥GH，
∴△AEF∽△ABC，
∴,
即，
解得x＝48
mm，
∴这个正方形零件的边长是48mm．
19解析：（1）证明：∵是的垂直平分线，
∴．
∵矩形，
∴即
∴．
在和中
∴．
(2)解：由勾股定理
∵MN是AC的垂直平分线
∴
∵
∴
∵
∴∽，
∴，即
解得．
20解析：（1）∵E是AC的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又，即，
四边形AFCD是平行四边形；
（2）∵，
∽，
，即，
解得：，
四边形AFCD是平行四边形，
，
．
21.解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCG=90°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠FCG=∠DCG=45°，
∵∠G=90°，
∴∠GCF=∠CFG=45°，
∴FG=CG，
∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，
∴∠B=∠G=∠AEF=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEG=90°，
∴∠BAE=∠FEG，
∵∠B=∠G=90°，
∴△BAE∽△GEF；
（2）∵AB=BC=10，CE=2，
∴BE=8，
∴FG=CG，
∴EG=CE+CG=2+FG，
由（1）知，△BAE∽△GEF，
∴，
∴，
∴FG=8，
∴S△ECF=CE?FG=×2×8=8；
（3）设CE=x，则BE=10-x，
∴EG=CE+CG=x+FG，
由（1）知，△BAE∽△GEF，
∴，
∴，
∴FG=10-x，
∴S△ECF=×CE×FG=×x?（10-x）=，
当x=5时，S△ECF最大=，
∴当EC=5时，的面积最大.
22.解析：（1）∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
故答案为：，；
（2）设直线AB的解析式为，将，代入得：
，解得，
∴，
由题意可知点N的纵坐标为1，
∴令得，解得，
∴；
（3）∵动点从开始以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动，运动的时间为t秒，
∴到OB的距离为t，
∴的高为，
∴与的高之比为，
∵，
∴，
∴，即；
（4）当时，，
∴，
∴，
23.解析：（1）设OB＝t，则OA＝2t，则点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），
则x＝＝（2t﹣t），解得：t＝1，
故点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）对于y＝﹣x2+x+2，令x＝0，则y＝2，故点C（0，2），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+2，
设点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），
则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，
∵﹣1＜0，故DF有最大值，此时m＝1，点D（1，2）；
（3）存在，理由：
点D（m，﹣m2+m+2）（m＞0），则OD＝m，DE＝﹣m2+m+2，
以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，
则或，即＝2或，即＝2或，
解得：m＝1或﹣2（舍去）或或（舍去），
故m＝1或．
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精品试卷·第
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第四章：相似三角形培优训练试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.已知，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
2.如图，在中，，四边形的面积为21，则的面积是（
）
A．
B．25
C．35
D．63
3.如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
4.已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，，且这两个直角三角形不相似，则的值为（
）
A．或
B．15
C．
D．
5.如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
6.如图，在矩形中，点在边上，和交于点若，则图中阴影部分的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
7.如图，在矩形中，是上的一点，是等边三角形，交于点，则下列结论不成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
8.一个三角形支架三条边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm，120cm的两根木条，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（
）
A．一种
B．两种
C．三种
D．四种
9.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F．若FB＝FE＝2，FC＝1，则AC的长是（
）
A．
B．
C．
D．
10.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，将直线
y＝x沿y轴向上平移b个单位长度，交y轴于点B，交反比例函数图象于点C．若OA＝2BC，则b的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.如图，平行四边形的对角线，相交于点，是的中点，则与的面积的比等于________________
12.如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为_____________
13.如图，矩形中，，点E在边上，与相交于点F．设，，当时，y关于x的函数解析式为________________
14.如图，A，B是双曲线上的两个点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为C，若△ODC的面积为1，D为OB的中点，则k的值为_______________
15.如图，在中，的平分线交于点交的延长线于点于点，若，则的周长为_______________
16.如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的为____________(填序号）
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17（本题6分）如图矩形ABCD中，AB=20，点E是BC上一点，将沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上的点G处，点F在DG上，将沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时．（1）求证：；（2）求AD的长；
18（本题8分）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．
19（本题8分）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别与边和边的延长线交于点，，与边交于点，垂足为点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长，
20（本题10分）如图，在中，过点C作，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．（2）若，，，求AB的长．
21(本题10分）如图，已知边长为10的正方形是边上一动点（与不重合），连结是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若．
（1）求证：；（2）若，求的面积；
（3）请直接写出为何值时，的面积最大．
22（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点是坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，动点从开始以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动，设运动的时间为t秒（），过点作轴，分别交于点，．
（1）填空：的长为_____，的长为____；（2）当时，求点的坐标：
（3）请直接写出的长为_____（用含的代数式表示）；
（4）点是线段上一动点（点不与点重合），和的面积分别表示为和，当时，请直接写出（即与的积）的最大值为__________．
23（本题12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
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