3.4圆周角(2)

(共17张PPT)
3.4 圆周角 (2)
1、圆周角的定义：
2、圆周角定理：
顶点在圆上，两边都与圆相交的角。
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
3、圆周角定理的推论1：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 900的圆周角所对的弦是直径。
旧知回放:
圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
A
B
C
O
A
B
C
O
用于判断某个圆周角是否是直角
用于判断某条线是否过圆心
1.下列命题中是真命题的是（ ）
（A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。
（B）60 的圆周角所对的弧的度数是30
（C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。
（D）120 的弧所对的圆周角是60
2.如右图，⊙O中，∠ACB = 130 ， 则∠AOB=______。
36 或144
100
D
B
A
O
C
课前检测
3.一弦分圆周成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则这弦所对的圆周角度数为
____________
问题: 如图,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系 为什么
∠B = ∠D= ∠E
●O
B
A
C
D
E
圆周角定理的推论2：
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
用于找相等的角
用于找相等的弧
做一做：
·
·
Ｃ
Ｄ
Ａ
Ｂ
O
１
２
３
如图，四边形ＡＢＣＤ内接于⊙O．找出图中分别与∠１， ∠２ ，∠３相等的角．
练习：
如图，P是△ABC的外接圆上的一点
∠APC=∠CPB=60°. 求证：△ABC是等边三角形
·
·
A
P
B
C
O
∴∠ABC=∠APC=60°
(同弧所对的圆周角相等）
∴∠BAC=∠CPB=60°。
∴△ABC等边三角形。
证明：∵∠ABC和∠APC
都是 所对的圆周角。
AC
⌒
同理，∵∠BAC和∠CPB都是 所对的圆周角，
BC
⌒
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,
以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
求证：⌒　⌒
BD=DE
证明：连结AD.
∵AB是圆的直径，点D在圆上，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD平分顶角∠BAC， 即∠BAD=∠CAD，
∴ ⌒ ⌒
BD= DE
（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等）.
A
B
C
D
E
Ｏ.
Q’
P’
A
B
M
Q
P
例1：如图，AB是圆的 一条弦，M是圆上一点，P是圆内一点，Q是圆外一点，点P,Q,M在直线AB同一侧。 求证（1） ∠APB> ∠AMB(2) ∠AQB< ∠AMB
总结：某一条弦所在直线同侧的圆内角大于圆周角，圆外角小于圆周角。
同时也告诉我们判断点与圆的位置关系的另一种方法，即在弦所在直线同侧的前提下，当点到弦的两端的张角大于弦所对的圆周角时，点在圆内；当张角等于弦所对的圆周角时，点在圆上；当张角小于弦所对的圆周角时，点都在圆外。
　船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。如图A,B表示灯塔，暗礁分布在经过A,B两点的一个弓形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁。
弓形所含的圆周角∠C=50°,问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区
一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工湖的直径.
A
B
C
C
A
B
２.说出命题“圆的两条平行弦所夹的弧相等”
的逆命题.原命题和逆命题都是真命题吗
请说明理由
如图:AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,G是⌒上任意一点,延长AG,与DC的延长线相交于点F,连接AD,GD,CG,找出图中所有和∠ADC相等的角,并说明理由.
AC
A
B
D
G
F
C
E
O
1.如图,⊙O中,AB是直径,半径CO⊥AB,D是CO的中点,DE // AB,求证:
A
B
E
O
D
C
EC=2EA.
⌒　⌒
2.已知BC为半圆O的直径，AB=AF,AC交BF于点M，过A点作AD⊥BC于D，交BF于E，则AE与BE的大小有什么关系？为什么？
小结
1、本节课我们学习了哪些知识？
2、圆周角定理及其推论的用途你都知道了吗？