2020年秋浙教版九年级数学上册第3章《圆的基本性质》专训1　圆中常见的计算题型(Word版 含答案)

专训1　圆中常见的计算题型
名师点金：
与圆有关的计算主要涉及圆与其他几何图形结合，利用圆周角定理求角度，利用垂径定理构造直角三角形并结合勾股定理，已知弦长、弦心距、半径三个量中的任意两个量时，可求出第三个量，利用弧长、扇形面积公式计算弧长、扇形面积等．
有关角度的计算
1．如图，⊙I是△ABC的内切圆，D，E，F为三个切点．若∠DEF＝52°，则∠A的度数为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．76°
B．68°
C．52°
D．38°
(第1题)
　　　　
(第2题)
2．如图，有一圆经过△ABC的三个顶点，且弦BC的中垂线与相交于D点．若∠B＝74°，∠C＝46°，则所对圆心角的度数为(　　)
A．23°
B．28°
C．30°
D．37°
3．如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD.
(1)求证：△ABD≌△CDB；
(2)若∠DBE＝37°，求∠ADC的度数．
(第3题)
半径、弦长的计算
4．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB＝2
cm，∠BCD＝22°30′，则⊙O的半径为________．
(第4题)
　　　
(第5题)
5．如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD＝OB，DC切⊙O于点C，点B是的中点，弦CF交AB于点E.若⊙O的半径为2，则CF＝________.
6．如图，在⊙O中，直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OD＝30
cm.求直径AB的长．
(第6题)
面积的计算
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F.
(1)求证：DF⊥AC；
(2)若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．
(第7题)
专训2　圆中常用的作辅助线的方法
名师点金：
在解决有关圆的计算或证明题时，往往需要添加辅助线，根据题目特点选择恰当的辅助线至关重要．圆中常用的辅助线作法有：作半径，巧用同圆的半径相等；连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等；作直径，巧用直径所对的圆周角是直角；证切线时“连半径，证垂直”以及“作垂直，证半径”等．
作半径，巧用同圆的半径相等
1．如图，两正方形彼此相邻，且大正方形ABCD的顶点A，D在半圆O上，顶点B，C在半圆O的直径上；小正方形BEFG的顶点F在半圆O上，E点在半圆O的直径上，点G在大正方形的边AB上．若小正方形的边长为4
cm，求该半圆的半径．
(第1题)
连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等
2．如图，圆内接三角形ABC的外角∠ACM的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BM，垂足为H，求证：AP＝BH.
(第2题)
作直径，巧用直径所对的圆周角是直角
3．如图，⊙O的半径为R，弦AB，CD互相垂直，连接AD，BC.
(1)求证：AD2＋BC2＝4R2；
(2)若弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根(AD>BC)，求⊙O的半径及点O到AD的距离．
(第3题)
证切线时辅助线作法的应用
4．如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D.判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
(第4题)
遇弦加弦心距或半径
5．如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为(　　)
A．3
B．4
C．3
D．4
(第5题)
　　　　
(第6题)
6．如图，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于点H，点P是优弧上一点，若AB＝2，OH＝1，则∠APB＝________.
遇直径巧作直径所对的圆周角
7．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D是BC的中点．
(1)求证：△ABC为等边三角形．
(2)求DE的长．
(第7题)
遇切线巧作过切点的半径
8．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB.
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)已知PA＝，∠ACB＝60°，求⊙O的半径．
(第8题)
巧添辅助线计算阴影部分的面积
9．如图，点B，C，D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，且∠CDB＝∠OBD＝30°，DB＝6
cm.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)求由弦CD，BD与所围成的阴影部分的面积(结果保留π)．
(第9题)
专训3　圆的实际应用
名师点金：与圆有关的知识在实际生活中有着广泛的应用，从实际生活中抽象出数学问题，并运用圆的相关知识解决这些问题，可以达到学以致用的目的．
利用垂径定理解决台风问题
1．如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30
km/h，受影响区域的半径为200
km，B市位于点P北偏东75°的方向上，距离P点320
km处．
(1)试说明台风是否会影响B市；
(2)若B市受台风的影响，求台风影响B市的时间．
(第1题)
利用圆周角知识解决足球射门问题(转化思想)
2．如图，在“世界杯”足球比赛中，队员甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同伴队员乙已经助攻冲到B点，现有两种射门方式：一是由队员甲直接射门；二是队员甲将球迅速传给队员乙，由队员乙射门．
从射门角度考虑，你认为选择哪种射门方式较好？为什么？
(第2题)
利用直线与圆的位置关系解决范围问题
3．已知A，B两地相距1
km.要在A，B两地之间修建一条笔直的水渠(即图中的线段AB)，经测量在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处有一个以C为圆心，350
m为半径的圆形公园，则修建的这条水渠会不会穿过公园？为什么？
(第3题)
利用圆锥侧面展开图解决材料最省问题
4．如图，某工厂要选一块矩形铁皮加工成一个底面半径为20
cm，高为40
cm的圆锥形漏斗，要求只能有一条接缝(接缝忽略不计)，请问：选长、宽分别为多少厘米的矩形铁皮，才能使所用材料最省？
(第4题)
专训4　与圆有关的动态问题
名师点金：
对于与圆有关的运动情形下的几何问题，在探究求值问题时，通常应对运动过程中所有可能出现的不同情形进行分析，如果符合某些条件的点、线等几何图形不唯一，要注意分类讨论，在探究确定结论成立情况下的已知条件时，可以把确定结论当作已知用．
利用圆探究运动中形成的特殊几何图形问题
1．如图，AB是半圆O的直径，BC是弦，点P从点A开始，沿AB向点B以1
cm/s的速度移动，若AB长为10
cm，点O到BC的距离为4
cm.
(1)求弦BC的长；
(2)经过几秒△BPC是等腰三角形？(PB不能为底边)
(第1题)
2．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.
(1)点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；
(2)在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q，O，A，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(第2题)
利用圆探究运动中的特殊位置关系问题
3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝12
cm，AD＝8
cm，BC＝22
cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1
cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2
cm/s的速度运动，P，Q分别从点A，C同时出发．当其中一动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t
s．当t为何值时，PQ与⊙O相切？
(第3题)
利用圆探究运动中的面积问题
4．如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC＝4，∠OAC＝60°.
(1)求∠AOC的度数；
(2)如图，一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动，当S△MAO＝S△CAO时，求动点M所经过的弧长．
(第4题)
专训5　几种常见的热门考点
名师点金：
圆的知识是初中数学的重点内容，也是历年中考命题的热点．本章题型广泛，主要考查圆的概念、基本性质以及圆周角定理及其推论，直线与圆的位置关系，切线的性质和判定，正多边形与圆的计算和证明等，通常以这些知识作为载体，与函数、方程等知识综合考查．
垂径定理及其推论的应用
1．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
(第1题)
　　　　
(第2题)
2．如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分．如果水面AB的宽为8
cm，水的最大深度为2
cm，那么该输水管的半径为(　　)
A．3
cm
B．4
cm
C．5
cm
D．6
cm
圆心角与圆周角
3．如图所示，AB是⊙O的直径，AB⊥弦CD于点E，∠BOC＝70°，则∠ABD＝(　　)
A．20°
B．46°
C．55°
D．70°
(第3题)
　　　　
(第4题)
4．如图，A，B，C，D四个点均在⊙O上，∠AOD＝70°，AO∥DC，则∠B的度数为(　　)
A．40°
B．45°
C．50°
D．55°
5．如图所示，C为半圆上一点，＝，过点C作直径AB的垂线CP，P为垂足，弦AE交PC于点D，交CB于点F.求证：AD＝CD.
(第5题)
点、直线与圆的位置关系
6．已知⊙O的半径为4
cm，A为线段OP的中点，当OP＝7
cm时，点A与⊙O的位置关系是(　　)
A．点A在⊙O内
B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外
D．不能确定
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3
cm，BC＝4
cm，以点C为圆心，r为半径作圆，若⊙C与直线AB相切，则r的值为(　　)
A．2
cm
B．2.4
cm
C．3
cm
D．4
cm
8．设⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离OP＝m，且m使得关于x的方程2x2－2x＋m－1＝0有实数根，则直线l与⊙O(　　)
A．相离或相切
B．相切或相交
C．相离或相交
D．无法确定
切线的判定与性质
(第9题)
9．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连结OC交⊙O于点D，连结BD，∠C＝40°，则∠ABD的度数是(　　)
A．30°
　　　　B．25°
C．20°
　　　　D．15°
10．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D，连结AD并延长，与BC相交于点E.
(1)若BC＝，CD＝1，求⊙O的半径；
(2)取BE的中点F，连结DF，求证DF是⊙O的切线．
(第10题)
与圆有关的计算
11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为(　　)
(第11题)
A．25π－6
B.π－6
C.π－6
D.π－6
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D.以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D.
(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AC＝3，∠B＝30°，
①求⊙O的半径；
②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积．(结果保留根号和π)
(第12题)
圆与其他知识的综合
圆与三角形的综合
13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，且BF＝BC.⊙O是△BEF的外接圆，连结BD.
(1)求证：△ABC≌△EBF；
(2)试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由．
(第13题)
圆与四边形的综合
14．已知A，B，C是⊙O上的三个点，四边形OABC是平行四边形，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D.
(1)如图①，求∠ADC的大小；
(2)如图②，经过点O作CD的平行线，与AB交于点E，与交于点F，连结AF，求∠FAB的大小．
(第14题)
圆与函数的综合
15．如图，直线y＝－x＋3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C是第二象限内任意一点，以点C为圆心的圆与x轴相切于点E，与直线AB相切于点F.
(1)如图①，当四边形OBCE是矩形时，求点C的坐标；
(2)如图②，若⊙C与y轴相切于点D，求⊙C的半径r；
(3)在⊙C的移动过程中，能否使△OEF是等边三角形？(只回答“能”或“不能”)
(第15题)
专训6　圆与二次函数的综合
名师点金：
圆与二次函数的综合，一般会涉及勾股定理、相似三角形的判定、求二次函数的表达式、求直线对应的函数表达式、切线的判定与性质，综合考察的知识点较多，同学们注意培养自己解答综合题的能力，关键还是基础知识的掌握，要能将所学知识融会贯通，有的问题的解法不止一种，同学们可以积极探索其他解法．
二次函数中利用全等证明圆与直线的位置关系
1．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C(－2，0)，D(－8，0)两点，与y轴相切于点B(0，4)．
(1)求经过B、C、D三点的抛物线对应的函数表达式；
(2)设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切．
(第1题)
利用直线与圆的位置关系求直线对应的函数表达式
2．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－4，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，2)．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)以AB为直径作⊙M，一直线经过点E(－1，－5)，并且与⊙M相切，求该直线对应的函数表达式．
(第2题)
利用圆的有关性质求抛物线对应的函数表达式
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与⊙M相交于A、B、C、D四点，其中A、B两点的坐标分别为(－1，0)，(0，－2)，点D在x轴上且AD为⊙M的直径．点E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧ED上的点F作FH⊥AD于点H，且FH＝1.5.
(1)求点D的坐标及该抛物线对应的函数表达式；
(2)若点P是x轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标.
(第3题)
二次函数中利用勾股定理的逆定理证明直线与圆的位置关系
4．如图，在平面直角坐标系中，圆D与y轴相切于点C(0，4)，与x轴相交于A、B两点，且AB＝6.
(1)求D点的坐标和圆D的半径；
(2)求sin
∠ACB的值和经过C、A、B三点的抛物线对应的函数表达式；
(3)设抛物线的顶点为F，证明直线AF与圆D相切．
(第4题)
答案
1．A
2．B　点拨：∵有一圆经过△ABC的三个顶点，且弦BC的中垂线与相交于D点，∴所对的圆心角的度数＝2∠C＝2×46°＝92°，所对的圆心角的度数＝2∠B＝2×74°＝148°＝所对的圆心角的度数＋所对的圆心角的度数＝所对的圆心角的度数＋所对的圆心角的度数＝所对的圆心角的度数＋所对的圆心角的度数＋所对的圆心角的度数，∴所对的圆心角的度数＝(148°－92°)＝28°.故选B.
3．(1)证明：∵AB，CD是直径，∴∠ADB＝∠CBD＝90°.
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)．
(2)解：∵BE是切线，∴AB⊥BE.∴∠ABE＝90°.
∵∠DBE＝37°，∴∠ABD＝53°.
∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠BAD＝90°－53°＝37°，
即∠ADC的度数为37°.
4．2
cm　点拨：连接OB，∵∠BCD＝22°30′，∴∠BOD＝2∠BCD＝45°.∵AB⊥CD，∴BE＝AE＝AB＝×2＝(cm)，△BOE为等腰直角三角形，∴OB＝BE＝2
cm，故答案为2
cm.
5．2
6．解：连接OC.∵∠A＝30°，∴∠COD＝60°.
∵DC切⊙O于C，∴∠OCD＝90°.∴∠D＝30°.
∵OD＝30
cm，∴OC＝OD＝15
cm.
∴AB＝2OC＝30
cm.
(第7题)
7．(1)证明：如图，连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∴∠ODB＝∠ACB.
∴OD∥AC.
∵DF是⊙O的切线，
∴DF⊥OD.
∴DF⊥AC.
(2)解：如图，连接OE，
∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，
∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，
∴∠BAC＝45°.
∵OA＝OE，∴∠AOE＝90°.
∵⊙O的半径为4，
∴S扇形AOE＝4π，S△AOE＝8.
∴S阴影＝S扇形AOE－S△AOE＝4π－8.
(第1题)
1．解：连接OA，OF，如图．设OA＝OF＝r
cm，AB＝a
cm.
在Rt△OAB中，r2＝＋a2，
在Rt△OEF中，r2＝42＋，
∴＋a2＝16＋16＋4a＋，解得a1＝8，a2＝－4(舍去)．
∴r2＝＋82＝80，∴r1＝4，r2＝－4(舍去)，即该半圆的半径为4
cm.
点拨：在有关圆的计算题中，求角度或边长时，常连接半径构造等腰三角形或直角三角形，利用特殊三角形的性质来解决问题．
2．证明：连接AD，BD.∵∠DAC，∠DBC是所对的圆周角．
∴∠DAC＝∠DBC.
∵CD平分∠ACM，DP⊥AC，DH⊥CM，∴DP＝DH.
在△ADP和△BDH中，
∴△ADP≌△BDH，∴AP＝BH.
点拨：本题通过作辅助线构造圆周角，然后利用“同弧所对的圆周角相等”得到∠DAC＝∠DBC，为证两三角形全等创造了条件．
3．(1)证明：过点D作⊙O的直径DE，连接AE，EC，AC.
∵DE是⊙O的直径，∴∠ECD＝∠EAD＝90°.
又∵CD⊥AB，∴EC∥AB，
∴∠BAC＝∠ACE.
∴＝.∴BC＝AE.
在Rt△AED中，AD2＋AE2＝DE2，
∴AD2＋BC2＝4R2.
(2)解：过点O作OF⊥AD于点F.
∵弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根(AD>BC)，
∴AD＝5，BC＝1.
由(1)知，AD2＋BC2＝4R2，
∴52＋12＝4R2，∴R＝.
∵∠EAD＝90°，OF⊥AD，∴OF∥EA.
又∵O为DE的中点，∴OF＝AE＝BC＝，即点O到AD的距离为.
点拨：本题作出直径DE，利用“直径所对的圆周角是直角”构造了两个直角三角形，给解题带来了方便．
4．解：CD与⊙O相切，理由如下：如图，作直径CE，连接AE.
∵CE是直径，∴∠EAC＝90°.
∴∠E＋∠ACE＝90°.
∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB.
∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB.
∵∠B＝∠E，∴∠ACD＝∠E，
∴∠ACE＋∠ACD＝90°，即OC⊥DC.又OC为⊙O的半径，
∴CD与⊙O相切．
(第4题)
　(第7题)
5．C　6.60°
7．(1)证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵点D是BC的中点，∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB＝AC.
∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC为等边三角形．
(2)解：连接BE.
∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，
∴BE⊥AC，
∵△ABC是等边三角形，∴AE＝EC，即E为AC的中点．
∵D是BC的中点，故DE为△ABC的中位线．
∴DE＝AB＝×2＝1.
8．(1)证明：连接OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.
∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA.
∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA，即∠PAO＝∠PBO.
又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°.∴∠PBO＝90°.∴OB⊥PB.
又∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线．
(2)解：连接OP，
∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．
∵OA＝OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上．
∴OP为线段AB的垂直平分线，
又∵BC⊥AB，∴PO∥BC.∴∠AOP＝∠ACB＝60°.∴∠OPA＝30°.
在Rt△APO中，AO2＋PA2＝PO2，即AO2＋3＝(2AO)2.
又∵AO＞0，
∴AO＝1.∴⊙O的半径为1.
(第8题)
(第9题)
9．(1)证明：如图，连接CO，交DB于点E，∴∠O＝2∠CDB＝60°.
又∵∠OBE＝30°，∴∠BEO＝180°－60°－30°＝90°.
∵AC∥BD，∴∠ACO＝∠BEO＝90°，即OC⊥AC.
又∵点C在⊙O上，∴AC是⊙O的切线．
(2)解：∵OE⊥DB，
∴EB＝DB＝3
cm.
在Rt△EOB中，
∵∠OBE＝30°，∴OE＝OB.
∵EB＝3
cm，∴由勾股定理可求得OB＝6
cm.
又∵∠D＝∠DBO，DE＝BE，∠CED＝∠OEB，
∴△CDE≌△OBE，∴S△CDE＝S△OBE，
∴S阴影＝S扇形OCB＝π·62＝6π(cm2)．
1．解：(1)如图，过B作BH⊥PQ于H，在Rt△BHP中，由条件易知：BP＝320
km，∠BPQ＝30°.∴BH＝BP＝160
km<200
km.∴台风会影响B市．
(2)如图，以B为圆心，200
km为半径作圆，交PQ于P1，P2两点，连接BP1，由垂径定理知P1P2＝2P1H.
在Rt△BHP1中，BP1＝200
km，
BH＝160
km，
∴P1H＝＝120(km)．
∴P1P2＝2P1H＝240
km.
∴台风影响B市的时间为＝8(h)．
点拨：本题在图形中画出圆，可以非常直观地构造数学模型，然后利用垂径定理解决生活中的实际问题．
(第1题)
　(第2题)
2．解：选择射门方式二较好，理由如下：设AQ与圆的交点为C，连接PC，如图所示．
∵∠PCQ是△PAC的外角，
∴∠PCQ>∠A.又∵∠PCQ＝∠B，
∴∠B>∠A.∴在B点射门比在A点射门好．∴选择射门方式二较好．
点拨：本题运用转化思想，将射门角度大小的问题，建模转化到圆中，根据圆周角的相关知识来解决实际问题．
3．解：修建的这条水渠不会穿过公园．
理由：过点C作CD⊥AB，垂足为D.
∵∠CBA＝45°，
∴∠BCD＝45°，CD＝BD.
设CD＝x
km，则BD＝x
km.
易知∠CAB＝30°，∴AC＝2x
km，AD＝＝x
km.
∴x＋x＝1，解得x＝，
即CD＝
km≈0.366
km＝366
m＞350
m，
也就是说，以点C为圆心，350
m为半径的圆与AB相离．
即修建的这条水渠不会穿过公园．
4．解：∵圆锥形漏斗的底面半径为20
cm，高为40
cm，
∴圆锥的母线长为＝60(cm)．
设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，则有＝2π×20，解得n＝120.
方案一：如图①，扇形的半径为60
cm，矩形的宽为60
cm，易求得矩形的长为60
cm.
此时矩形的面积为60×60＝3
600(cm2)．
方案二：如图②，扇形与矩形的两边相切，有一边重合，易求得矩形的宽为60
cm，长为30＋60＝90(cm)，此时矩形的面积为90×60＝5
400(cm2)．
∵3
600>5
400，
∴方案二所用材料最省，即选长为90
cm，宽为60
cm的矩形铁皮，才能使所用材料最省．
(第4题)
1．解：(1)作OD⊥BC于D.
由垂径定理知，点D是BC的中点，即BD＝BC，∵OB＝AB＝5
cm，OD＝4
cm，由勾股定理得，BD＝＝3
cm，∴BC＝2BD＝6
cm.
(2)设经过t
s，△BPC是等腰三角形．
①当PC为底边时，有BP＝BC，即10－t＝6，解得t＝4；
②当BC为底边时，有PC＝PB，此时P点与O点重合，t＝5.
∴经过4
s或5
s△BPC是等腰三角形．
2．解：(1)线段AB长度的最小值为4.
理由如下：连接OP.
∵AB切⊙O于P，∴OP⊥AB.
取AB的中点C，则AB＝2OC，
当OC＝OP时，OC最短，即AB最短，此时AB＝4.
(2)存在．假设存在符合条件的点Q.
如图①，设四边形APOQ为平行四边形，
∵∠APO＝90°，∴四边形APOQ为矩形．又∵OP＝OQ，
∴四边形APOQ为正方形，
∴OQ＝QA.∴∠QOA＝45°，
在Rt△OQA中，根据OQ＝2，∠AOQ＝45°，
得Q点的坐标为(，－)．
(第2题)
如图②，设四边形APQO为平行四边形，连接OP，
∵OQ∥PA，∠APO＝90°，∴∠POQ＝90°.
又∵OP＝OQ，∴∠PQO＝45°，
∵PQ∥OA，∴PQ⊥y轴．
设PQ交y轴于点H，
在Rt△OHQ中，根据OQ＝2，∠HQO＝45°，
得Q点的坐标为(－，)．
∴符合条件的点Q的坐标为(，－)或(－，)．
3．解：如图，设PQ与⊙O相切于点H，过点P作PE⊥BC，垂足为E.
(第3题)
∵在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴PE＝AB.由题意可知：AP＝BE＝t
cm，CQ＝2t
cm，
∴BQ＝BC－CQ＝(22－2t)
cm，EQ＝BQ－BE＝22－2t－t＝(22－3t)
cm.
∵AB为⊙O的直径，∠ABC＝∠DAB＝90°，
∴AD，BC为⊙O的切线．∴AP＝PH，HQ＝BQ.
∴PQ＝PH＋HQ＝AP＋BQ＝t＋22－2t＝(22－t)
cm.
在Rt△PEQ中，PE2＋EQ2＝PQ2，
∴122＋(22－3t)2＝(22－t)2，即
t2－11t＋18＝0，解得t1＝2，t2＝9.
∵P在AD边运动的时间为＝＝8(s)，而t＝9>8，∴t＝9(舍去)．
∴当t＝2
s时，PQ与⊙O相切．
4．解：(1)∵在△ACO中，∠OAC＝60°，OC＝OA，
∴△ACO是等边三角形．
∴∠AOC＝60°.
(2)如图，
　(第4题)
①作点C关于直径AB的对称点M1，连接AM1，OM1.
易得S△M1AO＝S△CAO，∠AOM1＝60°，
∴＝×60＝π.
∴当点M运动到M1时，S△MAO＝S△CAO，
此时动点M经过的弧长为π.
②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，连接AM2，OM2，易得S△M2AO＝S△CAO，
∴∠OM1M2＝∠AOM1＝60°.
又∵OM1＝OM2，∴∠M1OM2＝60°，∴∠AOM2＝120°.
∴＝×120＝π.
∴当点M运动到M2时，S△MAO＝S△CAO，此时动点M经过的弧长为π.
③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3，连接AM3，OM3，易得S△M3AO＝S△CAO，∠AOM3＝120°.
∴＝×240＝π.
∴当点M运动到M3时，S△MAO＝S△CAO，此时动点M经过的弧长为π.
④当点M运动到C时，M与C重合，S△MAO＝S△CAO，
此时动点M经过的弧长为×300＝π.
综上所述，当S△MAO＝S△CAO时，动点M所经过的弧长为π或π或π或π.
1．C　2.C　3.C　4.D
(第5题)
5．证明：如图，连结AC.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD＋∠DCB＝90°.
∵CP⊥AB于点P，
∴∠B＋∠DCB＝90°，
∴∠ACD＝∠B.
又∵＝，∴∠B＝∠CAD＝∠ACD，∴AD＝CD.
6．A　7.B　8.B　9.B
(第10题)
10．(1)解：设⊙O的半径为r，
∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴AB⊥BC，
在Rt△OBC中，∵OC2＝OB2＋CB2，
∴(r＋1)2＝r2＋()2，
解得r＝1，∴⊙O的半径为1.
(2)证明：连结OF，
∵OA＝OB，BF＝EF，
∴OF是△BAE的中位线，
∴OF∥AE，
∴∠A＝∠2，∠1＝∠ADO，
又∵∠ADO＝∠A，∴∠1＝∠2，
在△OBF和△ODF中，
∴△OBF≌△ODF，
∴∠ODF＝∠OBF＝90°，
即OD⊥DF，又OD是⊙O的半径，
∴FD是⊙O的切线．
11．D
(第12题)
12．解：(1)相切，理由如下：
如图，连结OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2.
∵OA＝OD，∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，∴OD∥AC.
又∠C＝90°，∴OD⊥BC，
∴BC与⊙O相切．
(2)①设⊙O的半径为r.
∵AC＝3，∠B＝30°，∴AB＝6.
又OA＝OD＝r，∴OB＝2r.
∴2r＋r＝6，解得r＝2，即⊙O的半径是2.
②由①得OD＝2，则OB＝4，BD＝2，S阴影＝S△OBD－S扇形ODE＝×2×2－＝2－.
13．(1)证明：在Rt△CED中，∠C＋∠CED＝90°，在Rt△BFE中，∠EFB＋∠BEF＝90°.∵∠CED＝∠BEF，∴∠C＝∠EFB.
在Rt△ABC和Rt△EBF中，
∴△ABC≌△EBF.
(2)解：BD与⊙O相切，理由如下：
连结BO，∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠OFB.
∵FD垂直平分AC，∴D为AC的中点，又∵△ABC为直角三角形．
∴BD＝CD，
∴∠DCB＝∠DBC.
由(1)知∠ACB＝∠EFB，
∴∠DBC＝∠DFB＝∠OBF.
∵∠CBF＝∠CBO＋∠OBF＝90°，
∴∠DBO＝∠CBO＋∠DBC＝90°，
∴BD为⊙O的切线．
14．解：(1)∵CD是⊙O的切线，C为切点，
∴OC⊥CD，即∠OCD＝90°.
∵四边形OABC是平行四边形，
　(第14题)
∴AB∥OC，即AD∥OC.
∴∠ADC＋∠OCD＝180°，
∴∠ADC＝180°－∠OCD＝90°.
(2)如图，连结OB，则OB＝OA＝OC.
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC＝AB，
∴OA＝OB＝AB.
即△AOB是等边三角形．
于是，∠AOB＝60°.
由OF∥CD，又∠ADC＝90°，得∠AEO＝∠ADC＝90°.
∴OF⊥AB，有＝.
∴∠FOB＝∠FOA＝∠AOB＝30°.
∴∠FAB＝∠FOB＝15°.
15．解：(1)∵直线y＝－x＋3与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝＝5.连结CF，∵四边形OBCE是矩形，∴CE＝OB＝3.设OE＝x，则由切线长定理知AF＝AE＝x＋4，
∴BF＝x＋4－5＝x－1.在Rt△CBF中，
∵BC＝OE＝x，CF＝CE＝3，BF＝x－1，BC2＝CF2＋BF2，∴x2＝32＋(x－1)2，解得x＝5，即OE＝5，∴点C的坐标为(－5，3)．
(2)连结CE，CD，易知四边形CEOD是正方形，
∴OE＝OD＝r.由切线长定理知BF＝BD＝3－r，AE＝AF，又∵AE＝AO＋OE＝4＋r，AF＝AB＋BF＝5＋3－r＝8－r，∴4＋r＝8－r，∴r＝2.
(3)不能．
1．(1)解：设过点B、C、D三点的抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，则
解得
∴经过B、C、D三点的抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋x＋4.
(2)证明：∵y＝x2＋x＋4＝(x＋5)2－，∴E.
设直线CE对应的函数表达式为y＝mx＋n，直线CE与y轴交于点G，则解得
∴直线CE对应的函数表达式为y＝x＋.
在y＝x＋中，当x＝0时，y＝，
∴点G的坐标为.
如图，连结AB、AC、AG，则
BG＝OB－OG＝4－＝，CG＝＝＝，
∴BG＝CG.又∵AB＝AC，AG＝AG，
∴△ABG≌△ACG，
∴∠ACG＝∠ABG.
∵⊙A与y轴相切于点B(0，4)，
∴∠ABG＝90°，
∴∠ACG＝∠ABG＝90°.
∵点C在⊙A上，∴直线CE与⊙A相切．
(第1题)
2．解：(1)∵抛物线过点A(－4，0)，B(2，0)，C(0，2)．
∴解得
∴抛物线对应的函数表达式为y＝－x2－x＋2.
(第2题)
(2)如图，过E点作⊙M的切线，这样的切线共有2条．
当切点P在左半圆上时，连结MP，ME，过P作PH⊥x轴于点H.
∵A(－4，0)，B(2，0)，∴M(－1，0)，⊙M的半径MP＝MA＝3.
又∵E(－1，－5)，∴ME＝5.
∴在Rt△MPE中，PE＝4.
易得△HPM∽△PME，
∴PH∶PM＝PM∶ME＝HM∶PE，
∴PH＝，HM＝.
∴OH＝.
∴
P.
∵直线过P，E(－1，－5)，　
设直线对应的函数表达式为y＝kx＋m(k≠0)，
∴　
解得
∴直线对应的函数表达式为
y＝－x－.
同理，当切点在右半圆上时，可求得直线对应的函数表达式为y＝x－.
综上所述，直线对应的函数表达式为y＝－x－或y＝x－.
3．解：(1)如图，连结BD,
∵AD是⊙M的直径，∴∠ABD＝90°.
∴△AOB∽△ABD,
∴＝.
在Rt△AOB中，AO＝1，BO＝2,
根据勾股定理得：AB＝，
∴＝，
∴AD＝5,
∴DO＝AD－AO＝5－1＝4,
∴D(4，0).
把点A(－1，0)、B(0，－2)、D(4，0)的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋c可得：
解得：
∴抛物线对应的函数表达式为：y＝x2－x－2.
(第3题)
(2)如图，连结FM，BF.
在Rt△FHM中，FM＝AD＝，FH＝，
∴MH＝＝2，.
又∵OM＝AM－OA＝－1＝，
∴OH＝OM＋MH＝＋2＝，
∴F.
设直线BF对应的函数表达式为y＝kx＋m,
则：解得
∴直线BF对应的函数表达式为：y＝x－2,
设BF交x轴于点P，易知点E与点B关于x轴对称，
∴点P即为所求，
当y＝0时，x＝2,
∴P(2，0).
4．(1)解：如图，连结DC，AD，则DC⊥y轴，
过点D作DE⊥AB于点E，则DE垂直平分AB，DE＝OC＝4.
∵AB＝6，∴AE＝3，
在Rt△ADE中，AD＝＝＝5，
∴CD＝5.
故点D的坐标为(5，4)，圆的半径为5.
(第4题)
(2)解：在Rt△AOC中，OA＝CD－AE＝2，∴AC＝＝＝2，
在Rt△BOC中，OB＝OA＋AB＝8，
∴BC＝＝＝4，
∵S△ABC＝BC×ACsin∠ACB＝AB×CO，
∴sin∠ACB＝＝；
易得A、B的坐标分别为(2，0)、(8，0)，设经过点A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式为：y＝ax2＋bx＋c，
将三点的坐标分别代入可得：
解得：
故经过C、A、B三点的抛物线对应的函数表达式为：y＝x2－x＋4.
(3)证明：如图，连结DF，
易得抛物线顶点坐标：F，DF＝4－＝，AF＝＝，
∵DA2＋AF2＝52＋＝＝＝DF2，
∴∠DAF＝90°.又∵A在圆D上，
∴直线AF与圆D相切