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【每周培优集训】第二周：第四章
相似三角形
一．选择题：
1.如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（ ）
A．3
B．2
C．4
D．5
3.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（
）
A．
B．2
C．4
D．
4.如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
5.如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点．若，，则的长为（
）
A．
B．
C．4
D．
6.在平面直角坐标系中，点是双曲线上任意一点，连接，过点作的垂线与双曲线交于点，连接．已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
7.如图，在矩形中，是上的一点，是等边三角形，交于点，则下列结论不成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
8.已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，，且这两个直角三角形不相似，则的值为（
）
A．或
B．15
C．
D．
9.如图，把某矩形纸片沿，折叠（点E、H在边上，点F，G在边上），使点B和点C落在边上同一点P处，A点的对称点为、D点的对称点为，若，为8，的面积为2，则矩形的长为（
）
A．
B．
C．
D．
10.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（-2，3），AD=5，若反比例函数
（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（ ）
A．
B．8
C．10
D．
二．填空题：
11.如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.6米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为____米．
12.如图，在△ABC中，BC=9，∠ABC的平分线BF交AC于点F，点D、点E分别是边AB、AC上的点，若，则
13.如图，在中，D，E为边的三等分点，，H为与的交点．若，则___________
14.如图，内接于于点H，若，的半径为7，则______
15.如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，，将绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到，交于点G，若反比例函数的图象经过点G，则k的值为______
16.如图，直线l1∥l2∥l3
，
A，B，C分别为直线l1
，
l2
，
l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D.设直线l1
，
l2之间的距离为m，直线l2
，
l3之间的距离为n，若∠ABC=90°，BD=4，且则m+n的最大值为________
三．解答题：
17.如图，在△ABC中，AB=6cm
，
AC=12cm
，
动点M从点A出发，以1cm∕秒的速度向点B运动，动点N从点C出发，以2cm∕秒的速度向点A运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t
，
使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
18.己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．
(1)求证：BE=DF；
(2)当DF/FC=AD/DF时，求证：四边形BEFG是平行四边形．
19.已知：如图，在△ABC中，AB=AC
，
点D、E分别在边BC、DC上，AB2
=BE
·
DC
，
DE:EC=3:1
，
F是边AC上的一点，DF与AE交于点G
．
（1）找出图中与△ACD相似的三角形，并说明理由；
（2）当DF平分∠ADC时，求DG:DF的值；
（3）如图，当∠BAC=90°，且DF⊥AE时，求DG:DF的值．
20.如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DAB．
（1）求线段CD的长；（2）如果△AEG是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；
（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
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【每周培优集训】第二周：第四章
相似三角形答案
选择题：
1.答案：A
解析：∵DE//AB，
∴
∴的值为．
故答案为A．
2.答案：A
解析：∵△FHB和△EAD的周长分别为30和15，
∴△FHB和△EAD的周长比为2：1，
∵△FHB∽△EAD，
∴，
即＝2，
解得，EA＝3，
故选：A．
3.答案：D
解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，
使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，
而A（1，2），C（3，1），
∴D（2，4），F（6，2），
∴DF＝=，
故选：D．
4.答案：A
解析：过点A作AF⊥BC，
∵AB=AC，
∴BF=BC=2，
在Rt,AF=，
∵D是边的两个“黄金分割”点，
∴即，
解得CD=，
同理BE=，
∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-，
∴DE=CD-CE=4-8，
∴S△ABC===，
故选：A.
5.答案：B
解析：∵，
∴BC=BG+GC=2+3=5
∵正方形
∴CD=BC=5
设DE=BF=x，则CE=5-x，CF=5+x
∵AH⊥EF，∠ABG=∠C=90°
∴∠HFG+∠AGF=90°，∠BAG+∠AGF=90°
∴∠HFG=∠BAG
∴△ABG∽△CEF
∴
,即，解得x=
∴CE=CD-DE=5-=．
故答案为B．
6.答案：B
解析：过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，垂足分别为E，F，如图，
则∠AEO=∠BFO=90°，
∴∠AOE+∠OAE=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOF+∠AOE=90°，
∴∠OAE=∠BOF，
∴△AOE∽△OBF，
∴，即，
∴
∵，，
∴．
故选：B．
7.答案：B
解：在矩形ABCD中，是等边三角形，
∴∠DAB=90°，∠EAB=60°，
∴∠DAE=90°-60°=30°，
故A说法正确；
若∠BAC=45°，则AB=BC，
又∵AB=BE，
∴BE=BC，
在△BEC中，BE为斜边，BE＞BC，
故B说法错误；
设EC的长为x，
易得∠ECB=30°，
∴BE=2EC=2x，BC=，
AB=BE=2x，
∵DC∥AB，
∴∠ECA=∠CAB，
又∵∠EFC=∠BFA，
∴△ECF∽△BAF，
∴，
故C说法正确；
AD=BC=，
∴，
故D说法正确．
故选：B
8.答案：A
解析：在第一个直接三角形中，若m是直角边，则，
若m是斜边，则；
在第二个直接三角形中，若n是直角边，则，
若n是斜边，则；
又因为两个直角三角形不相似，故m=5和n=10不能同时取，
即当m=5，，，
当，n=10，，
故选：A．
9.答案：D
解析：∵四边形ABC是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
设AB=CD=x，
由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，
∵△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2，
又∵，∠A′PF=∠D′PG=90°，
∴∠A′P
D′=90°，则∠A′PE+∠D′PH=90°，
∴∠A′PE=∠D′HP，
∴△A′EP∽△D′PH，
∴A′P2：D′H2=8：2，
∴A′P：D′H=2：1，
∵A′P=x，
∴D′H=x，
∵S△D′PH=D′P·D′H=A′P·D′H，即，
∴x=2（负根舍弃），
∴AB=CD=2，D′H=DH=，D′P=A′P=CD=2，A′E=2D′P=4，
∴PE=，PH=，
∴AD==，
故选D.
10.答案：D
解析：如图，过D作DH垂直x轴于H，设AD与y轴交于E，过B作BF垂直于x轴于F，
∵点D（-2，3），AD=5，
∴DH=3，
∴，
∴A（2，0），即AO=2，
∵D（-2，3），A（2，0），
∴AD所在直线方程为：，
∴E（0，1.5），即EO=1.5，
∴,
∴ED=AD-
AE=5-=，
∵∠AOE=∠CDE，∠AEO=∠CED，
∴△AOE
∽△CDE，
∴,
∴,
∴在矩形ABCD中，，
∵∠EAO+∠BAF=90°，
又∠EAO+∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠BAF，
又∵∠AOE=∠BFA，
∴△BFA∽△AOE，
∴,
∴代入数值，可得AF=2，BF=，
∴OF=AF+AO=4，
∴B（4，），
∴将B（4，）代入反比例函数，得，
故选：D．
填空题：
11.答案：7
解析：∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BDAC，
∴△ACE∽△DBE，
∴，
∴，
∴AC=7(米)，
故答案为：7(米)
12.答案：
解析：延长DE，BF交于点G，
∵，,
∴△ADE∽△ABC，
∴DE∥BC，∴,
∵BG平分,∴,
∴,∴BD=DG，
∵,∴△EFG∽△CFB，
∴,∵
∴,
∴，
∴
13.答案：1
解析:∵D，E为边的三等分点，，
∴EF:DG:AC=1:2:3
∵AC=6,
∴EF=2,
由中位线定理得到,在△AEF中,DH平行且等于
故答案是:1
14.答案：
解析：作直径AD，连接BD，
∵AD为直径，
∴∠ABD＝90°，又AH⊥BC，
∴∠ABD＝∠AHC，
由圆周角定理得，∠D＝∠C，
∴△ABD∽△AHC，
∴，即，
解得，AB＝，
故答案为：．
15.答案：
解析：
由B（-2，1）可得，AB=OC=1，OA=2，OB=
由旋转可得：△AOB≌△EOD，∠E=∠OAB=90°，
∴OE=OA=2，DE=AB=1，
∵∠COG=∠EOD，∠GCO=∠E=90°，
∴△COG∽△EOD，
∴，即，
解得：CG=，
∴点G（，1），
代入可得：k=，
故答案为：．
16.答案：
解析：过B作BE⊥l1交于点E，作BF⊥l3交于点F，过点A作AN⊥l2交点点N，
过点C作CM⊥l2交于点M，BE=m，BF=n，如图，
设AE=x，CF=y，则BN=x，BM=y，
∵BD=4，BE=m，BF=n，
∴DM=y-4，DN=4-x，CM=n，AN=m，
∵∠ABC=90°，且∠AEB=∠BFC=90°，∠CMD=∠AND=90°，
∴△AEB∽△BFC，△CMD∽△AND，
∴,，
即，，
∴mn=xy，y=10-
x，
又∵,
∴n=
m，
∴m+n=m+
m=
m，
要使m+n最大，则只要m最大，
∵mn=
m2=xy=x（10-
x）=-
x2+10x，
∴对称轴x=
时，（-
x2+10x）最大=
，
∴
m2=
，
∴m最大=，
∴（m+n）最大=.
故答案为：.
三．解答题：
17.解析：存在t=3秒或4.8秒，使以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似
设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，
此时，AM=t
，
CN=2t
，
AN=12-2t（0≤t≤6），
①当MN∥BC时，△AMN∽△ABC
，
则，即，
解得t=3；
②当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC
，
则，即，
解得t=4.8；
故所求t的值为3秒或4.8秒．
18.解析：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，
∵∠BAF=∠DAE，
∴∠BAF-∠EAF=∠DAE-∠EAF，
即：∠BAE=∠DAF，
∴△BAE≌△DAF
∴BE=DF；
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴△ADG∽△EBG
∴ADBE=DGBG
又∵BE=DF，DFFC=ADDF
∴DGBG=ADDF=DFFC
∴GF∥BC
(平行线分线段成比例)
∴∠DGF=∠DBC
∵BC=CD
∴∠BDC=∠DBC=∠DGF
∴GF=DF=BE
∵GF∥BC，GF=BE
∴四边形BEFG是平行四边形
19.
解析：（1）与△ACD相似的三角形有：△ABE、△ADC，理由如下：
∵AB2
=BE
·
DC
，
∴．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，，
∴△ABE∽△DCA．
∴∠AED=∠DAC．
∵∠AED=∠C+∠EAC，∠DAC=∠DAE+∠EAC，
∴∠DAE=∠C．
∴△ADE∽△CDA
．
（2）∵△ADE∽△CDA，DF平分∠ADC，
∴，
设CE=a，则DE=3CE=3a，CD=4a，
∴，解得
（负值已舍）
∴；
（3）解：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°
，
∴∠DAE=∠C=45°，
∵DG⊥AE，
∴∠DAG=∠ADF=45°，
∴AG=DG=，
∴，
∵∠AED=∠DAC
，
∴△ADE∽△DFA，
∴，
∴，
∴.
20.
解析：（1）作DH⊥AB于H，如图1，
易得四边形BCDH为矩形，
∴DH=BC=12，CD=BH，
在Rt△ADH中，AH=，
∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7，
∴CD=7；
（2）当EA=EG时，则∠AGE=∠GAE，
∵∠AGE=∠DAB，
∴∠GAE=∠DAB，
∴G点与D点重合，即ED=EA，
作EM⊥AD于M，如图1，则AM=
AD=
，
∵∠MAE=∠HAD，
∴Rt△AME∽Rt△AHD，
∴AE：AD=AM：AH，即AE：15=
：9，解得AE=
；
当GA=GE时，则∠AGE=∠AEG，
∵∠AGE=∠DAB，
而∠AGE=∠ADG+∠DAG，∠DAB=∠GAE+∠DAG，
∴∠GAE=∠ADG，
∴∠AEG=∠ADG，
∴AE=AD=15，
综上所述，△AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为
或15；
（3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，
在Rt△ADE中，DE=，
∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA，
∴△EAG∽△EDA，
∴EG：AE=AE：ED，即EG：x=x：，
∴EG=，
∴DG=DE﹣EG=，
∵DF∥AE，
∴△DGF∽△EGA，
∴DF：AE=DG：EG，即y：x=：，
∴．
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