(共21张PPT)
本节课学习目标：
1、理解圆周角的概念
2、理解并掌握圆周角的性质
概念:
顶点在圆上,并且角两边都
与圆相交的角,叫做圆周角.
如图：∠AOC为⊙O的一个圆心角
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
那∠ABC是什么角呢？
1.判别下列各图形中的角是不是圆周角.
不是
不是
是
不是
不是
图１
图２
图３
图４
图５
圆周角：__________，并且的角______________。
顶点在圆上
两边都和圆相交
判一判
BC所对的圆心角有几个？
BC所对的圆周角有几个？
思考：
O
C
B
温馨提示：圆心与圆周角的位置分类
A
B
C
O
A
B
C
C
O
O
A
B
.
.
.
圆心在圆周角一边上 圆心在圆周角内 圆心在圆周角外
猜想：∠A＝ ∠BOC
即：∠BOC＝2∠A
命题：一条弧所对的圆周角 等于它所对的圆心角的一半.
同弧所对的圆心角∠ BOC 与圆周角∠A的度数有何关系？
猜一猜
在这三个图中，哪个图形最特殊？
A
B
C
O
A
B
C
C
O
O
A
B
.
.
.
图1
图2
图3
A
B
O
C
证明：（1）当圆心O在圆周角∠BAC的一边AB上时
∵OA=OC
∴∠BAC=∠C
∵∠BOC是△OAC的外角
∴∠BOC=∠C+∠BAC
=2∠BAC
∴∠BAC= ∠BOC
特殊：圆心O落在圆周角的边上！！
求证：∠BAC= ∠BOC
图1
已知：如图， ∠ BOC 与∠A分别是弧BC所对的圆心角和圆周角
B
A
C
D
O
(2)当圆心O在圆周角∠BAC的内部时,过点A作直径AD
由(1)得∠BAD= ∠BOD
∠DAC= ∠DOC
∴ ∠BAD+ ∠DAC= (∠BOD + ∠DOC)
即: ∠BAC= ∠BOC
求证：∠BAC= ∠BOC
当圆心O在圆周角∠BAC的内部时
图2
A
B
O
C
图1
B
A
C
D
O
(3)当圆心O在∠BAC的外部时,过点A作直径AD,则由(1)得
∠DAC= ∠DOC ∠DAB= ∠DOB
∴ ∠DAC-∠DAB= (∠DOC - ∠DOB)
即:∠BAC= ∠BOC
求证：∠BAC= ∠BOC
当圆心O在∠BAC的外部时
图3
●O
B
A
C
●O
B
A
C
●O
B
A
C
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
1、100 的弧所对的圆心角等于_____，
所对的圆周角等于_____。
2、如图，在⊙O中，∠BAC=35 ，则
∠OBC=________。
100
50
55
巩固达标
A
O
C
B
原理：1、弧的度数即为弧所对圆心角的度数
2、圆周角定理(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。)
原理：1、圆周角定理
2、等腰三角形性质
3、如图，在⊙O中， AC为直径，B为圆周上一点，
∠ACB=50°. ∠BAC的度数为 。
A
B
C
O
·
那∠ABC的度数呢？
原理：1、圆周角定理
2、等腰三角形性质
40°
问题2： 如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗
B
A
O
C
∠BAC=90
问题3： 如图，圆周角∠BAC=90 ，弦BC经过圆心O吗？为什么？
●O
B
C
A
半圆或直径所对的圆周角是直角
90°的圆周角的所对的弦是直径
半圆或直径所对的圆周角是直角,
90°的圆周角的所对的弦是直径。
推论：
A
B
O
C
几何语言：
∵AB是⊙O直径
∴∠C=90°
几何语言：
∵ ∠C=90°
∴AB是⊙O直径
只给你一把没有刻度的三角尺，你能找出一个圆（如图）的圆心吗？
试一试
原理： 1、90°的圆周角的所对的弦是直径
2、两条直径的交点即为圆心
问题1： 弧所对的圆心角是 度，
所对的圆周角是 度。
一条弧的度数＝一条弧所对的圆心角的度数
＝一条弧所对的圆周角的度数x2
用一用
例1：已知:如图,四边形ABCD的四个顶点在⊙O上，求证：∠B+∠D=1800
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
性质：
圆的内接四边形对角互补。
例题赏析
E
延长BC至E点：
问∠DCE和∠A之间的关系？
巩固达标
如图，四边形ABCD内接于半圆O（点A,B,C,D在半圆O上）。AB为⊙O上的直径，且∠ADC=120 °,求∠BAC的度数？
原理：
1、圆的内接四边形对角互补
2、直径所对的圆周角为直角
清点收获
合作学习
通过本节课的学习，你掌握了圆的什么性质？你有没有发现解题规律或数学思想方法？
本节课涉及：
（1）研究方法：特殊 —— 一般 —— 特殊
（2）数学思想：转化、分类讨论。
猜想
归纳
应用
理一理
想一想
1、如图： ⊙O的一条弦AB分圆周长为 3︰7
两部分。试求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数？
B
A
O
2、如图，在⊙O中，BC= 2DE，∠BOC=84°，
求∠ A的度数.3.4圆周角(1)
1.
2. 巩固达标:
1) 100 的弧所对的圆心角等于 ，
所对的圆周角等于 。
2) 如图，在⊙O中，∠BAC=32 ，则∠OBC=________。
3）如图，在⊙O中， AB为直径，C为圆周上一点，
∠BAC=50°. 则∠BAC的度数为 。
3. 试一试：只给你一把没有刻度的三角尺，你能找出一个圆（如图）的圆心吗？
4.例题讲解
如图，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上。
求证；∠B+∠D = 180°
4. 能力提高:
如图，四边形ABCD内接于半圆O（点A,B,C,D在半圆O上）。AB为⊙O上的直径，且∠ADC=120 °,求∠BAC的度数？
作业.
A层（基础题）独立完成
课本77页作业题第3题，第4题.
作业本（1）
B层（拓展题）
1、如图： ⊙O的一条弦AB分圆周长为3︰7两部分。试求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数
2、如图，在⊙O中，BC=2 DE，∠BOC=84°，求∠ A的度数.
A
O
C
B
A
B
C
O
A
B
C
C
O
O
A
B
.
.
.
图1
图2
图3
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ3.4圆周角(1)
南阳初中 金凯
教学目标:
理解圆周角的概念.
经历探索圆周角定理的过程.
掌握圆周角定理和它的推论.
会运用圆周角定理及其推论解决简单的几何问题.
教学重点:圆周角定理
教学难点:圆周角定理的证明要分三种情况讨论,有一定的难度是本节的教学难点.
教学过程:
一.新课探究:
1圆周角的定义(用类比的方法得出定义)
顶点在圆上,它的两边分别与圆相交,像这样的角,叫做圆周角
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.(说明相交指的是角边与圆除了顶点外还有公共点)
练习:判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
2. （1）、探索同一条弧所对的圆心角和圆周角的条数？
（2）、探索圆心与圆周角的位置关系: 一个圆的圆心与圆周角的位置可能有几种关系？
(1)圆心在角的边上;(2)圆心在角的内部 ,(3)圆心在角的外部
在这三个图中，哪个图形最特殊？其余两个可以转化成这个图形吗？
用几何画板演示探讨得到
3. 探索研究：圆周角和圆心角的关系
如果圆周角和圆心角对着同一条弧，那么这两个角存在怎样的关系？
用几何画板演示探讨得到
命题：(圆周角定理)
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
(1).首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠BAC)的一边(AC)上时,圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系.
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样
(2).当圆心在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样
(3).当圆心在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样
4.巩固达标:
1) 100 的弧所对的圆心角等于 ，
所对的圆周角等于 。
2) 如图，在⊙O中，∠BAC=35 ，则∠OBC=________。
3）如图，在⊙O中， AB为直径，C为圆周上一点，
∠BAC=50°. 则∠BAC的度数为 。
补充问题：直径所对的圆周角都是直角吗？
5.探索圆周角的一个推论:
如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点，那么你发现了些什么结论？反之你能得到什么结论 由此你能到什么结论.
圆周角定理的推论2：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
试一试：只给你一把没有刻度的三角尺，你能找出一个圆（如图）的圆心吗？
二.例题讲解:
例1.如图；四边形ABCD的四个顶点在⊙O上。
求证；∠B+∠D = 180°
证明略;
分析∠B与∠D是什么角 ∠B,∠D与所对的弧的度数有什么关系 ∠B，∠D与它们所对弧所对的这两个圆心角度数上有什么关系 根据什么
说明：圆的内接四边形的对角互补。
三.巩固练习:
如图，四边形ABCD内接于半圆O（点A,B,C,D在半圆O上）。AB为⊙O上的直径，且∠ADC=120 °,求∠BAC的度数？
四.小结:通过本节课的学习，你掌握了圆的什么性质？你有没有发现解题规律或数学思想方法？
（1）研究方法： 特殊 ———— 一般 ———— 特殊
（2）数学思想：转化、分类讨论。
五. 布置作业.
A层（基础题）独立完成
课本77页作业题第3题，第4题.
作业本（1）
B层（拓展题）
1、如图： ⊙O的一条弦AB分圆周长为3︰7两部分。
试求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数
2、如图，在⊙O中，BC= 2DE，
∠BOC=84°，求∠ A的度数.
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
猜想
应用
归纳
