(共23张PPT)
相似三角形的判定（1）
1、相似三角形的定义是什么？
那么
ΔABC∽ΔA/B/C/
2、相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢？
全等三角形是相似比为1的特殊的相似三角形。
回顾:
如果
∠A=∠A
/
，∠B=∠B
/
，∠C=∠C
/
A
B
C
A
/
B
/
C
/
合作学习--大家试一试
如图:在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且DE‖BC,则△ADE与△ABC相似吗?
(1)议一议:这两个三角形的三个内角是否对应相等?
(2)量一量这两个三角形的边长,它们是否对应成比例?平行移动DE的位置再试一试.
A
B
C
D
E
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
相似三角形的预备定理
这是两个极具代表性的相似三角形
基本模型：“A”型和“8”
型
A
D
E
B
C
A
B
E
D
C
练一练
如图
已知DE∥BC
∥AC,请尽可能多地找出图中的相似三角形，并说明理由。
A
B
C
D
F
E
A
B
C
D
F
E
G
如图：△ABC和△A
/
B
/
C
/
，当它们具备什么样的条件时，才能够判定它们相似？
A
B
C
A
/
B
/
C
/
如果△ABC
和△
A'B'C'中,
∠A=∠A',∠
B=∠B’
.
问△ABC与△A'B'C'是否相似?
分析:要证两个三角形相似，
目前只有两个途径。一个是
三角形相似的定义，（显然条件不具备）；二个是用相似三角形预备定理来判定三角形相似。为了使用它，就必须创造具备定理的基本图形的条件。怎样创造呢？
A
B
C
A/
C/
B/
命题：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（把小的三角形移动到大的三角形上）。
怎样实现移动呢?
已知：在△ABC
和△A/B/C/
中,
求证:
ΔABC∽
△A/B/C/
∠A=∠A
/
，∠B=∠B
/
证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A/B/,AE=A/C/，连结DE。
A
B
C
A/
C/
B/
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
D
E
∵
AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/
∴
ΔA
DE≌ΔA/B/C/，
∴
∠ADE=∠B/，
又∵
∠B/=∠B，
∴
∠ADE=∠B，
∴
DE//BC，
∴
ΔADE∽ΔABC。
∴
ΔA/B/C/∽ΔABC
例1
已知：ΔABC和ΔDEF中，
∠A=400，∠B=800，∠E=800，
∠F=600。求证：ΔABC∽ΔDEF
A
F
E
C
B
D
证明：∵
在ΔABC中，∠A=400，∠B=800，
∴
∠C=1800－∠A
－∠B
=1800－400
－800
＝600
∵
在ΔDEF中，∠E=800，∠F=600
∴
∠B=∠E，∠C=∠F
∴
ΔABC∽ΔDEF（两角对应相等，两三角形相似）。
400
800
800
600
600
例题讲解
（1）已知ΔABC与ΔA/B/C/中，∠B=∠B/=750，∠C=500，∠A/=550，这两个三角形相似吗？为什么？
（2）已知等腰三角形ΔABC和ΔA/B/C/中，∠A、∠A/分别是顶角，求证：①如果∠A=∠A/，那么ΔABC∽ΔA/B/C/。
②如果∠B=∠B/，那么ΔABC∽ΔA/B/C/。
A
B
C
A/
B/
C/
750
750
500
550
550
A
B
C
A/
B/
C/
A
B
C
A/
B/
C/
课堂练习
例2
已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB
试
图中有几对相似三角形.
观察
C
A
D
B
证明：∵∠B=∠B,∠CDB=∠ACB=90°，
∴△ABC∽△CDB
(两个角对应相等,两三角形相似).
同理可证：△ABC∽△ACD
∴△ABC∽△CBD∽△ACD.
已知：如图Rt△ABC中，
CD是斜边上的高。
求证：△ABC∽△CBD∽△ACD
直角三角形被斜边上的高分成的
两个直角三角形和原三角形相似。
此结论可以称为“母子相似定理”,今后可以直接使用.
例2、为了测量大峡谷的宽度AB,地质勘探人员采用了如下方法:从A处沿与AB垂直的直线方向走４０m到达Ｃ处，插一根标杆，然后沿同方向继续走１５m到达Ｄ处，再右转９０度走到Ｅ处，使Ｂ，Ｃ，Ｅ三点恰好在一条直线上，量得ＤＥ＝２０m．请你帮他们算出峡谷的宽度.
C
A
B
D
E
解：∵ＡＢ⊥ＡＤ，ＤＥ⊥ＡＤ
Ｂ
Ａ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
∴
∵AC=40,CD=15,DE=20
∴
∴△ABC∽△DEC
∵∠ACB=∠DCE,
∴∠BAC=∠EDA=Rt∠
A
B
D
O
方法二
方法三
C
D
F
E
已知:如图在圆O中弦AB与弦CD交于点P.
(1)求证:△ADP∽△CBP
(2)AP?BP=DP?CP成立吗?
为什么?
已知:如图∠ACB=∠D=RT∠
,
且AB∥CD
(1)求证:△ABC∽△BCD
(2)若AB=4,
CD=1,
则BC=
?
A
D
B
C
P
A
D
B
C
小结:
预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边
的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
通过今天的学习,我们已经有几种方法可以证明两个三角形相似?
利用定义:(涉及条件太多,一般不选用)
相似三角形的判定定理1：两角对应相等，两三角形相似
母子相似定理：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
填
空：
1、直角三角形被
高分成的两个直角
三角形相似，它们和原三角形
３、两个等腰三角形都有一个角是45
°，则这两个三角
形
２、两个等腰三角形都有一个角是95°
，则这两个三角
形
斜边上的
一定相
似
相
似
不一定相
似
练一练
选 择:
1、下列结论中，不正确的是（ ）
Ａ、有一个角为９０°的两个等腰三角形相似
Ｂ、有一个角为６０°的两个等腰三角形相似
Ｃ、有一个角为３０°的两个等腰三角形相似
Ｄ、有一个角为１００°的两个等腰三角形相似
Ｃ
2、下列结论中，正确的个数是（ ）
①任意两个等腰三角形都相似
②任意两个等边三角形都相似
③任意两个直角三角形都相似
④任意两个等腰直角三角形都相似
Ａ、１个 Ｂ、２个 Ｃ、３个 Ｄ、４个
Ｂ
1、
如图，在ΔABC中
，点D、E分别是边AB、AC上的点，连结DE，利用所学的知识讨论：当具备怎样的条件时，ΔADE与
ΔABC相似？
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
思考
2、已知：如图，在ΔABC中，AD、BE分别是BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。
（2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？请一一写出
。
A
B
C
D
E
（1）求证：ΔAEF∽ΔADC；
F
答:有ΔAEF∽ΔADC∽ΔBEC∽ΔBDF.
A
C
B
D
E
2.如图，
内接于圆O，
的平分线分别交圆O
，BC于点D，E，连结BD
（2）连结CD,根据题中条件，找
出图中各对相似三角形。
（1）求证：
发散探究
说说你在这节课中的收获与体会
预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
简单说成:两个角对应相等,两三角形相似.(共19张PPT)
4.4
两个三角形相似的判定
（第2课时）
类似于判定三角形全等的SAS方法，我们能不
能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？
问题探究
A'
B'
C'
A
B
C
∠A＝∠A'
△ABC
∽
△A'B'C'
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．
已知：如图，
△A'B'C'和
△ABC中，∠A
'
=∠A，A'B'：AB＝A'C'：AC
求证：△A'B'C'
∽
△ABC
证明：在△ABC
的边AB、AC（或它们的延长线）上别截取AD＝A'B'，AE＝A'C'，连结DE，因∠A
'
=∠A，这样△A'B'C'
≌
△ADE
∴
DE//BC
∴
△ADE
∽
△ABC
∴
△A'B'C'
∽
△ABC
A'
B'
C'
A
B
C
D
E
探究证明
例2
如图，用卡钳测量容器内径的示意图.现量得卡钳上A、D两点的距离为5cm，
,求容器的内径BC.
例题探究
例3
如图已知点D,E分别在AB,AC上,
求证:DE‖BC.
D
E
B
C
A
证明：在△ADE和△ABC中∠A=∠A，
所以△ADE
∽
△ABC
故∠ADE=∠B
所以DE‖BC.
例1
如图,已知点D,E分别在AB,AC上,
1)
求证:DE∥BC.
A
B
C
D
E
2)
若BC=6，求DE。
对于△ABC和△A'B'C'，如果
∠B＝∠B'，这
两个三角形一定相似吗？试着画画看．
?
思
考
不一定相似
1．判
断
(1)有一个锐角相等的两个直角三角形相似.（
）
(2)有一个角相等的两个等腰三角形相似.（
）
(3)顶角相等的两个等腰三角形相似.（
）
√
√
×
课堂练习
2．有一池塘,
周围都是空地.
如果要测量池塘两端A，B间的距离,
你能利用本节所学的知识解决这个问题吗?
?
?
A
B
?
?
?
D
E
C
?
?
?
?
C
E
D
?
?
B
A
3.根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：
∠A=40°，AB=8，AC=15
∠A'
=40°，A'B'
=16，A'C'
=30
解：
∠A=∠A'
∴△ABC∽△A'B'C'
判定定理1：
有两个角对应相等的两个三角形相似。
判定定理2：
“两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似.”
下面我们来探索还可用哪些条件来判定两个三角形相似.
A
B
C
D
E
5
6
15
18
A
B
C
D
E
5
6
4
7
A
B
C
D
E
18
12
4
11
判断下列图形中的两个三角形是否相似：
如图,在△ABC中,D是AC上一点.已知∠ABD＝40°
,
求∠C的度数.
1.如图,D为△ABC的边AC上一点.若要使△ABD与△ACB相似,可添加什么条件?
2如图所示：AD是在△ABC边BC上的高，
（1）若
则△ABD
∽△CAD吗？
（2）若
则△ABD
∽△CAD吗？
A
B
C
D
（3）若
则△ABD
∽△CAD吗？
3.给一版墙报镶边,需要4cm宽的彩色纸条48cm.现有如图一张三角形彩色纸零料,其中BC＝25cm,BC边上的高线长为20cm.小慧给出一种裁纸方法:如图,将AB,AC分别五等分,然后连结两边对应的点,并以这些连结线为一边作矩形.剪下矩形纸条(图中阴影部分)作为墙报镶边的材料.问:小慧的这种方法能满足这版墙报镶边的需吗？请说明理由.
1.
这节课你有什么收获？
2.
完成课后习题
课堂小结(共13张PPT)
浙教版九年级上册
4.4两个三角形相似的判定(第3课时)
复习回顾
我们已经学习了哪几种判定三角形相似的方法？
１．相似三角形的预备定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.
2.
判定定理1:
有两个角对应相等的两个三角形相似.
A
E
C
B
D
3.
判定定理2:
两边对应成比例,且夹角相等的两个
三角形相似.
A
B
C
C3
B3
A3
C2
B2
A2
C2
B2
A1
判定定理3：如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。可简单说成：三边对应成比例的两个三角形相似。
?
?
?
判定定理3的几何格式：
∴△A?B?C?∽△ABC
例2
如图判断4×4方格中的两个三角形是否相似,并说明理由.
E
D
F
B
A
C
下面图形中与
相似的三角形有＿＿＿＿
(1)
(2)
(3)
(4)
已知：如图，O为△ABC内一点，
分别是OA，OB，OC上的点，且
.
求证：
∽△ABC
.
例2
1.已知:如图,在△ABC中,点F,O,G在BC边上,点E在AO上，
.
求证:△EFG∽△ABC.
练一练
图4－4－41
练一练
2.
1．下列三角形中：__________相似，__________相似，__________相似．
图4－4－37
①与⑥
②与④
③与⑤
对点自测
2.已知：在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6.
(1)如果DE＝10，那么当EF＝________，FD＝_____时，△DEF∽△ABC；
(2)如果DE＝10，那么当EF＝______，FD＝_____时，△FDE∽△ABC.
12.5
15
12
8
对点自测
3．如图，在矩形ABEF中，四边形ABCH、四边形CDGH和四边形DEFG都是正方形，图中的△ACD与△ECA相似吗？为什么？
对点自测
