2020-2021学年浙教新版九年级上册数学《第4章 相似三角形》单元测试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年浙教新版九年级上册数学《第4章
相似三角形》单元测试卷
一．选择题
1．点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，若AC＝2，则BC的长为（　　）
A．
B．
C．
+1
D．﹣1
2．若两个相似五边形的相似比为3：5，则它们的面积比为（　　）
A．3：5
B．5：3
C．9：25
D．25：9
3．已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝8，DO＝4，CD＝3，则AB的长是（　　）
A．2
B．3
C．4
D．6
5．设a＞0，b＞0，称为a，b的“调和平均数”，如图，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O是AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，如：图中的线段OD的长度是a，b的算术平均数，则长度是a，b的“调和平均数”的线段是（　　）
A．OC
B．CE
C．DE
D．OE
6．如图．在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别为（﹣2，5）、（0，5）、（0，﹣1）、（4，﹣1）．若线段AB和CD是位似图形，位似中心在y轴上，则位似中心的坐标为（　　）
A．（0，1）
B．（0，）
C．（0，）
D．（0，3）
7．如图，两条直线被三条平行线所截，AB＝4，BC＝6，DF＝9，则DE的长为（　　）
A．3.2
B．3.6
C．4
D．4.2
8．已知点E、F分别在△ABC的AB、AC边上，则下列判断正确的是（　　）
A．若△AEF与△ABC相似，则EF∥BC
B．若AE×BE＝AF×FC，则△AEF与△ABC相似
C．若，则△AEF与△ABC相似
D．若AF?BE＝AE?FC，则△AEF与△ABC相似
9．如图，某测量工作人员站在地面点B处利用标杆FC测量一旗杆ED的高度．测量人员眼睛处点A与标杆顶端处点F，旗杆顶端处点E在同一直线上，点B，C，D也在同一条直线上．已知此人眼睛到地面距离AB＝1.6米，标杆高FC＝3.2米，且BC＝1米，CD＝5米，则旗杆的高度为（　　）
A．8.4米
B．9.6米
C．11.2米
D．12.4米
10．在坐标系中，已知A（6，0），B（0，8），C（0，﹣2），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作（　　）条．
A．3
B．4
C．5
D．6
二．填空题
11．两个三角形的相似比是2：3，那么它们面积的比是　
　．
12．已知3a﹣5b＝0，则＝　
　．
13．四条线段a、b、c、d成比例，其中a＝3cm，b＝9cm，d＝6cm，则c＝　
　．
14．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S2，S1　
　S2（填“＞”或“＝”或“＜”）．
15．若两个相似多边形的相似比是2：3，则它们的面积比等于　
　．
16．如图，周一某校升国旗时，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子AD刚好在甲的影子AC里边，已知甲身高BC为1.6米，乙身高DE为1.4米，甲的影长AC是6米，则甲、乙同学相距　
　米．
17．已知点M是线段AB的黄金分割点，线段AB的长度为12cm，那么较长的线段AM的长是　
　cm．
18．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为（2，﹣5），若以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的位似比为2：1，且点A1和点A不在同一象限内，则点A1的坐标为　
　．
19．如图，⊙O的直径AB过的中点A，若∠C＝30°，AB、CD交于点E，连接AC、BD，则＝　
　．
20．如图，已知直线l1∥l2∥l3，如果DE：EF＝2：3，AC＝15，那么BC＝　
　．
三．解答题
21．已知a：b：c＝2：3：5，如果3a﹣b+c＝24，求a，b，c的值．
22．如图，点B是线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，若AC＝2，求AB、BC的长．
23．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若，DE＝6，求EF的长．
24．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝6，S△AOC＝50，
求：（1）AO的长；
（2）求S△BOD
25．如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥EC交AB于F，连接FC，求证：△AEF∽△DCE．
26．△ABC是一块直角三角形余料，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，如图将它加工成正方形零件，试说明哪种方法利用率高？（得到的正方形的面积较大）
27．两个相似多边形的最长边分别为6cm和8cm，它们的周长之和为56cm，面积之差为28cm2，求较小相似多边形的周长与面积．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，
∴BC＝AC，
∵AC＝2，
∴BC＝﹣1．
故选：D．
2．解：∵两个相似五边形的相似比为3：5，
∴它们的面积比为：9：25．
故选：C．
3．解：A、变成等积式是：xy＝6，故错误；
B、变成等积式是：3x＝y，故错误；
C、变成等积式是：2x＝3y，故正确；
D、变成等积式是：2x＝﹣5y，故错误；
故选：C．
4．解：∵△ABO∽△CDO，
∴，
∵BO＝8，DO＝4，CD＝3，
∴＝，
解得：AB＝6．
故选：D．
5．解：∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，又DC⊥AB，
∴CD2＝AC?BC＝ab，
∵线段OD的长度是a，b的算术平均数，
∴OD＝，
∵DC⊥OC，CE⊥OD，
∴CD2＝DE?OD，
∴DE＝＝＝，
∴线段DE的长度是a，b的“调和平均数”，
故选：C．
6．解：连接AD交BC于E，则点E为位似中心，
∵点A、B、C、D的坐标分别为（﹣2，5）、（0，5）、（0，﹣1）、（4，﹣1），
∴AB＝2，CD＝4，BC＝6，
∵线段AB和CD是位似图形，
∴AB∥CD，
∴＝，即＝，
解得，BE＝2，
∴OE＝OB﹣BE＝3，
∴位似中心点E的坐标为（0，3），
故选：D．
7．解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
∴，
∵DF＝9，
∴DE＝，
故选：B．
8．解：选项A错误，∵△AEF与△ABC相似，可能是∠AEF＝∠C，推不出EF∥BC．
选项B错误，由AE×BE＝AF×FC，推不出△AEF与△ABC相似．
选项C错误，由，推不出△AEF与△ABC相似．
选项D正确．理由：∵AF?BE＝AE?FC，
∴＝，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC．
故选：D．
9．解：作AH⊥ED交FC于点G，如图所示：
∵FC⊥BD，ED⊥BD，AH⊥ED交FC于点G，
∴FG∥EH，
∵AH⊥ED，BD⊥ED，AB⊥BC，ED⊥BC，
∴AH＝BD，AG＝BC，
∵AB＝1.6，FC＝3.2，BC＝1，CD＝5，
∴FG＝3.2﹣1.6＝1.6，BD＝6，
∵FG∥EH，
∴，＝
解得：EH＝9.6，
∴ED＝9.6+1.6＝11.2（m）
答：电视塔的高ED是11.2米，
故选：C．
10．解：若△AOB∽△COD，则＝＝，
∴OD＝，则D（，0）或（﹣，0）．
若△AOB∽△DOC，则＝＝，
∴OD＝，则D（，0）或（﹣，0）．
所以可以作出四条直线．
故选：B．
二．填空题
11．解：∵两个三角形的相似比是2：3，
∴它们面积的比是（）2＝，
故答案为：4：9．
12．解：∵3a﹣5b＝0，
∴3a＝5b，
∴＝；
故答案为：．
13．解：∵四条线段a、b、c、d成比例，
∴＝，
∵a＝3cm，b＝9cm，d＝6cm，
∴＝，
解得：c＝2（cm），
故答案为：2cm．
14．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，
∴AP2＝BP×AB，
又∵S1＝AP2，S2＝PB×AB，
∴S1＝S2．
故答案为：＝．
15．解：∵两个相似多边形的相似比为2：3，
∴它们的面积比＝22：32＝4：9．
故答案为：4：9
16．解：设两个同学相距x米，
∵△ADE∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
解得：CD＝0.75．
故答案为0.75．
17．解：∵点M是线段AB的黄金分割点，AM＞BM，
∴AM＝AB＝（6﹣6）厘米，
故答案为：（6﹣6）．
18．解：在同一象限内，
∵△ABC与△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是2：1，A坐标为（2，﹣5），
∴则点A′的坐标为：（1，﹣2.5），
不在同一象限内，
∵△ABC与△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是2：1，A坐标为（2，﹣5），
∴则点A′的坐标为：（﹣1，2.5），
故答案为：（﹣1，2.5）．
19．解：∵⊙O的直径AB过的中点A，
∴＝，
∴DE＝EC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BED＝∠CEA＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠DCA＝∠DBA＝30°，
∴△AEC∽△DEB，
∴＝，
设DE＝EC＝x，
∵∠C＝30°，
∴AE＝x，
∵∠DBA＝30°，
∴BE＝x，
∴＝＝；
故答案为：．
20．解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∴，
∵AC＝15，
∴BC＝9，
故答案为：9．
三．解答题
21．解：∵a：b：c＝2：3：5，
∴设a＝2t，b＝3t，c＝5t，
∵3a﹣b+c＝24，
∴6t﹣3t+5t＝24，解得t＝3，
∴a＝6，b＝9，c＝15．
22．解：∵点B是线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，
∴AB＝×AC＝﹣1，
∴BC＝AC﹣AB＝2﹣（﹣1）＝3﹣．
23．解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵，DE＝6，
∴，
∴EF＝9．
24．解：（1）∵△OBD∽△OAC，
∴＝＝，
∵BO＝6，
∴AO＝10；
（2）∵△OBD∽△OAC，＝，
∴＝，
∵S△AOC＝50，
∴S△BOD＝18．
25．证明：∵∠FEC＝90°，
∴∠AEF+∠DEC＝90°，
∵ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵∠A+∠AFE+∠AEF＝180°，
∴∠AFE+∠AEF＝90°，
∴∠DEC＝∠AFE，
又∵∠A＝∠D，
∴△AEF∽△DCE．
26．解：当所截的正方形的边在△ABC的直角边上，如图1，设正方形CDEF边长为x，则DE＝xcm，BD＝BC﹣CD＝（6﹣x）cm，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴＝，即＝，
解得：x＝（cm），
即正方形BDEF边长为cm；
当所截的正方形的边在△ABC的斜边上，如图2，作CH⊥AB于H，交MQ于J，
则MN∥CH，
AB＝＝＝10，
∵CH?AB＝AC?BC
∴CH＝＝（cm），
设正方形MNPQ边长为x，则QM＝x，BJ＝﹣x，
∵QM∥AB，
∴△CMQ∽△CBA，
∴＝，即＝，
解得：x＝（cm），
即正方形BDEF边长为（cm）；
∵＝＞，
∴图1利用率高．
27．解：设较小相似多边形的周长为x，面积为y，则较大相似多边形的周长为56﹣x，面积28+y，
根据题意得＝，＝（）2，
解得x＝24，y＝36，
所以较小相似多边形的周长为24cm，面积为36cm2．