4.1比例线段(3)
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(共35张PPT)
感受匀称、协调之美
新西兰
朝 鲜
新加坡
中华人民共和国
上述的国旗中有共同图案吗？
④
②
③
下列矩形中,哪个比较匀称好看
①
取一张长与宽之比为 的长方形，将它对折，请判断图中两个长方形长与宽这４条线段是否成比例，如果成比例，请写出比例式
a
b
b
c
这个比例式有什么特别之处吗？
一般地，如果三个数a,b,c满足比例式
则b就叫a,c的比例中项
(2) 和 的比例中项是什么？
练习1：
(1)1是不是 和 的比例中项？
(3) 若线段a=2cm,b=8cm,则线段a和b的比例中项是什么
注意：线段的比例中项是一个正数，而数的比例中项是一对相反数
是
±1
4cm
著名画家达 芬奇的名画＜蒙娜丽莎＞，画中脸部被围在矩形ＡＢＣＤ中，图中四边形ＢＣＥＦ为正方形，而在线段上的点Ｆ把线段分成两条线段，其中
Ｄ
Ｃ
Ｅ
AB
BF
BF
AF
=
A
B
C
D
E
F
.
.
.
A
P
B
如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB，
使 ，那么称线段AB被点P 黄金分割,
点P叫做线段AB的 黄金分割点,
线段AP与AB的比叫做 黄金比.
BP
AP
AP
AB
=
思考:如何求出黄金比的数值
利用一元二次方程的知识，可以求出黄金比的数值几，即 的值
Ｂ
Ｐ
Ａ
设ＡＢ＝a, AP=x
Ｂ
Ｐ
Ａ
1.已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>CB
则下列等式成立的是（ ）
(A) AB=AC CB (B) CB=AC AB
(C) AC=CB AB (D) AC2=AB BC
2.已知：线段AB=18cm ，点C是AB的黄金分割点，且AC>BC ，求AC和BC的长.
若矩形的宽与长的比约为0.618,这样的矩形称之为黄金矩形.
新西兰
朝 鲜
新加坡
中华人民共和国
自己动手找黄金分割点
她的上半
身和下半身的比值接近
0.618.
世界艺术珍品——维纳斯女神
观察 欣赏
，她是西元前一
百多年希腊雕塑鼎盛时
期的代表作，
你知道芭蕾舞演员跳舞时为什么要掂起脚尖吗
芭蕾舞演员的身段是苗条的，但下半身与身高的比值也只有0.58左右，演员在表演时掂起脚尖，身高就可以增加6-8cm.这时比值就接近0.618了,给人以更为优美的艺术形象.
芭蕾舞
观察 欣赏
4.上海东方明珠电视塔高468m,上球体是塔身的黄金分割点,它到塔底部的距离大约是多少米(精确到0.1m)
468m
实际应用
468×0.618≈289.2m
耐人寻味的0.618
读一读
打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬30度左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与北纬30度有关的地方。奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，九寨沟等等。衔远山，吞长江的中国三大淡水湖也恰好在这黄金分割的纬度上。
耐人寻味的0.618
读一读
蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比, 普通树叶的宽与长之比也接近0.618; 节目主持人报幕，绝对不会站在舞台的中央，而总是站在舞台的1／3处，站在舞台上侧近于0.618的位置才是最佳的位置; 生活中用的纸为黄金矩形，这样的长方形让人看起来舒服顺眼，正规裁法得到的纸张，不管其大小，如对于8开、16开、32开等，都仍然是近似的黄金矩形。
勾股定理和黄金分割是几何中的双宝,
“前者好似黄金，后者堪称珠玉”。
（1）过已知线段AB的端点B作BC⊥AB
使
例５：已知线段AB=a，用直尺和圆规作出它的黄金分割点。
a
A
B
作法:
（2）连接AC，在CA上截取CD=CB
（3）在AB上截取AP=AD
A
B
C
D
P
P
所以，点P就是线段a的黄金分割点。
1.作顶角为36°的等腰△ABC;量出
底BC与腰AB的长度,计算: ;
2.作∠B的平分线,交AC于点D,量出CD的长度,
再计算: . (精确到0.001)
D
C
A
B
E
尝试
0.618
0.618
☆再作∠C的平分线,交BD于E,
△CDE也是黄金三角形……
D
☆顶角为36°的等腰三角形称为 黄金三角形
☆点D是线段AC的黄金分割点.
C
A
D
E
B
F
H
G
M
N
如图,正五边形ABCDE的5条边相等,
5个内角也相等.
⑴找找看,图中是否有黄金三角形
找一找
如图,正五边形ABCDE的5条边相等,
5个内角也相等.
⑴找找看,图中是否有黄金三角形
⑵点F是线段 ,
的黄金分割点.
点G呢？
C
A
D
E
B
F
H
G
M
N
找一找
a
b
c
d
e
AC、
AN
BE、
BG
C
N
E
G
AEF
ABG
ABN
BCM
CDN
CDH
EDM
EDG
AEH
BCF
如图，在黄金矩形ABCD中，
（1）作正方形AEFD，使顶点E、F分别在边AB、CD上；
（2）分别量出矩形BCFE的边BE、BC的长度，它们的
比值是否约等于0.618？
重复这个过程，你能探索、归纳出黄金矩形的有关性质
吗？请与同学交流。
巴特农神庙
实际应用
1.写作业时，要想使写出来的作业看起
来美观，写字大小约占格子的（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
3
1
2
1
3
2
4
3
D
2.小明家的房间高2.8M,他打算在四周
墙中涂上涂料美化居室,从地面算起,
涂到多高时才使人感到舒适
≈
2.8×(1－0.618) 1.07
学 而 不 思 则 罔
回头一看，我想说…
1.比例中项的概念；
2.线段的比例中项与数的比例中项的区别；
3.黄金分割，黄金分割点，黄金比的概念；
4.通过计算来作图，体现数形结合思想
5.黄金分割在生活中的应用。
黄金分割点的尺规作图：
追溯黄金分割的历史文化
早在古希腊，数学家、天文学家欧多克索斯（Eudoxus，约前400——前347）曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题.
而发现黄金分割的是古希腊哲学家毕达哥拉斯。一天，毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过，被铺子中那有节奏的叮叮当当的打铁声所吸引，便站在那里仔细聆听，似乎这声音中隐匿着什么秘密。他走进作坊，拿出一把尺量了一下铁锤和铁砧的尺寸，发现它们之间存在着一种十分和谐的关系。回到家里，毕达哥拉斯拿出一根线，想将它分为两段。怎样分才最好呢？经过反复比较，他最后确定0.618 ：1的比例截断最优美。后来，意大利著名科学家、艺术家达·芬奇给这个比例冠以“黄金”二字的美名。
天文学家开普勒（Johannes Kepler,1571——1630）把这种分割线段的方法称为神圣分割，并指出，毕达哥拉斯定理（勾股定理）和黄金分割“是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉”。 而历史上最早正式在书中使用“黄金分割”这个名称的是欧姆（Martin Ohm，1792——1872）。19世纪以后，“黄金分割”的说法逐渐流行起来…。
感受匀称、协调之美
新西兰
朝 鲜
新加坡
中华人民共和国
上述的国旗中有共同图案吗？
④
②
③
下列矩形中,哪个比较匀称好看
①
取一张长与宽之比为 的长方形，将它对折，请判断图中两个长方形长与宽这４条线段是否成比例，如果成比例，请写出比例式
a
b
b
c
这个比例式有什么特别之处吗？
一般地，如果三个数a,b,c满足比例式
则b就叫a,c的比例中项
(2) 和 的比例中项是什么？
练习1：
(1)1是不是 和 的比例中项？
(3) 若线段a=2cm,b=8cm,则线段a和b的比例中项是什么
注意：线段的比例中项是一个正数，而数的比例中项是一对相反数
是
±1
4cm
著名画家达 芬奇的名画＜蒙娜丽莎＞，画中脸部被围在矩形ＡＢＣＤ中，图中四边形ＢＣＥＦ为正方形，而在线段上的点Ｆ把线段分成两条线段，其中
Ｄ
Ｃ
Ｅ
AB
BF
BF
AF
=
A
B
C
D
E
F
.
.
.
A
P
B
如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB，
使 ，那么称线段AB被点P 黄金分割,
点P叫做线段AB的 黄金分割点,
线段AP与AB的比叫做 黄金比.
BP
AP
AP
AB
=
思考:如何求出黄金比的数值
利用一元二次方程的知识，可以求出黄金比的数值几，即 的值
Ｂ
Ｐ
Ａ
设ＡＢ＝a, AP=x
Ｂ
Ｐ
Ａ
1.已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>CB
则下列等式成立的是（ ）
(A) AB=AC CB (B) CB=AC AB
(C) AC=CB AB (D) AC2=AB BC
2.已知：线段AB=18cm ，点C是AB的黄金分割点，且AC>BC ，求AC和BC的长.
若矩形的宽与长的比约为0.618,这样的矩形称之为黄金矩形.
新西兰
朝 鲜
新加坡
中华人民共和国
自己动手找黄金分割点
她的上半
身和下半身的比值接近
0.618.
世界艺术珍品——维纳斯女神
观察 欣赏
，她是西元前一
百多年希腊雕塑鼎盛时
期的代表作，
你知道芭蕾舞演员跳舞时为什么要掂起脚尖吗
芭蕾舞演员的身段是苗条的，但下半身与身高的比值也只有0.58左右，演员在表演时掂起脚尖，身高就可以增加6-8cm.这时比值就接近0.618了,给人以更为优美的艺术形象.
芭蕾舞
观察 欣赏
4.上海东方明珠电视塔高468m,上球体是塔身的黄金分割点,它到塔底部的距离大约是多少米(精确到0.1m)
468m
实际应用
468×0.618≈289.2m
耐人寻味的0.618
读一读
打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬30度左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与北纬30度有关的地方。奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，九寨沟等等。衔远山，吞长江的中国三大淡水湖也恰好在这黄金分割的纬度上。
耐人寻味的0.618
读一读
蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比, 普通树叶的宽与长之比也接近0.618; 节目主持人报幕，绝对不会站在舞台的中央，而总是站在舞台的1／3处，站在舞台上侧近于0.618的位置才是最佳的位置; 生活中用的纸为黄金矩形，这样的长方形让人看起来舒服顺眼，正规裁法得到的纸张，不管其大小，如对于8开、16开、32开等，都仍然是近似的黄金矩形。
勾股定理和黄金分割是几何中的双宝,
“前者好似黄金，后者堪称珠玉”。
（1）过已知线段AB的端点B作BC⊥AB
使
例５：已知线段AB=a，用直尺和圆规作出它的黄金分割点。
a
A
B
作法:
（2）连接AC，在CA上截取CD=CB
（3）在AB上截取AP=AD
A
B
C
D
P
P
所以，点P就是线段a的黄金分割点。
1.作顶角为36°的等腰△ABC;量出
底BC与腰AB的长度,计算: ;
2.作∠B的平分线,交AC于点D,量出CD的长度,
再计算: . (精确到0.001)
D
C
A
B
E
尝试
0.618
0.618
☆再作∠C的平分线,交BD于E,
△CDE也是黄金三角形……
D
☆顶角为36°的等腰三角形称为 黄金三角形
☆点D是线段AC的黄金分割点.
C
A
D
E
B
F
H
G
M
N
如图,正五边形ABCDE的5条边相等,
5个内角也相等.
⑴找找看,图中是否有黄金三角形
找一找
如图,正五边形ABCDE的5条边相等,
5个内角也相等.
⑴找找看,图中是否有黄金三角形
⑵点F是线段 ,
的黄金分割点.
点G呢？
C
A
D
E
B
F
H
G
M
N
找一找
a
b
c
d
e
AC、
AN
BE、
BG
C
N
E
G
AEF
ABG
ABN
BCM
CDN
CDH
EDM
EDG
AEH
BCF
如图，在黄金矩形ABCD中，
（1）作正方形AEFD，使顶点E、F分别在边AB、CD上；
（2）分别量出矩形BCFE的边BE、BC的长度，它们的
比值是否约等于0.618？
重复这个过程，你能探索、归纳出黄金矩形的有关性质
吗？请与同学交流。
巴特农神庙
实际应用
1.写作业时，要想使写出来的作业看起
来美观，写字大小约占格子的（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
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1
2
1
3
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D
2.小明家的房间高2.8M,他打算在四周
墙中涂上涂料美化居室,从地面算起,
涂到多高时才使人感到舒适
≈
2.8×(1－0.618) 1.07
学 而 不 思 则 罔
回头一看，我想说…
1.比例中项的概念；
2.线段的比例中项与数的比例中项的区别；
3.黄金分割，黄金分割点，黄金比的概念；
4.通过计算来作图，体现数形结合思想
5.黄金分割在生活中的应用。
黄金分割点的尺规作图：
追溯黄金分割的历史文化
早在古希腊，数学家、天文学家欧多克索斯（Eudoxus，约前400——前347）曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题.
而发现黄金分割的是古希腊哲学家毕达哥拉斯。一天，毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过，被铺子中那有节奏的叮叮当当的打铁声所吸引，便站在那里仔细聆听，似乎这声音中隐匿着什么秘密。他走进作坊，拿出一把尺量了一下铁锤和铁砧的尺寸，发现它们之间存在着一种十分和谐的关系。回到家里，毕达哥拉斯拿出一根线，想将它分为两段。怎样分才最好呢？经过反复比较，他最后确定0.618 ：1的比例截断最优美。后来，意大利著名科学家、艺术家达·芬奇给这个比例冠以“黄金”二字的美名。
天文学家开普勒（Johannes Kepler,1571——1630）把这种分割线段的方法称为神圣分割，并指出，毕达哥拉斯定理（勾股定理）和黄金分割“是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉”。 而历史上最早正式在书中使用“黄金分割”这个名称的是欧姆（Martin Ohm，1792——1872）。19世纪以后，“黄金分割”的说法逐渐流行起来…。
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