2020年秋浙教版九年级数学下册 第一章 解直角三角形单元强化练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2020年秋浙教版九年级数学下册 第一章 解直角三角形单元强化练习（Word版含解析） |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 445.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-11-26 00:00:00 | ||
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文档简介
2020年秋浙教版九年级数学下册
第一章
解直角三角形单元强化练习
一、选择题
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，
、
、
所对的边分别为a、b、c
，
如果a=3b
，
那么∠A的余切值为（??
）
A.????????????????B.?3????????????????????C.?????????????????D.?
2.在Rt
中，∠C=90°，如果AC=2，
，那么AB的长是（?
）
A.????????????????B.???????????????C.????????????????????D.?
3.如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上，则tanA的值为（
??）
A.?????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
4.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=
，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为(????
)
A.???????????????B.????????????C.????????????D.?
5.如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为31°，缆车速度为每分钟40米，从山脚下A到达山顶B缆车需要15分钟，则山的高度BC为（
??）
A.?????B.??????????C.?????????D.?
6.如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于
，则
（
???）
A.????????????B.????????????C.????????????D.?
7.如图，矩形
的四个顶点分别在直线
，
，
，
上．若直线
且间距相等，
，
，则
的值为（???
）
A.??????????????????B.?????????????????????C.?????????????????D.?
8.比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点B，塔身中心线
与垂直中心线
的夹角为
，过点B向垂直中心线
引垂线，垂足为点D．通过测量可得
、
、
的长度，利用测量所得的数据计算
的三角函数值，进而可求
的大小．下列关系式正确的是（???
）
A.??????????B.????C.?????????D.?
9.如图，点E，F在菱形ABCD的对角线AC上，∠ADC=120°，∠BEC=∠CBF=50°，ED与BF的延长线交于点M．则对于以下结论：①∠BME=30°
；②△ADE≌ABE；③EM=
BC；④AE+
BM=
EM，其中正确结论的个数是(
???)
A.?1个??????????????B.?2个????????????C.?3个?????????????????????D.?4个
10.如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则信号塔AB的高度约为（??
）
（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
A.?23米??????????????????B.?24米??????????????????C.?24.5米???????????????????D.?25米
二、填空题
11.如图，一辆小车沿着坡度为
的斜坡从点A向上行驶了50米到点B处，则此时该小车离水平面的垂直高度为________.
12.如图，在大楼AB的楼顶B处测得另一栋楼CD底部C的俯角为60度，已知A、C两点间的距离为15米，那么大楼AB的高度为________米．（结果保留根号）
?
13.如图，斜坡
长为100米，坡角
，现因“改小坡度”工程的需要，将斜坡
改造成坡度
的斜坡
（
、
、
三点在地面的同一条垂线上），那么由点
到点
下降了________米（结果保留根号）
14.如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为________。
15.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60°
，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为________米（结果保留根号）．
16.“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步，已知此步道外形近似于如图所示的
，其中
，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB的正中位置，E地与C地相距1km，若
，小张某天沿
路线跑一圈，则他跑了________km.
17.如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．
，斜坡
长
，斜坡
的坡比为12∶5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿
至少向右移________
时，才能确保山体不滑坡．（取
）
18.如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面坡度为1：
,则斜坡AB的长是________米．
三、解答题
19.计算：
．
20.东北师大附中为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门，如图为该测温门截面示意图，已知测温门顶部A距地面高
，为了解自己的有效测温区间，身高
的小明做了如下实验：当他在地面N处时，
测温门开始显示额头温度，
此时测得A的仰角
；在地面M处时，
测温门停止显示额头温度，
此时测得A的仰角
求小明在地面的有效测温区间
的长度．（额头到地面的距离以身高计算，结果精确到
米）（参考数据：
，
，
，
，
）
21.如图，某海岸边有B,C两码头，C码头位于B码头的正东方向，距B码头40海里.甲、乙两船同时从A岛出发，甲船向位于A岛正北方向的B码头航行，乙船向位于A岛北偏东
方向的C码头航行，当甲船到达距B码头30海里的E处时，乙船位于甲船北偏东
方向的D处，求此时乙船与C码头之间的距离.（结果保留根号）
22.如图，点E与树AB的根部点A、建筑物CD的底部点C在一条直线上，AC＝10m.小明站在点E处观测树顶B的仰角为30°，他从点E出发沿EC方向前进6m到点G时，观测树顶B的仰角为45°，此时恰好看不到建筑物CD的顶部D（H、B、D三点在一条直线上）.已知小明的眼睛离地面1.6m，求建筑物CD的高度（结果精确到0.1m）.（参考数据：
≈1.41，
≈1.73.）
23.如图，
，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点
．从建筑物
的顶点
测得
点的俯角为45°，从建筑物
的顶点
测得
点的俯角为75°，测得建筑物
的顶点
的俯角为30°．若已知建筑物
的高度为20米，求两建筑物顶点
、
之间的距离（结果精确到
，参考数据：
，
）
24.某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔
，如图所示，在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为
，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为
，求小山
的高度．
25.如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB
，
在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东45°方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东22°方向上．
（1）求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）?
（2）如果轮船M沿着南偏东30°的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．
（参考数据：sin22°≈0.375，cos22°≈0.927，tan22°≈0.404，
≈1.732．）
26.如图，△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
（1）如果点Q、P，分别从B、A同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由.
（3）当t为何值时，∠PQB=30°
27.如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，
≈1.4，
≈1.7等数据信息，解答下列问题：
（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？
（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？
28.今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．
（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：
测量对象
男性（18～60岁）
女性（18～55岁）
抽样人数（人）
2000
5000
20000
2000
5000
20000
平均身高（厘米）
173
175
176
164
165
164
根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用________厘米，女性应采用________厘米；
（2）如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆AB，AC的连接点A处，A点距地面110厘米．臂杆落下时两端点B，C在同一水平线上，BC＝100厘米，点C在点P的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．
（参考数据表）
计算器按键顺序
计算结果（近似值）
计算器按键顺序
计算结果（近似值）
0.1
78.7
0.2
84.3
1.7
5.7
3.5
11.3
答案
一、选择题
1.解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=3b
，
∴
；
故答案为：A.
2.解：∵cosA=
，
∴AB=AC·
＝
，
故答案为：B．
3.过C点作CD垂直AB于D，∠ADC=90°，在直角三角形ADC中，tanA==
故答案为：D
4.连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为
H，
则有AD=2AH，∠AHO=90°，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=
，BC=2，tan∠A=
，
∴∠A=30°，
∴OH=
OA=
，AH=AO?cos∠A=
，∠BOC=2∠A=60°，
∴AD=2AH=
，
∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD=
=
，
故答案为：A.
5.解：在直角三角形ABC中，
AB=40×15=600
∴sin∠BAC==
∴BC=600×sin31°
故答案为：C.
6.如图，过点O作
，
，设圆的半径为r，
∴△OBM与△ODN是直角三角形，
，
∵等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于
，
∴
,
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
．
故答案选B．
7.解：作CF⊥l4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，
由已知可得GE∥BF，CE＝EF，
∴△CEG∽△CFB，
∴
，
∵
，
∴
，
∵BC＝3，
∴GB＝
，
∵l3∥l4
，
∴∠α＝∠GAB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，
∴∠ABG＝90°，
∴tan∠BAG＝
=
=
，
∴tanα的值为
，
故答案为：A．
8.解：根据题意可知，在直角三角形ABD中，求∠A可由以下方法求得
①sinA=
②cosA=
③tanA=
故答案为：A.
9.解：∵菱形ABCD，
∴∠ADC=∠ABC=120°，AC平分∠DAB，AD=AB，
∴∠DAC=60°，∠BAC=∠BCE=∠DAB=×60°=30°，∠DAE=∠BAE，
∵∠BEC=∠CBF=50°，
∴∠AEB=180°-∠BEC=180°-50°=130°.
∴∠ABE=180°-∠AEB-∠BAC=180°-130°-30°=20°；
在△ADE和△ABE中，
∴△ADE≌△ABE（SAS），故②正确；
∴∠AED=∠AEB，
∴∠DEF=∠BEF=50°，
∴∠MEB=∠DEF+∠BEF=50°+50°=100°，
∴∠EBM=∠ABC-∠ABE-∠CBF=120°-20°-50°=50°，
∴∠BME=180°-∠BEM-∠EBM=180°-100°-50°=30°，故①正确；
∴∠BCE=∠BME
在△EBM和△BEC中
∴△EBM≌△BEC（AAS）
∴EM=BC，故③正确；
∴BM=EC
∴AE+EM=AE+EC=AC
连接BD，
在Rt△OBC中，∠BCO=30°
即
∴AC=2OC=
∴AE+BM=EM，故④正确；
正确结论的序号为①②③④.
故答案为：D.
10.解：过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M，
∵斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BE＝CD＝78米，
∴设EF＝x，则DF＝2.4x.
在Rt△DEF中，
∵EF2+DF2＝DE2
，
即x2+（2.4x）2＝782
，
解得x＝30，
∴EF＝30米，DF＝72米，
∴CF＝DF+DC＝72+78＝150米.
∵EM⊥AC，AC⊥CD，EF⊥CD，
∴四边形EFCM是矩形，
∴EM＝CF＝150米，CM＝EF＝30米.
在Rt△AEM中，
∵∠AEM＝43°，
∴AM＝EM?tan43°≈150×0.93＝139.5米，
∴AC＝AM+CM＝139.5+30＝169.5米.
∴AB＝AC﹣BC＝169.5﹣144.5＝25米.
故答案为：D.
二、填空题
11.解：设此时该小车离水平面的垂直高度为x米，则水平前进了
x米．
根据勾股定理可得：x2＋（
x）2＝502
．
解得x＝25．
即此时该小车离水平面的垂直高度为25米．
故答案为：25.
12.解：根据题意，△ABC是直角三角形，∠A=90°，
∴
，
∴
；
∴大楼AB的高度为
米.
故答案为：
.
13.在Rt△ABC中，∠ABC=30°，
∴AC=
AB=50，BC=AB?cos∠ABC=50
，
∵斜坡BD的坡度i=1：5，
∴DC：BC=1：5，
∴DC=10
，
则AD=50-10
，
故答案为：50-10
．
14.解：连接OC，OB，
∵
，
∴∠OBC=2∠CAB=2×30°=60°，
∵OC=OB
∴△OCB是等边三角形，
∴BC=OC=2.
∵CD⊥AB，∠CBA=45°，
∴△CDB等腰直角三角形，
∴∴∠B=45°，
∴CD=BCsin∠B=2sin45°.
故答案为：.
15.解：由题意，得∠CAD=30°，∠BAD=60°，
则在Rt△ADC中，
米，
在Rt△ADB中，
米，
∴
米．
故答案为：
．
16.解：过
点作
，
设
，
∵
，
∴
，
，
在
中，
，
，
地在
正中位置，
，
又∵
，
，
∴
，
∴
，
小张某天沿
路线跑一圈，他跑了
.
故答案为：24.
17.解：如图，设点B沿BC向右移动至点H，使得∠HAD=50°，过点H作HF⊥AD于点F，
∵AB=26，斜坡
的坡比为12∶5，
则设BE=12a，AE=5a，
∴
，解得：a=2，
∴BE=24，AE=10，
∴HF=BE=24，
∵∠HAF=50°，
则
，解得：AF=20，
∴BH=EF=20-10=10，
故坡顶B沿
至少向右移10
时，才能确保山体不滑坡，
故答案为：10．
18.解：如图所示：过点A作AF⊥BC于点F，
∵斜面坡度为1：
，
∴tan∠ABF=
，
∴∠ABF=30°，
∵在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，
∴∠HPB=30°，∠APB=45°，
∴∠HBP=60°，
∴∠PBA=90°，∠BAP=45°，
∴PB=AB，
∵PH=30m，sin60°=
，
解得：PB=
，
故AB=
m，
故答案为：
.
三、解答题
19.
解：原式
．
20.解：延长BC交AD于点E，
，小明身高为
，
故
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
，
即
，
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
易得四边形BCMN是矩形，
∴
，
故
长度为
．
21
解：方法1：
解：如图1，延长
交
延长线于点F，
由题意得
，
，
，
，
.
在
中，
，
，
，
，
（海里），
答：此时乙船与C码头之间的距离为
海里.
方法2：
解：如图2，
过点D作
于点M，
于点N，则四边形
为矩形.
.
在
中，
，
，
，
.
.
，
，
，
.
在
中，
.
，
，
.
.
在
中，
，
，
（海里）.
答：此时乙船与C码头之间的距离为
海里.
方法3：解：如图2，过点D作
于点M,
于点N，则四边形
为矩形.
.
设
，则
，
在
中，
，
，
，
，
.
在
中，
，
.
（海里）.
答：此时乙船与C码头之间的距离为
（海里）.
方法4：
如图3，过点E作
于点G，
?
在
中，
，
，
，
.
在
中，
，
，
，
，
，
，
.
于点G，
，
（海里）.
答：此时乙船与C码头之间的距离为
海里.
22.
解：如图，延长FH，交CD于点M，交AB于点N，
∵
∠BHN＝45°，BA⊥MH，
则BN＝NH，
设BN＝NH＝x，
∵
HF＝6，∠BFN＝30°，且tan∠BFN＝
＝
，
∴tan30°＝
，
解得x≈8.22，
根据题意可知：
DM＝MH＝MN+NH，
∵
MN＝AC＝10，
则DM＝10+8.22＝18.22，
∴
CD＝DM+MC＝DM+EF＝18.22+1.6＝19.82≈19.8（m）.
答：建筑物CD的高度约为19.8m.
23.
解：如图，过点A作
于点N
由题意得：
，
，
，
，
，
，
米
是等腰直角三角形
（米）
在
中，
，即
解得
（米）
在
中，
是等腰直角三角形
（米）
答：两建筑物顶点
、
之间的距离为35米．
24.
解：设
为x米，则
米，∵
∴
，而
米，
在
中，
，
则
米，
米，
在
中，
，
解得
．
答：小山
的高度为
米．
25.
（1）解：过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM=x．
∵在Rt△CDM中，CD
=
DM·tan∠CMD=
x·tan22°，
又∵在Rt△ADM中，∠MAC=45°，
∴AD=DM=x，
∵AD=AC+CD=100+
x·tan22°，
∴100+
x·tan22°=x．
∴
（米）．
答：轮船M到海岸线l的距离约为167.79米．
（2）解：作∠DMF=30°，交l于点F．
在Rt△DMF中，有：
DF=
DM·tan∠FMD=
DM·tan30°=
DM≈
≈96.87米．
∴AF=AC+CD+DF=DM+DF≈167.79+96.87=264.66<300．
∴该轮船能行至码头靠岸．
26.
（1）解：设t秒后△PBQ的面积等于6cm2
，
则AP=t，BQ=2t，BP=5-t，根据题意得
解之：t1=2，t2=3.
答：如果点Q、P，分别从B、A同时出发，那么2秒或3秒后，△PBQ的面积等于6cm2.
（2）解：由题意得：
整理得：t2-5t+8=0
b2-4ac=25-32＜0
∴此方程无实数根.
∴
在（1）中，△PQB的面积不能等于8cm2.,
（3）解：在Rt△PBQ中，∠PQB=30°，
∴
解之：.
当时，∠PQB=30°.
27.
（1）解：过点C作AB的垂线CD，垂足为D，
在直角△BCD中，AB⊥CD，sin30°＝
，BC＝1000千米，
∴CD＝BC?sin30°＝100×
＝50（千米），BD＝BC?cos30°＝100×
＝50
（千米），
在直角△ACD中，AD＝CD＝50（千米），AC＝
＝50
（千米），
∴AB＝50+50
（千米），
∴AC+BC﹣AB＝50
+100﹣（50+50
）＝50+50
﹣50
≈35（千米）．
答：从A地到景区B旅游可以少走35千米；
（2）解：设施工队原计划每天修建x千米，
依题意有，
﹣
＝50，
解得x＝0.14，经检验x＝0.14是原分式方程的解．
答：施工队原计划每天修建0.14千米．
28.
（1）176；164
（2）解：如图2中，∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝FC＝50cm，∠FAC＝∠FAB，
由题意AF＝10cm，
∴tan∠FAC＝
＝
＝5，
∴∠FAC＝78.7°，
∴∠BAC＝2∠FAC＝157.4°，
答：两臂杆的夹角为157.4°．
解：（1）用表格可知，男性应采用176厘米，女性应采用164厘米，
故答案为：176，164；
第一章
解直角三角形单元强化练习
一、选择题
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，
、
、
所对的边分别为a、b、c
，
如果a=3b
，
那么∠A的余切值为（??
）
A.????????????????B.?3????????????????????C.?????????????????D.?
2.在Rt
中，∠C=90°，如果AC=2，
，那么AB的长是（?
）
A.????????????????B.???????????????C.????????????????????D.?
3.如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上，则tanA的值为（
??）
A.?????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
4.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=
，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为(????
)
A.???????????????B.????????????C.????????????D.?
5.如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为31°，缆车速度为每分钟40米，从山脚下A到达山顶B缆车需要15分钟，则山的高度BC为（
??）
A.?????B.??????????C.?????????D.?
6.如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于
，则
（
???）
A.????????????B.????????????C.????????????D.?
7.如图，矩形
的四个顶点分别在直线
，
，
，
上．若直线
且间距相等，
，
，则
的值为（???
）
A.??????????????????B.?????????????????????C.?????????????????D.?
8.比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点B，塔身中心线
与垂直中心线
的夹角为
，过点B向垂直中心线
引垂线，垂足为点D．通过测量可得
、
、
的长度，利用测量所得的数据计算
的三角函数值，进而可求
的大小．下列关系式正确的是（???
）
A.??????????B.????C.?????????D.?
9.如图，点E，F在菱形ABCD的对角线AC上，∠ADC=120°，∠BEC=∠CBF=50°，ED与BF的延长线交于点M．则对于以下结论：①∠BME=30°
；②△ADE≌ABE；③EM=
BC；④AE+
BM=
EM，其中正确结论的个数是(
???)
A.?1个??????????????B.?2个????????????C.?3个?????????????????????D.?4个
10.如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则信号塔AB的高度约为（??
）
（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
A.?23米??????????????????B.?24米??????????????????C.?24.5米???????????????????D.?25米
二、填空题
11.如图，一辆小车沿着坡度为
的斜坡从点A向上行驶了50米到点B处，则此时该小车离水平面的垂直高度为________.
12.如图，在大楼AB的楼顶B处测得另一栋楼CD底部C的俯角为60度，已知A、C两点间的距离为15米，那么大楼AB的高度为________米．（结果保留根号）
?
13.如图，斜坡
长为100米，坡角
，现因“改小坡度”工程的需要，将斜坡
改造成坡度
的斜坡
（
、
、
三点在地面的同一条垂线上），那么由点
到点
下降了________米（结果保留根号）
14.如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为________。
15.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60°
，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为________米（结果保留根号）．
16.“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步，已知此步道外形近似于如图所示的
，其中
，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB的正中位置，E地与C地相距1km，若
，小张某天沿
路线跑一圈，则他跑了________km.
17.如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．
，斜坡
长
，斜坡
的坡比为12∶5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿
至少向右移________
时，才能确保山体不滑坡．（取
）
18.如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面坡度为1：
,则斜坡AB的长是________米．
三、解答题
19.计算：
．
20.东北师大附中为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门，如图为该测温门截面示意图，已知测温门顶部A距地面高
，为了解自己的有效测温区间，身高
的小明做了如下实验：当他在地面N处时，
测温门开始显示额头温度，
此时测得A的仰角
；在地面M处时，
测温门停止显示额头温度，
此时测得A的仰角
求小明在地面的有效测温区间
的长度．（额头到地面的距离以身高计算，结果精确到
米）（参考数据：
，
，
，
，
）
21.如图，某海岸边有B,C两码头，C码头位于B码头的正东方向，距B码头40海里.甲、乙两船同时从A岛出发，甲船向位于A岛正北方向的B码头航行，乙船向位于A岛北偏东
方向的C码头航行，当甲船到达距B码头30海里的E处时，乙船位于甲船北偏东
方向的D处，求此时乙船与C码头之间的距离.（结果保留根号）
22.如图，点E与树AB的根部点A、建筑物CD的底部点C在一条直线上，AC＝10m.小明站在点E处观测树顶B的仰角为30°，他从点E出发沿EC方向前进6m到点G时，观测树顶B的仰角为45°，此时恰好看不到建筑物CD的顶部D（H、B、D三点在一条直线上）.已知小明的眼睛离地面1.6m，求建筑物CD的高度（结果精确到0.1m）.（参考数据：
≈1.41，
≈1.73.）
23.如图，
，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点
．从建筑物
的顶点
测得
点的俯角为45°，从建筑物
的顶点
测得
点的俯角为75°，测得建筑物
的顶点
的俯角为30°．若已知建筑物
的高度为20米，求两建筑物顶点
、
之间的距离（结果精确到
，参考数据：
，
）
24.某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔
，如图所示，在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为
，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为
，求小山
的高度．
25.如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB
，
在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东45°方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东22°方向上．
（1）求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）?
（2）如果轮船M沿着南偏东30°的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．
（参考数据：sin22°≈0.375，cos22°≈0.927，tan22°≈0.404，
≈1.732．）
26.如图，△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
（1）如果点Q、P，分别从B、A同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由.
（3）当t为何值时，∠PQB=30°
27.如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，
≈1.4，
≈1.7等数据信息，解答下列问题：
（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？
（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？
28.今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．
（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：
测量对象
男性（18～60岁）
女性（18～55岁）
抽样人数（人）
2000
5000
20000
2000
5000
20000
平均身高（厘米）
173
175
176
164
165
164
根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用________厘米，女性应采用________厘米；
（2）如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆AB，AC的连接点A处，A点距地面110厘米．臂杆落下时两端点B，C在同一水平线上，BC＝100厘米，点C在点P的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．
（参考数据表）
计算器按键顺序
计算结果（近似值）
计算器按键顺序
计算结果（近似值）
0.1
78.7
0.2
84.3
1.7
5.7
3.5
11.3
答案
一、选择题
1.解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=3b
，
∴
；
故答案为：A.
2.解：∵cosA=
，
∴AB=AC·
＝
，
故答案为：B．
3.过C点作CD垂直AB于D，∠ADC=90°，在直角三角形ADC中，tanA==
故答案为：D
4.连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为
H，
则有AD=2AH，∠AHO=90°，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=
，BC=2，tan∠A=
，
∴∠A=30°，
∴OH=
OA=
，AH=AO?cos∠A=
，∠BOC=2∠A=60°，
∴AD=2AH=
，
∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD=
=
，
故答案为：A.
5.解：在直角三角形ABC中，
AB=40×15=600
∴sin∠BAC==
∴BC=600×sin31°
故答案为：C.
6.如图，过点O作
，
，设圆的半径为r，
∴△OBM与△ODN是直角三角形，
，
∵等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于
，
∴
,
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
．
故答案选B．
7.解：作CF⊥l4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，
由已知可得GE∥BF，CE＝EF，
∴△CEG∽△CFB，
∴
，
∵
，
∴
，
∵BC＝3，
∴GB＝
，
∵l3∥l4
，
∴∠α＝∠GAB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，
∴∠ABG＝90°，
∴tan∠BAG＝
=
=
，
∴tanα的值为
，
故答案为：A．
8.解：根据题意可知，在直角三角形ABD中，求∠A可由以下方法求得
①sinA=
②cosA=
③tanA=
故答案为：A.
9.解：∵菱形ABCD，
∴∠ADC=∠ABC=120°，AC平分∠DAB，AD=AB，
∴∠DAC=60°，∠BAC=∠BCE=∠DAB=×60°=30°，∠DAE=∠BAE，
∵∠BEC=∠CBF=50°，
∴∠AEB=180°-∠BEC=180°-50°=130°.
∴∠ABE=180°-∠AEB-∠BAC=180°-130°-30°=20°；
在△ADE和△ABE中，
∴△ADE≌△ABE（SAS），故②正确；
∴∠AED=∠AEB，
∴∠DEF=∠BEF=50°，
∴∠MEB=∠DEF+∠BEF=50°+50°=100°，
∴∠EBM=∠ABC-∠ABE-∠CBF=120°-20°-50°=50°，
∴∠BME=180°-∠BEM-∠EBM=180°-100°-50°=30°，故①正确；
∴∠BCE=∠BME
在△EBM和△BEC中
∴△EBM≌△BEC（AAS）
∴EM=BC，故③正确；
∴BM=EC
∴AE+EM=AE+EC=AC
连接BD，
在Rt△OBC中，∠BCO=30°
即
∴AC=2OC=
∴AE+BM=EM，故④正确；
正确结论的序号为①②③④.
故答案为：D.
10.解：过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M，
∵斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BE＝CD＝78米，
∴设EF＝x，则DF＝2.4x.
在Rt△DEF中，
∵EF2+DF2＝DE2
，
即x2+（2.4x）2＝782
，
解得x＝30，
∴EF＝30米，DF＝72米，
∴CF＝DF+DC＝72+78＝150米.
∵EM⊥AC，AC⊥CD，EF⊥CD，
∴四边形EFCM是矩形，
∴EM＝CF＝150米，CM＝EF＝30米.
在Rt△AEM中，
∵∠AEM＝43°，
∴AM＝EM?tan43°≈150×0.93＝139.5米，
∴AC＝AM+CM＝139.5+30＝169.5米.
∴AB＝AC﹣BC＝169.5﹣144.5＝25米.
故答案为：D.
二、填空题
11.解：设此时该小车离水平面的垂直高度为x米，则水平前进了
x米．
根据勾股定理可得：x2＋（
x）2＝502
．
解得x＝25．
即此时该小车离水平面的垂直高度为25米．
故答案为：25.
12.解：根据题意，△ABC是直角三角形，∠A=90°，
∴
，
∴
；
∴大楼AB的高度为
米.
故答案为：
.
13.在Rt△ABC中，∠ABC=30°，
∴AC=
AB=50，BC=AB?cos∠ABC=50
，
∵斜坡BD的坡度i=1：5，
∴DC：BC=1：5，
∴DC=10
，
则AD=50-10
，
故答案为：50-10
．
14.解：连接OC，OB，
∵
，
∴∠OBC=2∠CAB=2×30°=60°，
∵OC=OB
∴△OCB是等边三角形，
∴BC=OC=2.
∵CD⊥AB，∠CBA=45°，
∴△CDB等腰直角三角形，
∴∴∠B=45°，
∴CD=BCsin∠B=2sin45°.
故答案为：.
15.解：由题意，得∠CAD=30°，∠BAD=60°，
则在Rt△ADC中，
米，
在Rt△ADB中，
米，
∴
米．
故答案为：
．
16.解：过
点作
，
设
，
∵
，
∴
，
，
在
中，
，
，
地在
正中位置，
，
又∵
，
，
∴
，
∴
，
小张某天沿
路线跑一圈，他跑了
.
故答案为：24.
17.解：如图，设点B沿BC向右移动至点H，使得∠HAD=50°，过点H作HF⊥AD于点F，
∵AB=26，斜坡
的坡比为12∶5，
则设BE=12a，AE=5a，
∴
，解得：a=2，
∴BE=24，AE=10，
∴HF=BE=24，
∵∠HAF=50°，
则
，解得：AF=20，
∴BH=EF=20-10=10，
故坡顶B沿
至少向右移10
时，才能确保山体不滑坡，
故答案为：10．
18.解：如图所示：过点A作AF⊥BC于点F，
∵斜面坡度为1：
，
∴tan∠ABF=
，
∴∠ABF=30°，
∵在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，
∴∠HPB=30°，∠APB=45°，
∴∠HBP=60°，
∴∠PBA=90°，∠BAP=45°，
∴PB=AB，
∵PH=30m，sin60°=
，
解得：PB=
，
故AB=
m，
故答案为：
.
三、解答题
19.
解：原式
．
20.解：延长BC交AD于点E，
，小明身高为
，
故
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
，
即
，
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
易得四边形BCMN是矩形，
∴
，
故
长度为
．
21
解：方法1：
解：如图1，延长
交
延长线于点F，
由题意得
，
，
，
，
.
在
中，
，
，
，
，
（海里），
答：此时乙船与C码头之间的距离为
海里.
方法2：
解：如图2，
过点D作
于点M，
于点N，则四边形
为矩形.
.
在
中，
，
，
，
.
.
，
，
，
.
在
中，
.
，
，
.
.
在
中，
，
，
（海里）.
答：此时乙船与C码头之间的距离为
海里.
方法3：解：如图2，过点D作
于点M,
于点N，则四边形
为矩形.
.
设
，则
，
在
中，
，
，
，
，
.
在
中，
，
.
（海里）.
答：此时乙船与C码头之间的距离为
（海里）.
方法4：
如图3，过点E作
于点G，
?
在
中，
，
，
，
.
在
中，
，
，
，
，
，
，
.
于点G，
，
（海里）.
答：此时乙船与C码头之间的距离为
海里.
22.
解：如图，延长FH，交CD于点M，交AB于点N，
∵
∠BHN＝45°，BA⊥MH，
则BN＝NH，
设BN＝NH＝x，
∵
HF＝6，∠BFN＝30°，且tan∠BFN＝
＝
，
∴tan30°＝
，
解得x≈8.22，
根据题意可知：
DM＝MH＝MN+NH，
∵
MN＝AC＝10，
则DM＝10+8.22＝18.22，
∴
CD＝DM+MC＝DM+EF＝18.22+1.6＝19.82≈19.8（m）.
答：建筑物CD的高度约为19.8m.
23.
解：如图，过点A作
于点N
由题意得：
，
，
，
，
，
，
米
是等腰直角三角形
（米）
在
中，
，即
解得
（米）
在
中，
是等腰直角三角形
（米）
答：两建筑物顶点
、
之间的距离为35米．
24.
解：设
为x米，则
米，∵
∴
，而
米，
在
中，
，
则
米，
米，
在
中，
，
解得
．
答：小山
的高度为
米．
25.
（1）解：过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM=x．
∵在Rt△CDM中，CD
=
DM·tan∠CMD=
x·tan22°，
又∵在Rt△ADM中，∠MAC=45°，
∴AD=DM=x，
∵AD=AC+CD=100+
x·tan22°，
∴100+
x·tan22°=x．
∴
（米）．
答：轮船M到海岸线l的距离约为167.79米．
（2）解：作∠DMF=30°，交l于点F．
在Rt△DMF中，有：
DF=
DM·tan∠FMD=
DM·tan30°=
DM≈
≈96.87米．
∴AF=AC+CD+DF=DM+DF≈167.79+96.87=264.66<300．
∴该轮船能行至码头靠岸．
26.
（1）解：设t秒后△PBQ的面积等于6cm2
，
则AP=t，BQ=2t，BP=5-t，根据题意得
解之：t1=2，t2=3.
答：如果点Q、P，分别从B、A同时出发，那么2秒或3秒后，△PBQ的面积等于6cm2.
（2）解：由题意得：
整理得：t2-5t+8=0
b2-4ac=25-32＜0
∴此方程无实数根.
∴
在（1）中，△PQB的面积不能等于8cm2.,
（3）解：在Rt△PBQ中，∠PQB=30°，
∴
解之：.
当时，∠PQB=30°.
27.
（1）解：过点C作AB的垂线CD，垂足为D，
在直角△BCD中，AB⊥CD，sin30°＝
，BC＝1000千米，
∴CD＝BC?sin30°＝100×
＝50（千米），BD＝BC?cos30°＝100×
＝50
（千米），
在直角△ACD中，AD＝CD＝50（千米），AC＝
＝50
（千米），
∴AB＝50+50
（千米），
∴AC+BC﹣AB＝50
+100﹣（50+50
）＝50+50
﹣50
≈35（千米）．
答：从A地到景区B旅游可以少走35千米；
（2）解：设施工队原计划每天修建x千米，
依题意有，
﹣
＝50，
解得x＝0.14，经检验x＝0.14是原分式方程的解．
答：施工队原计划每天修建0.14千米．
28.
（1）176；164
（2）解：如图2中，∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝FC＝50cm，∠FAC＝∠FAB，
由题意AF＝10cm，
∴tan∠FAC＝
＝
＝5，
∴∠FAC＝78.7°，
∴∠BAC＝2∠FAC＝157.4°，
答：两臂杆的夹角为157.4°．
解：（1）用表格可知，男性应采用176厘米，女性应采用164厘米，
故答案为：176，164；