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浙教版数学九年级上册3.8.2弧长及扇形的面积导学案
课题
弧长及扇形的面积
单元
3
学科
数学
年级
九年级
知识目标
经历探索扇形面积计算公式的过程.
重点难点
重点：扇形面积计算公式.
难点：扇形面积计算公式的推导.
教学过程
知识链接
1.想一想：圆的面积公式
2.如图，圆的半径为R，∠BOC=n°.怎样求扇形BOC的面积？
合作探究
一、教材第105页
如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。
如果圆的半径为R，则圆的面积为
l°的圆心角对应的扇形面积为
n0的圆心角对应的扇形面积为
扇形的面积计算
在半径为R
的圆中,n°的圆心角所对的扇形面积的计算公式为：
。
二、教材第105页
弧长计算公式：
，
扇形的面积公式：
。
在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n°、半径R有关系，因此l
和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗?
。
三、教材第105页
例3、如图，有一把折扇和一把团扇。已知折扇的骨柄与团扇的直径一样长，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120°，问哪一把扇子扇面的面积大？
四、教材106页
例4、我国著名的引滦工程的主干线输水管的直径为2.5m，设计流量为12.73??/?.如果水管截面中水面面积如图所示，其中∠AOB=45°,那么水的流速应达到每秒多少米(精确到0.01m/s)？
归纳：
弓形面积公式：
；
。
自主尝试
1.一扇形的圆心角为120°，半径为
3
cm，则扇形的面积为(
)
A.π
cm2
B．3π
cm2
C.π
cm2
D．π
cm2
2．如图，这是中央电视台“曲苑杂谈”节目中的一幅图案，它是一扇形图案，其中
∠AOB为120°，OC长为8
cm，CA长为12
cm，则阴影部分的面积为(
)
A．64π
cm2
B．112π
cm2
C．144π
cm2
D．152π
cm2
3、如图，AE是半圆O的直径，弦AB＝BC＝4，弦CD＝DE＝4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为__
__．
【方法宝典】
根据扇形面积公式解答即可
当堂检测
1.
挂钟分针长10cm，经过h，它扫过的面积为(
).
A.
cm2
B.
cm2
C.
cm2
D.
cm2
2.如图所示，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是(
).
A.
B.
C.
D.
3.如图所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，分别以点A，C为圆心，AD，CB为半径画弧，交AB于点E，交CD于点F，则图中阴影部分的面积是(
).
A.4-2π
B.8-
C.8-2π
D.8-4π
4.如图所示，已知在△ABC中，AB=AC=5，CB=8，分别以AB，AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是(
).
π-24
B.25π-24
C.25π-12
D.
π-12
5.如图所示，将含60°角的直角三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB′C′，点B经过的路径为，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是(
).
A.
B.
C.
D.π
6.若弧长为20π的扇形的圆心角为150°，则扇形的面积是
(结果保留π)．
7.如图所示，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形
A′B′CD′的位置，AB=2AD=4，则阴影部分的面积为
.
8.如图所示为由圆心角为30°，半径分别是1，3，5，7，…的扇形组成的图形，阴影部分的面积依次记为S1，S2，S3，…，则S14=
(结果保留π)．
9.如图所示，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2．
(1)求线段EC的长．
(2)求图中阴影部分的面积．
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案：
当堂检测：
1.A
2.B
3.C
4.D
5.A
6．240π
7．
π-2
8．18π
9．(1)∵在矩形ABCD中，AB=2DA，DA=2，
∴AB=AE=4.∴DE==2.
∴EC=CD-DE=4-2.
(2)∵AE=2AD，∴∠DEA=30°.∴∠EAD=60°.
∴图中阴影部分的面积为：S扇形FAE-S△DAE=-×2×2=-2.
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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浙教版
九上数学
3.8.2弧长及扇形的面积
导入新知
在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长3m的绳子,绳子的另一端拴着一只狗.
问题（1）这只狗的最大活动区域是什么图形？
问题（2）如果这只狗只能绕柱子转过270°的角,那么它的最大活动区域是什么图形？
问题（3）如果这只狗只能绕柱子转180°的角呢，又如何呢？若只能转120°的角呢？36°的角呢？它们又是些什么图形？
归纳
半径
半径
圆心角
弧
O
B
A
扇形
圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.
如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
O
B
A
问题1
半径为r的圆,面积是多少？
O
r
问题2
下面图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢?
探究新知
O
r
180°
O
r
90°
O
r
45°
O
r
n°
圆心角占
周角的比例
扇形面积占
圆面积的比例
扇形的
面积
归纳
在半径为R
的圆中,n°的圆心角所对的扇形面积的计算公式为
扇形的面积计算
大小不变时，对应的扇形面积与
有关，
越长，面积越大.
圆心角
半径
半径
圆心角
半径
圆心角
总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.
O
●
A
B
D
C
E
F
O
●
A
B
C
D
问题
扇形的面积与哪些因素有关？
圆的
不变时，扇形面积与
有关，
越大，面积越大.
问题探究
l
弧
＝
πR
180
n
S扇形＝
360
n
πR2
问题探究
问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
想一想
:扇形的面积公式与什么公式类似？
例题探究
例1、如图，有一把折扇和一把团扇。已知折扇的骨柄与团扇的直径一样长，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120
°，问哪一把扇子扇面的面积大？
解：设折扇的骨柄长为a，由于折扇扇面面积为两个扇形面积之差，
所以两把扇子扇面的面积一样大.
∴
而
练习
如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的周长.（精确到0.01cm）
O
R
60°
解：∵n=60，r=10cm，
∴扇形的周长为
例题解析
例2、一段圆弧形的公路弯道,圆弧的半径是2公里，一辆汽车以每小时60公里的速度通过弯道,需时间20秒,试求弯道(弧AB)所对圆心角的度数(结果精确到0.1度).
解：汽车在20s内通过的路程为l=(km)
由弧长公式l=，得圆心角的度数为
n=
答：弯道所对圆心角的度数约为9.5°.
·
O
A
解：设半径OA绕轴心O逆时针
方向旋转的度数为n°.
解得
n≈90°
因此，滑轮旋转的角度约为90°.
一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径r=10cm，当重物上升15.7cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O逆时针方向旋转多少度（假设绳索与滑轮之间没有滑动，
π取3.14）？
练习
如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm）
讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？
阴影部分.
问题探究
O.
B
A
C
D
O.
B
A
C
D
(2)水面高0.3
m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？
线段DC
，过点O作OD垂直于AB并交圆O于C.
(3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？
阴影部分面积=扇形OAB的面积-
△OAB的面积
解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交弧AB于点C,连接AC.
∵
OC＝0.6,
DC＝0.3,
∴
OD＝OC-
DC＝0.3，
∴
OD＝DC.
又
AD
⊥DC，
∴AD是线段OC的垂直平分线，
∴AC＝AO＝OC.
从而
∠AOD＝60?,
∠AOB=120?.
O.
B
A
C
D
(3)
有水部分的面积：
S＝S扇形OAB
-
SΔOAB
1、求的阴影部分是什么图形？
弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
2、如何由扇形的面积公式推导弓形的面积公式？
思考
（1）当弓形的弧小于半圆时，弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差；
（2）当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角的面积的和；
O
O
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
弓形的面积公式
归纳
例2、我国著名的引滦工程的主干线输水管的直径为2.5m，设计流量为12.73.如果水管截面中水面面积如图所示，其中∠AOB=45°,那么水的流速应达到每秒多少米(精确到0.01m/s)?
例题解析
解：∵
输水管的直径为2.5m
OB=OA=
∵
∠AOB=45°,BD⊥OA
∴OD=OB
∴OB=
则
∴水流速度==
∴
如图，☉A、☉B、
☉C、
☉D
两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是
.
A
B
C
D
练习
课堂练习
1.如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．π
B．2π
C．3π
D．6π
C
2.如果一个扇形面积是它所在圆的面积的
，则此扇形的圆心角是（
）
A.30°
B.36°
C.45°
D.60°
C
3.
如图
，扇形
OAB
的圆心角为
60°，半径为
6
cm，C，D
是弧
AB
的三等分点，则图中阴影部分的面积和是_____．
2π
4、如图，在3×3的方格中(共有9个小格)，每个小方格都是边长为1的正方形，O，B，C是格点，则扇形OBC的面积等于__
_(结果保留π)
5.如图所示，在半径为12的圆中，两圆心角∠AOB=60°，∠COD=120°，连结AB，CD，求图中阴影部分的面积．
解：S扇形AOB=
=24π，
S△AOB=×12×6
=36
，
则S弓形AB=24π-36
.
S扇形COD=
48π，
S△COD=
×12×6=36
，
则S弓形CD=48π-36
.
∴S阴影=S弓形CD-S弓形AB=48π-36
-(24π-36
)=24π.
扇形
定义
公式
阴影部分面积
求法：整体思想
弓形
公式
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
割补法
课堂小结
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