第一章 解直角三角形 单元培优测试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 第一章 解直角三角形 单元培优测试卷（含解析） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-11-27 00:00:00 | ||
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文档简介
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2020年秋浙教版九年级数学下册第一章 解直角三角形单元培优测试卷
一、选择题（共10题；每小题3分，共30分）
1.如图， 在 中， ， ， ， 则 的值是（?? ）
A.????????????????????B.???????????????C.?????? ???D.?
2.如图， 中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BC=6，AC=8，
则sin∠1的值为（?? ）
A.????????????????B.????????????????????C.??????????????????D.?
3.如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为M（ ，2），那么cosα的值是（ ）
A.?????????????????????B.?????????????????????C.?????????????????????D.?
4.如图，在 的网格中，A，B均为格点，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与格线的交点，则 的值是（?? ）
A.?????????????????????B.?????????????????????????C.????????????????????????D.?
5.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（ ）
A.?不变????????????????B.?增大??????????????????C.?减小????????????????D.?先变大再变小
6.如图，在矩形 中， ， ，以点 为圆心， 长为半径画弧交边 于点 ，连接 ，则 的长为（?? ）
A.???????????????????B.????????????????????C.????????????????????????D.?
7.如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝45m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（?? ）
A.?76.9m????????????????????B.?82.1m??????????????????C.?94.8m??????????????????????????D.?112.6m
8.如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为(??? )
?(1.5+150tanα) 米?????? ?B.?(1.5+ )米????????
C.?(1.5+150sinα)米???? ???D.?(1.5+ )米
9.如图①，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB.设AP＝x，QD＝y.若y关于x的函数图象（如图②）经过点E(9，2)，则cosB的值等于（?? ）
A.?????????????????????????B.????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
10.如图，在矩形 中， ， ，E是 的中点，将 沿直线 翻折，点B落在点F处，连结 ，则 的值为（?? ）
A.?????????????????B.????????????????C.????????????????D.?
二、填空题（共6题；每小题4分，共24分）
11.如图，一辆小车沿着坡度为 的斜坡从点A向上行驶了50米到点B处，则此时该小车离水平面的垂直高度为________.
12.已知在 中， ， ， ，那么 ________.
13.如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角 ，两树间的坡面距离 ，则这两棵树的水平距离约为________m（结果精确到 ，参考数据： ）.
14.如图1，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形 ， ∥ , 长为6米，坡角 为45°， 的坡角 为30°，则 的长为? ________ 米 （结果保留根号）
15.如图2，点O是半圆圆心， 是半圆的直径，点A ， D在半圆上，且 ，过点D作 于点C ， 则阴影部分的面积是________．
16.如图3，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从北小岛A出发，由西向东航行 到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是________ .（结果保留一位小数， ）
图1 图2 图3
三、计算题（共1题；共4分）
17.计算tan260°+cos230°﹣sin245°tan45°．
四、解答题一（共4题；每小题6分，共24分）
18.如图，在 中， 于点D，若 ． ， ，求 的值．
19.如图， 处是一钻井平台，位于东营港口A的北偏东 方向上，与港口A相距 海里，一艘摩托艇从A出发，自西向东航行至B时，改变航向以每小时50海里的速度沿 方向行进，此时C位于B的北偏西 方向，则从B到达C需要多少小时？
20.图1是挂墙式淋浴花洒的实物图，图2是抽象出来的几何图形．为使身高175cm的人能方便地淋浴，应当使旋转头固定在墙上的某个位置O，花洒的最高点B与人的头顶的铅垂距离为15cm，已知龙头手柄OA长为10cm，花洒直径AB是8cm，龙头手柄与墙面的较小夹角∠COA＝26°，∠OAB＝146°，则安装时，旋转头的固定点O与地面的距离应为多少？（计算结果精确到1cm，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49）
21.如图，斜坡BE，坡顶B到水平地面的距离AB为3米，坡底AE为18米，在B处，E处分别测得CD顶部点D的仰角为 ， ，求CD的高度 结果保留根号
五、解答题二（共4题；共38分）
22.（9分）如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB ， 在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东45°方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东22°方向上．
（1）求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）?
（2）如果轮船M沿着南偏东30°的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．
（参考数据：sin22°≈0.375，cos22°≈0.927，tan22°≈0.404， ≈1.732．）
23.（9分）（材料阅读）2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中国科技“定义”世界新高度.其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上立一个规标，找到2个以上测量点，分段测量山的高度，再进行累加.因为地球面并不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平距离大于300m时，还要考虑球气差，球气差计算公式为f＝ （其中d为两点间的水平距离，R为地球的半径，R取6400000m），即：山的海拔高度＝测量点测得山的高度+测量点的海拔高度+球气差.
（问题解决）某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动.如图，点A，B的水平距离d＝800m，测量仪AC＝1.5m，觇标DE＝2m，点E，D，B在垂直于地面的一条直线上，在测量点A处用测量仪测得山项觇标顶端E的仰角为37°，测量点A处的海拔高度为1800m.
（1）数据6400000用科学记数法表示为________；
（2）请你计算该山的海拔高度.（要计算球气差，结果精确到0.01m）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
24.（10分）在矩形ABCD中，E为 上的一点，把 沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．
（1）求证：
（2）若 ，求EC的长；
（3）若 ，记 ，求 的值．
25.（10分）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，点 ， 分别位于原点的左、右两侧， ，过点 的直线与 轴正半轴和抛物线的交点分别为 ， ， ．
（1）求 ， 的值；
（2）求直线 的函数解析式；
（3）点 在抛物线的对称轴上且在 轴下方，点 在射线 上，当 与 相似时，请直接写出所有满足条件的点 的坐标．
答案
一、选择题
1.解：在Rt△ABC中，由勾股定理AB= ，
sinB= ，
故答案为：D．
2.在Rt△ABC中， ，
∵CD⊥AB，
∴∠1+∠B=90°，
而∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠1，
而 ，
∴ .
故答案为：A.
3.解：如图，作MH⊥x轴于H．
∵M（ ，2），
∴OH＝ ，MH＝2，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D．
4.解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△ACH中，sin∠BAC= ，
故答案为：B．
5.解：∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，
∴CF∥BE，
∴∠DCF=∠DBF，设CD=a，DB=b，∠DCF=∠DEB=α，
∴CF=DC?cosα，BE=DB?cosα，
∴BE+CF=（DB+DC）cosα=BC?cosα，
∵∠ABC=90°，
∴O＜α＜90°，
当点D从B→D运动时，α是逐渐增大的，
∴cosα的值是逐渐减小的，
∴BE+CF=BC?cosα的值是逐渐减小的．
故选C．
6. 解：四边形ABCD是矩形， ，
由圆的性质得：
在 中，
则 的长为
故答案为：C.
7.解：如图，由题意得，∠ADF＝28°，CD＝45，BC＝60，
在Rt△DEC中，
∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，
∴ ＝ ＝ ，
设DE＝4x，则EC＝3x，由勾股定理可得CD＝5x，
又CD＝45，即5x＝45，
∴x＝9，
∴EC＝3x＝27，DE＝4x＝36＝FB，
∴BE＝BC+EC＝60+27＝87＝DF，
在Rt△ADF中，
AF＝tan28°×DF≈0.53×87≈46.11，
∴AB＝AF+FB＝46.11+36≈82.1，
故答案为：B.
8.解：过点 作 ， 为垂足，如图所示：
则四边形 为矩形， ，
，
在 中， ，
，
，
故答案为： ．
9.解：∵AM∥BN，PQ∥AB，
∴四边形ABQP是平行四边形，
∴AP＝BQ＝x，
由图②可得当x＝9时，y＝2，
此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，
∴BD＝BQ﹣QD＝x﹣y＝7，
∵将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，
∴BC＝CD＝ BD＝ ，AC⊥BD，
∴cosB＝ ＝ ＝ ，
故答案为：D.
10.解：由折叠可得：AB=AF=2，BE=EF，∠AEB=∠AEF，
∵点E是BC中点， ，
∴BE=CE=EF= ，
∴∠EFC=∠ECF，AE= ，
∵∠BEF=∠AEB+∠AEF=∠EFC+∠ECF，
∴∠ECF=∠AEB，
∴ = = ，
故答案为：C.
二、填空题
11.解：设此时该小车离水平面的垂直高度为x米，则水平前进了 x米．
根据勾股定理可得：x2＋（ x）2＝502 ．
解得x＝25．
即此时该小车离水平面的垂直高度为25米．
故答案为：25.
12.∵cotB= ，
∴AC= =3BC=6．
故答案是：6．
13.解：如图所示，过点A作AC平行于水平面，过点B作BC⊥AC于点C，则AC为所求，
由题意可知：∠BAC=α=20°，AB=5，
则 ，
即 ，
故答案为：4.7.
14.解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA，
∵BC=6，
∴CE= ，
∴DF=CE= ，
∴ ，
故答案为： ．
15.解：连接OA，
∵ ，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=8，∠AOB=60°
∵AD∥BO，
∴∠DAO=∠AOB=60°，
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∴∠DOE=60°，
∴在Rt△OCD中， ，
∵AD∥BO，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
16.解：过P作PD⊥AB于D，
∵AB=24，
∵∠PAB=90°-60°=30°，∠PBD=90°-30°=60°，
∴∠BPD=30°，
∴∠APB=30°，即∠PAB=∠APB，
∴AB=BP=24，
在直角△PBD中，PD=BP?sin∠PBD=24× = ≈20.8.
故答案为：20.8.
三、计算题
17. 解：
．
四、解答题一
18. 解：
，
．
．
在 中
，
19.解：如图，过点C作 于点D，
由题意得： ， ，
， ，
在 中， （海里），
（海里），
在 中， （海里），
，
（小时），
从B到达C需要 小时．
20. 解：如图，过点B作地面的垂线，垂足为D，
过点 A作地面GD的平行线，交OC于点E，交BD于点F，
在Rt 中，∠AOE＝26°，OA＝10，
则OE＝OA?cos∠AOE≈10×0.90＝9cm，
?
?
?
?
在Rt 中，∠BAF＝30°，AB＝8，
则BF＝AB?sin∠BOF＝8× ＝4cm，
∴OG＝BD﹣BF﹣OE＝（175+15）﹣4﹣9＝177cm，
答：旋转头的固定点O与地面的距离应为177cm．
21 解：如图，
作 于点F，设 米，
在 中， ，
则 ，
在直角 中， 米 ，
在直角 中， ，则 米，
，即 ，
解得： ，
则 米 ，
答：CD的高度是 米.
五、解答题二
22.（1）解：过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM=x．
∵在Rt△CDM中，CD = DM·tan∠CMD= x·tan22°，
又∵在Rt△ADM中，∠MAC=45°，
∴AD=DM=x，
∵AD=AC+CD=100+ x·tan22°，
∴100+ x·tan22°=x．
∴ （米）．
答：轮船M到海岸线l的距离约为167.79米．
（2）解：作∠DMF=30°，交l于点F．
在Rt△DMF中，有：
DF= DM·tan∠FMD= DM·tan30°= DM≈ ≈96.87米．
∴AF=AC+CD+DF=DM+DF≈167.79+96.87=264.66<300．
∴该轮船能行至码头靠岸．
23. （1）6.4×106
（2）解：如图，过点C作CH⊥BE于H.
由题意AB＝CH＝800m，AC＝BH＝1.5m，
在Rt△ECH中，EH＝CH?tan37°≈600（m），
∴DB＝600﹣DE+BH＝599.5（m），
由题意f＝ ≈0.043（m），
∴山的海拔高度＝599.5+0.043+1800≈2399.54（m）.
解：（1）6400000＝6.4×106 ，
故答案为：6.4×106.
24. （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
∴∠AFB+∠BAF=90°，
∵△AFE是△ADE翻折得到的，
∴∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFB+∠CFE=90°，
∴∠BAF=∠CFE，
∴△ABF∽△FCE．
（2）解：∵△AFE是△ADE翻折得到的，
∴AF=AD=4，
∴BF= ，
∴CF=BC-BF=AD-BF=2，
由（1）得△ABF∽△FCE，
∴ ，
∴ ，
∴EC= ．
（3）
解：由（1）得△ABF∽△FCE，
∴∠CEF=∠BAF= ，
∴tan +tan = ，
设CE=1，DE=x，
∵ ，
∴AE=DE+2EC=x+2，AB=CD=x+1，AD=
∵△ABF∽△FCE，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴x2-4x+4=0，
解得x=2，
∴CE=1，CF= ，EF=x=2，AF= AD= = ，
∴tan +tan = = ．
25. （1）∵ ，
∴ ， ，
∴将A，B代入 得 ，
解得 ，
∴ ， ；
（2）∵二次函数是 ， ， ，
∴ 的横坐标为 ，
代入抛物线解析式得
∴ ，
设 得解析式为：
将B，D代入得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
（3）由题意得tan∠ABD= ，tan∠ADB=1，
由题意得抛物线的对称轴为直线x=1，设对称轴与x轴交点为M，P（1，n）且n<0，Q（x，0）且x<3，
①当△PBQ∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ABD即 = ，
解得n= ，
tan∠PQB=tan∠ADB即 ，
解得x=1- ，
此时Q的坐标为（1- ，0）；
②当△PQB∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ADB即 =1，
解得n=-2，
tan∠QPB=tan∠ABD即 = ，
解得x=1- ，
此时Q的坐标为（1- ，0）；
③当△PQB∽△DAB时，tan∠PBQ=tan∠ABD即 = ，
解得n= ，
tan∠PQM=tan∠DAE即 ，
解得x= -1，
此时Q的坐标为（ -1，0）；
④当△PQB∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ABD即 =1，
解得n=-2，
tan∠PQM=tan∠DAE即 ，
解得x=5- ，
Q的坐标为（5- ，0）；
综上：Q的坐标可能为 ， ， ， ．
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2020年秋浙教版九年级数学下册第一章 解直角三角形单元培优测试卷
一、选择题（共10题；每小题3分，共30分）
1.如图， 在 中， ， ， ， 则 的值是（?? ）
A.????????????????????B.???????????????C.?????? ???D.?
2.如图， 中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BC=6，AC=8，
则sin∠1的值为（?? ）
A.????????????????B.????????????????????C.??????????????????D.?
3.如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为M（ ，2），那么cosα的值是（ ）
A.?????????????????????B.?????????????????????C.?????????????????????D.?
4.如图，在 的网格中，A，B均为格点，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与格线的交点，则 的值是（?? ）
A.?????????????????????B.?????????????????????????C.????????????????????????D.?
5.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（ ）
A.?不变????????????????B.?增大??????????????????C.?减小????????????????D.?先变大再变小
6.如图，在矩形 中， ， ，以点 为圆心， 长为半径画弧交边 于点 ，连接 ，则 的长为（?? ）
A.???????????????????B.????????????????????C.????????????????????????D.?
7.如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝45m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（?? ）
A.?76.9m????????????????????B.?82.1m??????????????????C.?94.8m??????????????????????????D.?112.6m
8.如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为(??? )
?(1.5+150tanα) 米?????? ?B.?(1.5+ )米????????
C.?(1.5+150sinα)米???? ???D.?(1.5+ )米
9.如图①，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB.设AP＝x，QD＝y.若y关于x的函数图象（如图②）经过点E(9，2)，则cosB的值等于（?? ）
A.?????????????????????????B.????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
10.如图，在矩形 中， ， ，E是 的中点，将 沿直线 翻折，点B落在点F处，连结 ，则 的值为（?? ）
A.?????????????????B.????????????????C.????????????????D.?
二、填空题（共6题；每小题4分，共24分）
11.如图，一辆小车沿着坡度为 的斜坡从点A向上行驶了50米到点B处，则此时该小车离水平面的垂直高度为________.
12.已知在 中， ， ， ，那么 ________.
13.如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角 ，两树间的坡面距离 ，则这两棵树的水平距离约为________m（结果精确到 ，参考数据： ）.
14.如图1，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形 ， ∥ , 长为6米，坡角 为45°， 的坡角 为30°，则 的长为? ________ 米 （结果保留根号）
15.如图2，点O是半圆圆心， 是半圆的直径，点A ， D在半圆上，且 ，过点D作 于点C ， 则阴影部分的面积是________．
16.如图3，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从北小岛A出发，由西向东航行 到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是________ .（结果保留一位小数， ）
图1 图2 图3
三、计算题（共1题；共4分）
17.计算tan260°+cos230°﹣sin245°tan45°．
四、解答题一（共4题；每小题6分，共24分）
18.如图，在 中， 于点D，若 ． ， ，求 的值．
19.如图， 处是一钻井平台，位于东营港口A的北偏东 方向上，与港口A相距 海里，一艘摩托艇从A出发，自西向东航行至B时，改变航向以每小时50海里的速度沿 方向行进，此时C位于B的北偏西 方向，则从B到达C需要多少小时？
20.图1是挂墙式淋浴花洒的实物图，图2是抽象出来的几何图形．为使身高175cm的人能方便地淋浴，应当使旋转头固定在墙上的某个位置O，花洒的最高点B与人的头顶的铅垂距离为15cm，已知龙头手柄OA长为10cm，花洒直径AB是8cm，龙头手柄与墙面的较小夹角∠COA＝26°，∠OAB＝146°，则安装时，旋转头的固定点O与地面的距离应为多少？（计算结果精确到1cm，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49）
21.如图，斜坡BE，坡顶B到水平地面的距离AB为3米，坡底AE为18米，在B处，E处分别测得CD顶部点D的仰角为 ， ，求CD的高度 结果保留根号
五、解答题二（共4题；共38分）
22.（9分）如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB ， 在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东45°方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东22°方向上．
（1）求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）?
（2）如果轮船M沿着南偏东30°的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．
（参考数据：sin22°≈0.375，cos22°≈0.927，tan22°≈0.404， ≈1.732．）
23.（9分）（材料阅读）2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中国科技“定义”世界新高度.其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上立一个规标，找到2个以上测量点，分段测量山的高度，再进行累加.因为地球面并不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平距离大于300m时，还要考虑球气差，球气差计算公式为f＝ （其中d为两点间的水平距离，R为地球的半径，R取6400000m），即：山的海拔高度＝测量点测得山的高度+测量点的海拔高度+球气差.
（问题解决）某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动.如图，点A，B的水平距离d＝800m，测量仪AC＝1.5m，觇标DE＝2m，点E，D，B在垂直于地面的一条直线上，在测量点A处用测量仪测得山项觇标顶端E的仰角为37°，测量点A处的海拔高度为1800m.
（1）数据6400000用科学记数法表示为________；
（2）请你计算该山的海拔高度.（要计算球气差，结果精确到0.01m）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
24.（10分）在矩形ABCD中，E为 上的一点，把 沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．
（1）求证：
（2）若 ，求EC的长；
（3）若 ，记 ，求 的值．
25.（10分）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，点 ， 分别位于原点的左、右两侧， ，过点 的直线与 轴正半轴和抛物线的交点分别为 ， ， ．
（1）求 ， 的值；
（2）求直线 的函数解析式；
（3）点 在抛物线的对称轴上且在 轴下方，点 在射线 上，当 与 相似时，请直接写出所有满足条件的点 的坐标．
答案
一、选择题
1.解：在Rt△ABC中，由勾股定理AB= ，
sinB= ，
故答案为：D．
2.在Rt△ABC中， ，
∵CD⊥AB，
∴∠1+∠B=90°，
而∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠1，
而 ，
∴ .
故答案为：A.
3.解：如图，作MH⊥x轴于H．
∵M（ ，2），
∴OH＝ ，MH＝2，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D．
4.解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△ACH中，sin∠BAC= ，
故答案为：B．
5.解：∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，
∴CF∥BE，
∴∠DCF=∠DBF，设CD=a，DB=b，∠DCF=∠DEB=α，
∴CF=DC?cosα，BE=DB?cosα，
∴BE+CF=（DB+DC）cosα=BC?cosα，
∵∠ABC=90°，
∴O＜α＜90°，
当点D从B→D运动时，α是逐渐增大的，
∴cosα的值是逐渐减小的，
∴BE+CF=BC?cosα的值是逐渐减小的．
故选C．
6. 解：四边形ABCD是矩形， ，
由圆的性质得：
在 中，
则 的长为
故答案为：C.
7.解：如图，由题意得，∠ADF＝28°，CD＝45，BC＝60，
在Rt△DEC中，
∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，
∴ ＝ ＝ ，
设DE＝4x，则EC＝3x，由勾股定理可得CD＝5x，
又CD＝45，即5x＝45，
∴x＝9，
∴EC＝3x＝27，DE＝4x＝36＝FB，
∴BE＝BC+EC＝60+27＝87＝DF，
在Rt△ADF中，
AF＝tan28°×DF≈0.53×87≈46.11，
∴AB＝AF+FB＝46.11+36≈82.1，
故答案为：B.
8.解：过点 作 ， 为垂足，如图所示：
则四边形 为矩形， ，
，
在 中， ，
，
，
故答案为： ．
9.解：∵AM∥BN，PQ∥AB，
∴四边形ABQP是平行四边形，
∴AP＝BQ＝x，
由图②可得当x＝9时，y＝2，
此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，
∴BD＝BQ﹣QD＝x﹣y＝7，
∵将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，
∴BC＝CD＝ BD＝ ，AC⊥BD，
∴cosB＝ ＝ ＝ ，
故答案为：D.
10.解：由折叠可得：AB=AF=2，BE=EF，∠AEB=∠AEF，
∵点E是BC中点， ，
∴BE=CE=EF= ，
∴∠EFC=∠ECF，AE= ，
∵∠BEF=∠AEB+∠AEF=∠EFC+∠ECF，
∴∠ECF=∠AEB，
∴ = = ，
故答案为：C.
二、填空题
11.解：设此时该小车离水平面的垂直高度为x米，则水平前进了 x米．
根据勾股定理可得：x2＋（ x）2＝502 ．
解得x＝25．
即此时该小车离水平面的垂直高度为25米．
故答案为：25.
12.∵cotB= ，
∴AC= =3BC=6．
故答案是：6．
13.解：如图所示，过点A作AC平行于水平面，过点B作BC⊥AC于点C，则AC为所求，
由题意可知：∠BAC=α=20°，AB=5，
则 ，
即 ，
故答案为：4.7.
14.解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA，
∵BC=6，
∴CE= ，
∴DF=CE= ，
∴ ，
故答案为： ．
15.解：连接OA，
∵ ，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=8，∠AOB=60°
∵AD∥BO，
∴∠DAO=∠AOB=60°，
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∴∠DOE=60°，
∴在Rt△OCD中， ，
∵AD∥BO，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
16.解：过P作PD⊥AB于D，
∵AB=24，
∵∠PAB=90°-60°=30°，∠PBD=90°-30°=60°，
∴∠BPD=30°，
∴∠APB=30°，即∠PAB=∠APB，
∴AB=BP=24，
在直角△PBD中，PD=BP?sin∠PBD=24× = ≈20.8.
故答案为：20.8.
三、计算题
17. 解：
．
四、解答题一
18. 解：
，
．
．
在 中
，
19.解：如图，过点C作 于点D，
由题意得： ， ，
， ，
在 中， （海里），
（海里），
在 中， （海里），
，
（小时），
从B到达C需要 小时．
20. 解：如图，过点B作地面的垂线，垂足为D，
过点 A作地面GD的平行线，交OC于点E，交BD于点F，
在Rt 中，∠AOE＝26°，OA＝10，
则OE＝OA?cos∠AOE≈10×0.90＝9cm，
?
?
?
?
在Rt 中，∠BAF＝30°，AB＝8，
则BF＝AB?sin∠BOF＝8× ＝4cm，
∴OG＝BD﹣BF﹣OE＝（175+15）﹣4﹣9＝177cm，
答：旋转头的固定点O与地面的距离应为177cm．
21 解：如图，
作 于点F，设 米，
在 中， ，
则 ，
在直角 中， 米 ，
在直角 中， ，则 米，
，即 ，
解得： ，
则 米 ，
答：CD的高度是 米.
五、解答题二
22.（1）解：过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM=x．
∵在Rt△CDM中，CD = DM·tan∠CMD= x·tan22°，
又∵在Rt△ADM中，∠MAC=45°，
∴AD=DM=x，
∵AD=AC+CD=100+ x·tan22°，
∴100+ x·tan22°=x．
∴ （米）．
答：轮船M到海岸线l的距离约为167.79米．
（2）解：作∠DMF=30°，交l于点F．
在Rt△DMF中，有：
DF= DM·tan∠FMD= DM·tan30°= DM≈ ≈96.87米．
∴AF=AC+CD+DF=DM+DF≈167.79+96.87=264.66<300．
∴该轮船能行至码头靠岸．
23. （1）6.4×106
（2）解：如图，过点C作CH⊥BE于H.
由题意AB＝CH＝800m，AC＝BH＝1.5m，
在Rt△ECH中，EH＝CH?tan37°≈600（m），
∴DB＝600﹣DE+BH＝599.5（m），
由题意f＝ ≈0.043（m），
∴山的海拔高度＝599.5+0.043+1800≈2399.54（m）.
解：（1）6400000＝6.4×106 ，
故答案为：6.4×106.
24. （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
∴∠AFB+∠BAF=90°，
∵△AFE是△ADE翻折得到的，
∴∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFB+∠CFE=90°，
∴∠BAF=∠CFE，
∴△ABF∽△FCE．
（2）解：∵△AFE是△ADE翻折得到的，
∴AF=AD=4，
∴BF= ，
∴CF=BC-BF=AD-BF=2，
由（1）得△ABF∽△FCE，
∴ ，
∴ ，
∴EC= ．
（3）
解：由（1）得△ABF∽△FCE，
∴∠CEF=∠BAF= ，
∴tan +tan = ，
设CE=1，DE=x，
∵ ，
∴AE=DE+2EC=x+2，AB=CD=x+1，AD=
∵△ABF∽△FCE，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴x2-4x+4=0，
解得x=2，
∴CE=1，CF= ，EF=x=2，AF= AD= = ，
∴tan +tan = = ．
25. （1）∵ ，
∴ ， ，
∴将A，B代入 得 ，
解得 ，
∴ ， ；
（2）∵二次函数是 ， ， ，
∴ 的横坐标为 ，
代入抛物线解析式得
∴ ，
设 得解析式为：
将B，D代入得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
（3）由题意得tan∠ABD= ，tan∠ADB=1，
由题意得抛物线的对称轴为直线x=1，设对称轴与x轴交点为M，P（1，n）且n<0，Q（x，0）且x<3，
①当△PBQ∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ABD即 = ，
解得n= ，
tan∠PQB=tan∠ADB即 ，
解得x=1- ，
此时Q的坐标为（1- ，0）；
②当△PQB∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ADB即 =1，
解得n=-2，
tan∠QPB=tan∠ABD即 = ，
解得x=1- ，
此时Q的坐标为（1- ，0）；
③当△PQB∽△DAB时，tan∠PBQ=tan∠ABD即 = ，
解得n= ，
tan∠PQM=tan∠DAE即 ，
解得x= -1，
此时Q的坐标为（ -1，0）；
④当△PQB∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ABD即 =1，
解得n=-2，
tan∠PQM=tan∠DAE即 ，
解得x=5- ，
Q的坐标为（5- ，0）；
综上：Q的坐标可能为 ， ， ， ．
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