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浙教版数学九年级上册4.4.1两个三角形相似的判定导学案
课题
两个三角形相似的判定
单元
4
学科
数学
年级
九年级
知识目标
1.使学生理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件．
2.使学生掌握相似三角形判定定理1.
重点难点
重点：准确找出相似三角形的对应边和对应角.
难点：掌握相似三角形判定定理1及其应用.
教学过程
知识链接
1、相似三角形的定义？
2、三角形的中位线截得的三角形与原三角形是否相似？
合作探究
一、教材第131页
如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE//BC.
△ADE与△ABC相似吗？
归纳：
预备定理:
.
几何语言
，
。
二、教材第131页
如图
△ABC
和△A’
B’C’中，∠A=∠A’，∠B=∠B’.
问△ABC与△A’
B’C’是否相似？
归纳：判定定理1：
。
几何语言叙述:
三、教材第132页
例1、在一次数学活动课上,为了测量河宽AB,小聪采用了如下方法:从A处沿与AB垂直的直线方向走45m到达Ｃ处，插一根标杆，然后沿同方向继续走15m到达Ｄ处，再右转90度走到Ｅ处，使Ｂ，Ｃ，Ｅ三点恰好在一条直线上，量得DE＝20m，这样就可以求出河宽ＡＢ．请你算出结果（要求给出解题过程）
自主尝试
1．下列各组中两个图形不一定相似的是( )
A．有一个角是35°的两个等腰三角形
B．两个等腰直角三角形
C．有一个角是120°的两个等腰三角形
D．两个等边三角形
2．如图，△ABC中，D，E分别在AC，AB上，∠1＝∠B，则下列各式成立的是( )
＝
B.＝
C．AD·AC＝AE·AB
D．AC·AE＝AD·AB
3．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，则图中相似三角形的对数有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
【方法宝典】
根据相似三角形的判定定理1进行解题即可.
当堂检测
1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，向点B运动，设E点的运动时间为t秒(0≤t＜4)，连结DE，当△BDE与△ACB相似时，t的值为( )
A．2 B．0.5或2
C．3.5
D．2或3.5
2．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线分别交⊙O，BC于点D，E，连结BD，则图中相似三角形有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
3．如图，∠1＝∠2，请补充条件：____________(写一个即可)，使△ABC∽△ADE.
4．如图，DE∥AC，BE∶EC＝2∶1，AC＝12，则DE＝________．
5．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，点D在边AB上，∠ACD＝∠B，则AD的长为________．
6．如图，在?ABCD中，点E在DC上，若DE∶EC＝1∶2，则BF∶BE＝________．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE.
8.已知：如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，过A，D，C三点的圆交DE的延长线于F.求证：△FCE∽△ABC.
9.如图，已知E是平行四边形ABCD中的DA边延长线上的一点，且AE＝AD，连结EC，分别交AB，BD于点F，G.
(1)求证：AF＝BF；
(2)若BD＝12，求DG的长．
10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，O是AC边上一点，连结BO交AD于点F，OE⊥OB交BC于点E，求证：△ABF∽△COE.
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案：
当堂检测：
1.D
2.C
3.答案不唯一，如∠B＝∠D
4.8
5.
6.3∶5
7.证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，
∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE.
8.∵DE∥BC，∴∠FDA＝∠B.而∠A＝∠F，∠FCE＝∠FDA，
∴∠FCE＝∠B.∴△FCE∽△ABC.
9.(1)证明：∵平行四边形ABCD，∴BC∥AD，BC＝AD＝AE，
∴△BFC∽△AFE，∴AF∶BF＝AE∶BC＝1∶1，即AF＝BF.
(2)∵BC∥AD，∴△BGC∽△DGE，∴BG∶DG＝BC∶DE＝1∶2，
又∵BD＝12，∴DG＝8.
10.证明：∵AD⊥BC，∴∠DAC＋∠C＝90°，
∵∠BAC＝∠BAF＋∠DAC＝90°，
∴∠BAF＝∠C.∵OE⊥OB，
∴∠BOA＋∠COE＝90°，
∵∠BOA＋∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠COE.
∴△ABF∽△COE.
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精品试卷·第
2
页
（共
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浙教版
九上数学
4.4.1两个三角形相似的判定
2、三角形的中位线截得的三角形与原三角形是否相似？
相似比是多少？
1、相似三角形的定义？
A
B
C
D
E
三角对应相等,三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.
导入新知
新知讲解
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
结论：
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.
如图在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE‖BC，则△ADE与△ABC相似吗？
(1)议一议:这两个三角形的三个内角是否对应相等？
(2)量一量：这两个三角形的边长，它们是否对应成比例？
(3)平行移动DE
的位置再试一试.
归纳
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.
相似三角形的预备定理
∵DE‖BC
几何语言叙述：
∴⊿ADE∽⊿ABC
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
观察
观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？
一定相似
新知讲解
如图，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A',
∠B=∠B'，
求证:
△ABC∽△A'B'C'
证明：在△ABC的边AB（或延长线）上，截取AD=A'B'，过点D
作DE//BC，交AC于点E，则有△ADE∽△ABC
∵∠ADE=∠B,
∠B=∠B'
∴∠ADE=∠B'
又∵∠A=∠A',AD=A'B'
∴△ADE≌△A'B'C'
∴△A'B'C'∽△ABC
A
B
C
D
E
A'
B'
C'
归纳
如果两个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
判定三角形相似的定理
两角对应相等，两三角形相似.
角角
A
A
A1
B1
C1
A
B
C
△ABC∽△A1B1C1.
即：如果
√
∠A
=∠A1，∠B
=∠B1
.
总结
判断两个三角形相似的两种方法：
1、预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似.
A
D
E
B
C
A
B
C
D
E
A字形
X字形
2、判定定理1：两个角对应相等的两个三角形相似。
归纳
例1、在一次数学活动课上,为了测量河宽AB,小聪采用了如下方法:从A处沿与AB垂直的直线方向走45m到达Ｃ处，插一根标杆，然后沿同方向继续走15m到达Ｄ处，再右转90°走到Ｅ处，使Ｂ，Ｃ，Ｅ三点恰好在一条直线上，量得DE＝20m，这样就可以求出河宽ＡＢ．请你算出结果（要求给出解题过程）
B.
A.
C
D
E
方法一
方法二
方法三
说一说
解：∵AB⊥AD，DE⊥AD
∴∠BAC=∠EDC=Rt∠
又∵∠ACB=∠DCE
∴△ABC∽△DEC
∴
即AB=
∵AC=45，CD=15，DE=20
∴AB=
答：河宽AB是60m.
构造相似三角形产生比例线段
求线段长度是常用的方法
B.
A.
C
D
E
拓展提升
已知：如图Rt△ABC中，CD是斜边上的高.
求证：△ABC∽△CBD∽△ACD
C
A
D
B
证明：∵∠B=∠B，∠CDB=∠ACB=90°
∴△ABC∽△CBD
同理可证：△ABC∽△ACD
∴△ABC∽△CBD∽△ACD
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.
此结论可以称为“母子相似定理”，今后可以直接使用。
结论
练一练
如图,
在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。
（1）图中有哪些相似的三角形?证明你的结论.
（2）证明CD2=AD·BD
（3）类似的，AC2=（
）·（
）;
BC2=（
）·（
）
(2)
∵
△CDB∽△ADC
(1)△ACD∽△ABC
△CBD∽△ABC
证明：
∵∠ACB=∠ADC=90°
又∠A=∠A=90°
∴
△ACD∽△ABC
∴
CD2=AD·DB
∴
AC2=AD·AB,
∴
BC2=BD·BA
(3)
∵
△ACD∽△ABC
∵
△ABC∽△CBD
△ACD∽△CBD
B
D
A
C
1
2
CD
AD
=
BD
CD
∴
课堂练习
1.下列各组图形中有可能不相似的是( )
A．各有一个角是45°的两个等腰三角形
B．各有一个角是60°的两个等腰三角形
C．各有一个角是105°的两个等腰三角形
D．两个等腰直角三角形
A
2、如图，已知点E,F分别是△ABC中AC,AB边的中点，BE,CF相交于点G,FG=2，则CF的长为
（
）
A.
4
B.
4.5
C.
5
D.
6
D
3.已知△ABC中，∠A＝40°，∠B＝75°，下图各三角形中与△ABC相似的
是____________．
△EFD，△HGK
4、如图，点D和E分别在△ABC的边AB和AC上，且∠AED=∠ABC,若DE=3，BC=6，AB=8，则AE的长为__________,
4
5.如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D.求证：△ABC∽△AED.
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，即∠BAC＝∠EAD.
又∵∠C＝∠D，
∴△ABC∽△AED.
课堂小结
1、预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似.
2、判定定理1：两个角对应相等的两个三角形相似.
3、母子定理：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.
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