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浙教版数学九年级上册4.1.3比例线段导学案
课题
比例线段
单元
4
学科
数学
年级
九年级
知识目标
1、
比例中项的定义、黄金分割的概念；
2、
会求黄金比、会作线段的黄金分割点；
3、
会求已知线段的比例中项、会利用黄金分割进行简单的计算和作图.
重点难点
重点：比例中项的定义、黄金分割的概念.
难点：求黄金比、会作线段的黄金分割点.
教学过程
知识链接
1.什么是成比例线段？
2.比例前项，后项？
合作探究
一、教材第121页
取一张长与宽之比为：1的长方形，将它对折，请判断图中两个长方形长与宽这４条线段是否成比例，如果成比例，请写出比例式.
总结：一般地，如果三个数
a、b、c满足比例式，（或
a：b=b：c），那么b就叫做a，c的
.
二、教材第121页
著名画家达?芬奇的名画《蒙娜丽莎》，画中脸部被围在矩形ABCD中，图中四边形BCEF为正方形，而在线段上的点Ｆ把线段AB分成两条线段，其中
如图，如果点Ｐ把线段ＡＢ分成２条线段ＡＰ和ＢＰ，使，那么称线段ＡＢ被点Ｐ
，线段ＡＰ与ＡＢ的比叫
，点Ｐ叫线段ＡＢ的
.
如何求出黄金比的数值?
三、教材第122页
例5
如图，已知线段,点P是它的黄金分割点，AP>PB
.
分别求AP，PB的长.
自主尝试
1.已知线段AB=10,点C是线段AB的黄金分割点（AC>BC）,则AC的长（
）
A.
B.15-
C.5
D.10-2
2、当人体下半身长于身高的比值越接近0.618时，越给人美感，某女士身高165cm，下半身长x与身
高h的比值是0.6，为可能达到好的效果，她应该穿的高跟鞋的高度大约是（
）
A.
4cm
B.6cm
C.8cm
D.10cm
3.如图，△ABC中，AB=AC,
∠A=
，BD平分∠ABC交AC于点D，点D是AC的黄金分割点（AD>CD）,AC=6，则CD=________
【方法宝典】
根据黄金分割相关知识进行解题即可.
当堂检测
1.已知P，Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB=10cm，则PQ长为(
).
A.5（-1） B.5（+1） C.10（-2） D.5（3-）
2.如图所示，P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，如果S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，那么S1与S2之间的大小关系是(
).
A.S1=S2 B.S1＞S2 C.S1＜S2 D.不能确定
3.
已知线段AB及AB上一点P，当P满足下列哪一种关系时，P是AB的黄金分割点:
①
②AP=AB
③PB=AB
④⑤
A.
①②③
B.
①②③④
C.
①不是
D.
①②③④⑤
4.线段PQ的黄金分割点是R（PR>RQ）,则下列各式正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
5．已知点P,Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB=a,则PQ的长（
）
A.
B.
C.
D.
6.已知线段a=9，c=4，如果线段b是a，c的比例中项，那么b=
.
7.为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高2m的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案.方小琦同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中.如图所示为小琦同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的高度应设计为
m（精确到0.01m，参考数据≈1.414，≈1.732，≈2.236）
8.已知C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，BC=3-，则AB的长为
．
9.已知C，D是线段AB的黄金分割点，AB=10，求线段AC与CD的长.
10.如图1所示为一张宽与长之比为的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形.按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么矩形EFDC还是黄金矩形吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由．
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案：
当堂检测：
1.
C
2.
A
3.
A
4.
B
5.
A
6.
6
7.
1.24
8.
2
9.
∵C，D是线段AB的黄金分割点，
∴AC=AB=5-5，BD=AB=5-5.
∴AD=AB-BD=15-5.
∴CD=AC-AD=5-5-（15-5）=10-20.
10.矩形EFDC是黄金矩形.理由如下：∵四边形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF.∵=，∴=,即F是线段AD的黄金分割点.∴==.∴=.∴矩形EFDC是黄金矩形.
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共16张PPT)
浙教版
九上数学
4.1.3比例线段
导入新知
取一张长与宽之比为：1的长方形，将它对折，请判断图中两个长方形长与宽这４条线段是否成比例，如果成比例，请写出比例式.
a
b
b
c
这个比例式有什么特别之处吗？
归纳
一般地，如果三个数
a、b、c满足比例式，
（或
a：b=b：c），那么b就叫做a，c的比例中项.
用符号语言表示为：
小试牛刀
1、求下列线段a、b的比例中项.
（1）a＝3，b＝27；
2、
2和8两数的比例中项是______
解：∵
∴c=
解：∵
∴=1
4
线段比例中项与数的比例中项是两个不同的概念,前者是一个正数,而后者是一对互为相反数.
温馨提示
新知讲解
著名画家达?芬奇的名画《蒙娜丽莎》，画中脸部被围在矩形ABCD中，图中四边形BCEF为正方形，而在线段上的点Ｆ把线段AB分成两条线段，其中
AB
BF
BF
AF
=
A
B
C
D
F
E
新知讲解
如图,点
P
把线段
AB
分成两条线段
AP
和
BP
,
如果
那么称线段AB被点P黄金分割，
点P叫做线段AB的黄金分割点,
AP与AB的比叫做黄金比.
AP2
=AB
?
BP
A
P
B
≈
0.618
人体与黄金分割
1.人体肚脐不但是美化身型的黄金点有时还是医疗效果黄金点，许多民间名医在肚脐上贴药治好了某些疾病。
2.人体最感舒适的温度是23℃，也是正常人体温（37℃）的黄金点（23=37×0.618）.
3.人体还有几个黄金点：肚脐上部分的黄金点在咽喉，肚脐以下部分的黄金点在膝盖，上肢的黄金点在肘关节。上肢与下肢长度之比均近似0.618.
例题解析
例5
如图，已知线段AB=,点P是它的黄金分割点，AP>PB
.
分别求AP，BP的长.
Ａ
Ｂ
Ｐ
解：因为点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，
∴
∴AP=
BP=AB-AP=-1=
想一想
一条线段有几个黄金分割点？一颗五角星中有几个黄金分割点？
一条线段有两个黄金分割点，一颗五角星中有5个黄金分割点。
1.经过点B作BD⊥AB,使BD=
2.连接AD,在AD上截取DE=DB.
3.在AB上截取AC=AE.
你能验证这个结论吗?相信你完成下列两个小题后就会有答案.
已知线段AB=a,用直尺和圆规作出它的黄金分割点.
作法:
点C就是所求线段AB的黄金分割点.
练一练
课堂练习
1.已知线段a=4，b=16，线段c是a，b的比例中项，那么c等于(
).
A.10 B.8 C.-8 D.±8
2.美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值接近0.618时会给人一种美感.已知某女士身高160cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为(
).
A.6cm B.10cm C.4cm D.8cm
B
D
3.若点C是线段AB上，且满足条件________
(填写比例式)，那么C是AB的黄金分割点.
4．如图，△ABC中，AB=AC,
∠A=36°
，BD平分∠ABC交AC于点D，点D是AC的黄金分割点（AD>CD）,AC=6，则CD=________
9-3
5.小明家的房间高2.8m,他打算在四周墙上涂上料美化居室,从地面算起,涂到多高时才使人感到舒适?
解：2.8×(1－0.618)≈
1.07
答：从地面算起，涂到1.07米时才使人感到舒适.
（米）
课堂小结
1、如图，如果点Ｐ把线段ＡＢ分成２条线段ＡＰ和ＢＰ，使，那么称线段ＡＢ被点Ｐ黄金分割，线段ＡＰ与ＡＢ的比叫黄金比，点Ｐ叫线段ＡＢ的黄金分割点.
Ａ
Ｂ
Ｐ
2、黄金比为
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