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浙教版数学九年级上册4.4.3两个三角形相似的判定导学案
课题
两个三角形相似的判定
单元
4
学科
数学
年级
九年级
知识目标
1.
使学生掌握相似三角形判定定理3．
2.
使学生初步掌握相似三角形的判定定理3的应用.
重点难点
重点：判定定理3.
难点：掌握相似三角形判定定理3及其应用.
教学过程
知识链接
我们已经学习了哪些关于两个三角形相似的判定方法？
合作探究
一、教材第137页
想一想
已知：
求证：△ABC∽△A1B1C1
归纳：
。
几何格式：
二、教材第137页
例4.如图，判断4×4方格中的两个三角形是否相似,并说明理由.
三、教材第138页
例5、已知：如图，O为△ABC内一点，A’,B’,C’分别是OA，OB，OC上的点，且
求证：△ABC
自主尝试
1.已知△ABC，如图，P是边AB上的一点，连结CP，以下条件不能判断△ACP∽△ABC的是（
）
A.∠ACP＝∠B
B.
∠APC＝∠ACB
C.
AC2＝AP·AB
D.
AC∶CP＝AB∶BC
2、已知：如图，△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP·AB；④AB·CP＝AP·CB.
能满足△APC和△ACB相似的条件是…（
）
A.①，②，④
B．①，③，④
C.
②，③，④
D．①，②，③
3、在
△ABC中，AB=6
，AC=8
，在△DEF中，DE=4
，DF=3
，要使△ABC
与△DEF
相似，需添加的一个条件是
（写出一种情况即可）．
【方法宝典】
根据相似三角形的判定定理3进行解题即可.
当堂检测
1．可以判断△ABC∽△A′B′C′的条件是( )
A．∠A＝∠A′
B.＝，且∠C＝∠C′
C.＝＝
D.＝，且∠B＝∠B′
2．已知△ABC的三边长分别为2，5，6.△DEF的三边长如以下四个选项所列．若要使△DEF∽△ABC，则△DEF的三边长分别为( )
A．3，6，7
B．6，15，18
C．3，8，9
D．8，10，12
3．如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，有下列条件：①∠AED＝∠B；②＝；③＝，其中能够判断△ADE与△ACB相似的有( )
A．①② B．①③
C．①②③ D．①
4．下列四组三角形中，根据条件不能判断△ABC与△DEF相似的是( )
5．已知两个三角形的三边分别为1，，和，，2，则两个三角形________(填“相似”或“不相似”)
6．给出下列命题：①顶角相等的两等腰三角形相似；②底角相等的两等腰三角形相似；③两直角边对应成比例的两直角三角形相似；④有一角对应相等的两直角三角形相似．其中真命题有___________(填序号)．
7．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．在如图所示的5×5的方格纸中，作格点三角形ABC和格点三角形OAB相似(相似比不为1)，则点C的坐标是_________________．
8．如下图，在△ABC与△DEF中，∠B＝∠E＝90°，则△ABC与△DEF相似吗？说明理由．
9．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求证：△ABC∽△EFD.
10．如图，已知＝＝.求证：∠BAD＝∠CAE.
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案：
当堂检测：
1－4.CBAB
5.相似
6.①②③
7.(4，0)或(3，2)
8.在△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，AB＝4，∴BC＝3，在△DEF中，∠E＝90°，DF＝10，EF＝6，∴DE＝8，∴＝＝＝2，∴△ABC∽△DEF.
9.∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴＝＝＝，∴△ABC∽△EFD.
10．∵＝＝，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE.
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精品试卷·第
2
页
（共
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页）
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浙教版
九上数学
4.4.3两个三角形相似的判定
复习旧知
我们已经学习了哪些关于两个三角形相似的判定方法？
2、平行于三角形一边的判定方法
几何格式
∵DE‖BC，
∴△ADE∽△ABC
1、相似三角形的定义
3、有两个角对应相等的两个三角形相似.
∵∠A=∠A?，∠B=∠B?，
∴△ABC∽△A?B?C?
几何格式
4、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似.
∵，∠A=∠A?
∴△ABC∽△A?B?C?
几何格式
再探究
B
C
把方格纸中的△ABC的各边放大到原来的2倍，得到△A?B?C?
A?
C?
B?
△ABC与△A?B?C?相似吗？
△ABC与△A?B?C?的三边有什么数量关系？
相似三角形的判定方法：三边对应成比例的两个三角形相似.
探究新知
已知：
A1
B1
C1
A
B
C
求证：△ABC∽△A1B1C1.
新知讲解
证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点D作DE//，交于点E.
A1
B1
C1
A
B
C
根据前面的定理可得
∽△.
D
E
∴
又，
∴，
∴DE=BC，
∴
∵△∽△
∴
1
归纳
相似三角形的判定方法：三边对应成比例的两个三角形相似.
它的几何格式表示如下：
∴△ABC∽
△A?B?C?
A
B
C
A’
C’
B’
∵
注意：三边对应成比例的两个三角形相似，三边对应是有序的，即：大对大，小对小，中对中.
练一练
已知一个三角形的三边长是6
cm，7.5
cm，9
cm，另一个三角形的三边长是
8
cm，10
cm，12
cm，则这两个三角形________(填“相似”或“不相似”)．
相似
归纳
全等判定
相似三角形的判定
ASA
AAS
(AA)有两个角对应相等的两个三角形相似
SAS
两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似
SSS
三边对应成比例的两个三角形相似
例题解析
例4
如图,判断4×4方格中的两个三角形是否相似,并说明理由.
解：观察图形根据勾股定理我们可以计算出
AB=2，BC=，CA=
EF=2，FD=5，DE=
∴△ABC∽△EFD
根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：
AB=10cm，BC=8cm，AC=16cm
A'B
'
=16cm，B'C'
=12.8cm，A'C'
=25.6cm
练一练
解：
∴
∴△ABC∽△A’B’C’
例5、已知：如图，O为△ABC内一点，A’,B’,C’分别是OA，OB，OC上的点，且.
求证：△ABC
例题解析
证明：在△OA’B’与△OAB中，
∵∠A’OB’=∠AOB，
∴△OA’B’∽△OAB，
∴，
同理可证，
∴，
同理可证，
∴，
∴△A’B’C’
∽△ABC
练一练
如图所示，O是△ABC内一点，D，E，F分别是OA，OB，OC上的点，且满足DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC.
求证：△DEF∽△ABC.
证明：∵DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC，
∴
＝
＝
＝
＝
，
即
＝
＝
.
∴△DEF∽△ABC.
课堂练习
1.如图所示，A，B，C，P，Q，甲、乙、丙、丁都是方格纸的格点，为使
△ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁4点中的(
)
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
C
2.如图所示，四边形ABGH，BCFG，CDEF都是正方形，图中与△HBC相似的三角形为(
)
A．△HBD
B．△HCD
C．△HAC
D．△HAD
A
3、在
△ABC中，AB=6
，AC=8
，在△DEF中，DE=4
，DF=3
，要使△ABC
与△DEF
相似，需添加的一个条件是
（写出一种情况即可）．
4、两个三角形的三边长分别为4，5，6和6，7.5，9，则这两个三角形________（填“相似”或“不相似”），理由是
.
∠A=∠D
相似
三边对应成比例的两个三角形全等
5．如图所示，已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF.
求证：(1)四边形ABCD是平行四边形；
(2)OA2＝OE·OF.
证明：(1)∵EC∥AB，
∴∠ABF＝∠C.∵∠EDA＝∠ABF，∴∠C＝∠EDA，AD∥CF.
又∵EC∥AB，∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)∵AB∥EC，∴△OAB∽△OED，
∴＝.
∵BF∥AD，
∴△OFB∽△OAD，
∴＝，∴＝，即OA2＝OE·OF.
课堂小结
两个三角形相似的判定方法：
3.
两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似.
4.
三边对应成比例，两三角形相似.
2.
有两个角对应相等的两个三角形相似.
1.
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
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