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浙教版数学九年级上册4.5.1相似三角形的性质及其应用导学案
课题
相似三角形的性质及其应用
单元
4
学科
数学
年级
九年级
知识目标
经历相似三角形性质“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比.
巩固相似三角形性质，并能熟练运用.
重点难点
重点：相似三角形的性质及对应线段的性质.
难点：掌握相似三角形性质的应用.
教学过程
知识链接
相似三角形的相似比.
相似三角形的性质.
合作探究
一、教材第140页
根据相似三角形的定义，我们可以得到相似三角形的两个基本性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.它们的应用非常广泛.
例1、如图：△A’B’C’∽△ABC，相似比为，求这两个三角形的角平分线A’D’与AD的比
归纳：
。
二、教材第140页
例2、已知：如图
，BD，CE是△ABC的两条中线，
P是它们的交点.
求证：
三、教材第141页
如图，△ABC的两条中线BE、CF交于P点，那么BC边上的中线AG是否也经过P点呢？
总结：三角形的重心：
。
三角形重心的性质：
。
自主尝试
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD为∠A的平分线，DC长为5cm，那么BD=（
）
A
10
cm
B
5
cm
C
15
cm
D
以上都不对
2、如图所示，已知点E,F分别是△ABC中AC,AB边的中点，BE,CF相交于G,FG=2，则CF的长为
（
）
A.
4
B.
4.5
C.5
D.
6
3、如图，在平行四边形ABCD中，A
B=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E,交DC的延长线于F,
BG⊥AD于G,BG=
4√?，则△EFC的周长为（
）
A.
11
B.10
C.
9
D.
8
【方法宝典】
根据相似三角形的性质进行解题即可.
当堂检测
1．两个相似三角形的对应高线之比为1∶2，那么它们的对应中线之比为( )
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶8
2．如图，已知点D是△ABC的重心，则下列结论不正确的是( )
A．AD＝2DE B．AE＝2DE
C．BE＝CE
D．AE＝3DE
3．如图，△ABC中，E在AD上，且E是△ABC的重心，若S△ABC＝36，则S△DEC等于( )
A．3
B．4 C．6 D．9
4．如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2m，CD＝5m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是( )
A.m
B.m
C.m
D.m
5．两个相似三角形对应边的比为3∶5，那么对应边上的中线之比为________．
6．已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，且＝，B′D′＝4，则BD的长为________．
7．如图，△ABC的中线AD，CE相交于O，EF∥BC交AD于F，则OD∶FA＝________．
8．已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，G是△ABC的重心，则AG＝________．
9.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，其中BC＝6cm，高AD＝4cm，现在要把它裁剪成一个正方形材料备用，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，问这个正方形材料的边长是多少？
10.已知在△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，AB＝8.
(1)求线段GC的长；
(2)过点G的直线MN∥AB，交AC于点M，交BC于点N，求MN的长．
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案：
当堂检测：
1－4.ABCC
5.3∶5
6.6
7.2∶3
8.2
设正方形边长为xcm，则AP＝AD－PD＝4－x.
∵△AEH∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴x＝2.4.
答：正方形材料的边长是2.4cm.
(1)延长CG交AB于点D.
∵点G是△ABC的重心，
∴CD为AB边上的中线，CG＝CD.
又∵∠C＝90°，
∴CD＝AB＝4，
∴CG＝CD＝.
∵MN∥AB，∴△CMN∽△CAB，∴＝.
同理，可证△CMG∽△CAD，
∴＝，∴＝＝，
∴MN＝AB＝.
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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浙教版
九上数学
4.5.1相似三角形的性质及其应用
思考
2、预备定理（平行得“A”型，“X”型
相似）
3、三边对应成比例的两三角形相似.
相似三角形的判定方法
4、两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似
1、定义法：
三个角对应相等
三边对应成比例
5、两角分别相等的两个三角形相似
6、斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似
想一想
三角形除了三个角，三条边外，还有哪些线段?
高
中线
角平分线
如果两个三角形相似，那
么，对应的这些要素
有什么关系呢？
如图，△ABC
∽△A′B′C′，相似比为
k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
探究新知
探究
B′
C′
A′
B
A
C
D
D′
已知:ΔABC∽ΔA′B′C′，相似比为k,
AD、A′D′分别是BC、B′C′边上的高.
求证:
证明：
∵△ABC∽△ABC
∴∠B=∠B
∴∠ADB=∠ADB=90°
∴△ABD∽△ABD
∵AD、AD分别是BC、BC边上的高
相似三角形的对应边上的高之比等于相似比.
∴
归纳：
例题解析
例1、如图：△A’B’C’∽△ABC，相似比为，求这两个三角形的角平分线A’D’与AD的比.
解：∵△A’B’C’
∽△ABC，
∴∠B’=∠B，∠B’A’C’=∠BAC.
∵A’D’，AD分别是△A’B’C’与△ABC的角平分线，
∴∠B’A’D’=∠B’A’C’，∠BAD=∠BAC.
∴∠B’A’D’=∠BAD
∴∠B’A’D’=∠BAD
∴△A’B’D’∽△ABD
∴
类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.
由此我们可以得到：
相似三角形对应高的比等于相似比.
一般地，我们有：
相似三角形对应线段的比等于相似比.
归纳
练一练
解：∵
△ABC
∽△DEF，
D
E
F
H
已知
△ABC∽△DEF，BG、EH
分别是
△ABC和
△DEF
的角平分线，BC
=
6
cm，EF
=
4cm，BG=
4.8
cm.
求
EH
的长.
∴
(相似三角形对应角平分线的比等于相似比)，
∴
，解得
EH
=
3.2.
A
G
B
C
∴
故
EH
的长为
3.2
cm.
例2、已知：如图
，BD，CE是△ABC的两条中线，
P是它们的交点.
求证：.
例题解析
解：连结DE.
∴△DEP∽
△BCP
∴DE//BC，DE=
∵BD，CE是△ABC的两条中线，
∴∠EDB=∠DBC，∠DEC=∠ECB，
∴
想一想
A
B
C
E
P
F
P
G
如图，△ABC的两条中线BE、CF交于P点，那么BC边上的中线AG是否也经过P点呢？
归纳
A
B
C
E
P
F
P
G
★重心的定义：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
★重心的性质：三角形的重心分每一条中线成1：2的两条线段.
练一练
如图，在△ABC中，EF∥BC，且EF=BC=2
cm，△AEF的周长为10
cm，求梯形BCFE的周长.
解：∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，
∴△AEF∽△ABC．
又∵EF＝
BC，
，即相似比为
．
∴△ABC
的周长＝15(cm)．
∴梯形
BCFE
的周长＝△ABC
的周长－△AEF
周的长＋2EF
＝15－10＋4＝9(cm)．
练一练
课堂练习
1、已知△ABC∽△A?B?C?，AD、A
?D
?分别是对应边BC、B
?C
?上的高，若BC＝8cm,B
?C
?＝6cm,AD＝4cm,则A
?D
?等于（
）
A
16cm
B
12
cm
C
3
cm
D
6
cm
2、两个相似三角形对应高的比为3∶7，它们的对应角平分线的比为（
）
A
7∶3
B
49∶9
C
9∶49
D
3∶7
C
D
3、如图，已知点D是AB边的中点，AF//BC,CG:GA=3：1，BC=8，则AF=_________
4、如图，△ABC中，BD是角平分线，过D作DE//AB交BC于点E,AB=5，BE=3，则EC=______
4
4.5
5.如图，在△ABC中，G是△ABC的重心，AG⊥GC，AG＝3，CG＝4，求BG的长．
解：延长BG，交AC于D，G是重心，
∴D是AC中点，
∵AG⊥GC，
∴△AGC是直角三角形，
根据勾股定理，可得AC＝5，
∴GD是AC边上的中线，
∵GD＝AC＝2.5，
∴根据重心定理，BG＝2GD＝5.
课堂小结
相似三角形的性质
相似三角形的对应角平分线，高，中线比等于相似比.
三角形的重心定理
三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段.
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