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浙教版数学九年级上册4.5.2三角形相似的性质及其应用导学案
课题
三角形相似的性质及应用
单元
4
学科
数学
年级
九年级
知识目标
1.
掌握相似三角形的“对应角相等，对应边成比例”的性质.
2.
会用上述性质解决有关的几何论证和计算问题.
重点难点
重点：相似三角形的基本性质：“对应角相等，对应边成比例”的应用.
难点：证明需添辅助线.
教学过程
知识链接
相似三角形的性质有哪些？
合作探究
一、教材第143页
1.两个相似三角形的周长之比与相似比有什么关系？面积之比与相似比有什么关系？
归纳：相似三角形周长比和面积比的性质：
；
。
二、教材第143页
已知:ΔABC∽ΔA’B’C’，相似比为k,
求证:
归纳
几何语言：
∵△ABC∽△A’B’C’，相似比为k
∴
，
。
三、教材第144页
例3
如图,是某市部分街道图，比例尺为1：100
000；请估计三条道路围成的三角形地块ABC的实际周长和面积。
四、教材第145页
例4
如图,在△ABC中，作DE//BC，分别交AB，AC于点D，E.若要使△ADE与四边形DBCE的面积相等，则AD与AB的比应取多少？
自主尝试
1.两个相似三角形，其周长之比为3：2，则其面积比为（
）
A．
B．3：2
C．9：4
D．不能确定
2.两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积和为78cm2，那么较大多边形的面积为（
）
A．46.8
cm2
B．42
cm2
C．52
cm2
D．54
cm2
3．如图，已知△ABC
中，DE//BC,CD和BE相交于O,
,则AD:DB=_____
【方法宝典】
根据相似三角形的周长比和面积比的性质进行解题即可.
当堂检测
1．若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为( )
A．1∶2 B．1∶4
C．1∶5 D．1∶16
2．(广东中考)在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为( )
A. B. C. D.
3．如图，在?ABCD中，E为CD上一点，连结AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF∶S△ABF＝4∶25，则DE∶EC＝( )
A．2∶5 B．2∶3
C．3∶5 D．3∶2
4．如图，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半，若AB＝，则此三角形移动的距离AA′是( )
A.－1 B.
C．1 D.
5．若两个相似三角形的相似比为2∶3，则它们的周长之比为________，面积之比为________．
6．地图上为1cm2的面积实际面积为400m2，则该地图的比例尺为________．
7．如图，⊙O的两弦AB，CD交于点P，连结AC，BD，得S△ACP∶S△DBP＝16∶9，则AC∶BD＝________．
8.如图，D，E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE∶S△CDE＝1∶3，则S△DOE∶S△AOC的值为________．
9．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2BD.
(1)若△ADE的周长为6，求△ABC的周长；
(2)若S梯形BCED＝20，求S△ADE.
10．已知两个相似三角形的一对对应边长分别是35cm和14cm.
(1)已知它们的周长相差60cm，求这两个三角形的周长；
(2)已知它们的面积相差588cm2，求这两个三角形的面积．
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案：
当堂检测：
1－4.ACBA
5.2∶3 4∶9
6.1∶2000
7.4∶3
8.1∶16
9.(1)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝.
∵AD＝2BD，∴＝，
又∵C△ADE＝6，∴＝，∴C△ABC＝9；
(2)＝()2＝，
∴＝，∴S△ADE＝16.
10.(1)∵相似三角形的对应边长分别是35cm和14cm，
∴这两个三角形的相似比为5∶2，
∴这两个三角形的周长比为5∶2.
∵它们的周长相差60cm，设较大的三角形的周长为5xcm，较小的三角形的周长为2xcm，∴5x－2x＝60，∴x＝20，
∴5x＝5×20＝100(cm)，2x＝2×20＝40(cm)，
∴较大的三角形的周长为100cm，较小的三角形的周长为40cm；
(2)∵这两个三角形的相似比为5∶2，
∴这两个三角形的面积比为25∶4.
∵它们的面积相差588cm2，设较大的三角形的面积为25xcm2，较小的三角形的面积为4xcm2，
∴(25－4)x＝588，∴x＝28，
∴25x＝25×28＝700(cm2)，4x＝4×28＝112(cm2)，
∴较大的三角形的面积为700cm2，较小的三角形的面积为112cm2.
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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浙教版
九上数学
4.5.2相似三角形的性质及其应用
复习旧知
相似三角形的性质：
1.相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
2.相似三角形对应边上的中线、对应边上的高、对应角的角平分线之比都等于
.
相似比
算一算：
ΔABC与ΔA1B1C1的相似比是多少？
ΔABC与ΔA1B1C1的周长比是多少?面积比是多少？
看一看：
ΔABC与ΔA1B1C1有什么关系？
探究新知
猜想：相似三角形的周长之比等于相似比,面积比等于相似比的平方.
你发现上面两个相似三角形的周长比与相似比有什么关系？
面积比与相似比又有什么关系？
探究新知
求证:
已知:ΔABC∽ΔABC，相似比为k,
证明：∵△ABC∽△ABC且相似比为k.
∴AB=kAB，BC=kBC，AC=kAC
∴
∴
新知讲解
证明：作BC、BC边上的高AD、AD
∵△ABC∽△ABC
∴
∴
归纳
相似三角形的周长比等于相似比;
相似三角形的面积比等于相似比的平方
几何语言：
∵△ABC∽△A’B’C’，相似比为k，
∴，
相似比
2
周长比
m
面积比
10000
练一练
已知两个三角形相似，请完成下列表格
2
4
100
100
m
m2
k
例题解析
例3:
如图,是某市部分街道图，比例尺为1：100
000；请估计三条道路围成的三角形地块ABC的实际周长和面积.
例题解析
解：地图上的比例尺为1:10000，就是地图上的△ABC与实际三角形地块的相似比为.量得地图上AB=2.7cm，BC=3.0cm，AC=2.0cm，则地图上△ABC的周长为2.7+3.0+2.0=7.7(cm)
∵
∴三角形地块的实际周长为7.7×即7.7km.
量得BC边上的高线长为1.8cm，
∴地图上△ABC的面积为3.0×1.8=2.7(cm2)
∵
∴三角形地块的实际面积为2.7×cm2，即2.7km2.
答：估计这个三角形地块的实际周长为7.7km，实际面积为2.7km2.
练一练
如图，△ABC
中，点
D、E、F
分别在
AB、AC、BC
上，且
DE∥BC，EF∥AB.
当
D
点为
AB
中点时，求
S四边形BFED
:
S△ABC
的值.
A
B
C
D
F
E
解：∵
DE∥BC，D
为
AB
中点，
∴
△ADE
∽
△ABC
，
相似比为
1
:
2，
面积比为
1
:
4.
∴
又∵
EF∥AB，
∴
△EFC
∽
△ABC
，相似比为
1
:
2，
面积比为
1
:
4.
设
S△ABC
=
4，则
S△ADE
=
1，S△EFC
=
1，
S四边形BFED
=
S△ABC－S△ADE－S△EFC
=
4－1－1
=
2，
∴
S四边形BFED
:
S△ABC
=
2
:
4
=
例题解析
例4
如图,在△ABC中，作DE//BC，分别交AB，AC于点D，E.若要使△ADE与四边形DBCE的面积相等，问AD与AB的比应取多少？
解：∵DE//BC
由=1，
得.
∴.
∴△ADE∽△ABC
∴.
答：若△ADE与四边形DBCE的面积相等，则AD与AB的比为.
如图，在△ABC中，DE∥BC，且S△ADE：S四边形BCED＝1：2，BC＝
，求DE的长.
解：∵S△ADE:S四边形BCED=1:2
∴S△ADE：S△ABC
=1:3
又∵DE//BC,
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴
∴DE＝2
练一练
课堂练习
1．下列命题是真命题的是(
)
A．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为2∶3
B．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9
C．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为2∶3
D．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为4∶9
2.如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B.若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为(
)
A．2a
B.a
C．3a
D.a
B
C
3．一副三角板叠放如图，则△AOB与△DOC的面积之比为______．
4、如图，Rt△ABC
中，∠ACB=90°
,直线EF//BD,
交AB于E，交AC于G,交AD于F,若
.
5.
如图，这是圆桌正上方的灯泡
(点A)
发出的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面为1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积约为多少
(结果保留两位小数)？
A
D
E
F
C
B
H
解：∵
FH
=
1
米，AH
=
3
米，
桌面的直径为
1.2
米，
∴
AF
=
AH－FH
=
2
(米)，
DF
=
1.2÷2
=
0.6
(米).
∵DF∥CH，
∴△ADF
∽△ACH，
∴
即
解得
CH
=
0.9米.
∴
阴影部分的面积为：
答：地面上阴影部分的面积约为
2.54
平方米.
(平方米).
课堂小结
相似三角形的性质:
3.相似三角形的周长比等于相似比;
1.相似三角形对应角相等;
5.相似三角形的对应高线、中线、角平分线之比等于相似比.
2.相似三角形对应边成比例；
4.相似三角形的面积比等于相似比的平方；
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