1.1锐角三角函数概念与特殊角的三角函数值（含答案）
文档属性
| 名称 | 1.1锐角三角函数概念与特殊角的三角函数值（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-03 11:29:00 | ||
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文档简介
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浙教版九下第一章
解直角三角形
1.1
锐角三角函数
一．选择题（共10小题）
1．计算sin230°+cos260°的结果为（ ）
A．
B．
C．1
D．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝2，则sinA的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝，那么下列各式正确的是（ ）
A．AB＝4AC
B．AB＝4BC
C．AC＝4BC
D．BC＝4AC
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tanA的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，＝，则sinA的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．若α，β是一个三角形的两个锐角，且满足|sinα﹣|+（﹣tan
β）2＝0，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
7．关于三角函数有如下公式：
sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ
cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ
tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1
利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0
其中正确的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD＝（ ）
A．
B．
C．
D．
9．规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，给出以下四个结论：
（1）sin（﹣30°）＝﹣；
（2）cos2x＝cos2x﹣sin2x；
（3）cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；
（4）cos15°＝．
其中正确的结论的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
10．如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB＝45°，则sinC的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共7小题）
11．在△ABC中，若（cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，则∠C的大小是
．
12．如图所示方格纸中每个小正方形的边长为1，其中有三个格点A、B、C，则sin∠ABC＝
．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝，则斜边AB边上的高CD的长为
14．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanB的值为
．
15．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AC＝2，BC＝1，那么sin∠ABD的值是
．
16．如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为
．
17．已知三角函数的变换公式：（a）cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，（b）sin（﹣x）＝﹣sinx，（c）cos（﹣x）＝cosx，则下列说法正确的序号是
．
①cos（﹣30°）＝﹣；
②cos75°＝；
③cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；
④cos2x＝cos2x﹣sin2x．
三．解答题（共8小题）
18．（1）︳﹣3|﹣2cos30°﹣﹣2﹣2+（3﹣π）0
（2）先化简，再求值．，其中x＝3
19．如图，锐角△ABC中，AB＝10cm，BC＝9cm，△ABC的面积为27cm2．求tanB的值．
20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．若a＝2，sin，求b和c．
21．阅读理解：
我们已经学习的直角三角形知识包括：勾股定理，30°、45°特殊角的直角三角形的边之间的关系等，在解决初中数学问题上起到重要作用，锐角三角函数是另一个研究直角三角形中边角间关系的知识，通过锐角三角函数也可以帮助解决数学问题．
阅读下列材料，完成习题：
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，即sinA＝＝
例如：a＝3，c＝7，则sinA＝
问题：在Rt△ABC中，∠C＝90°
（1）如图2，BC＝5，AB＝8，求sinA的值．
（2）如图3，当∠A＝45°时，求sinB的值．
（3）AC＝2，sinB＝，求BC的长度．
22．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作⊙O的切线与CD长线交于点F，AC＝8，CE：ED＝6：5，AE：EB＝2：3．求：
（1）AB的长度；
（2）tan∠ECB的值．
23．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，点K为弧AC上的一个动点（K不与A，C重合），AK，DC延长线交于点F，连接CK．
（1）求证：△ADF∽△CKF；
（2）若AB＝10，CD＝6，求tan∠CKF的值．
24．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BC＝1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD＝x．
（1）求证：△ABC∽△BCD；
（2）求x的值；
（3）求cos36°﹣cos72°的值．
25．在△ABC中，∠ABC＝90°，如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，则△ABM～△BCN；
（1）如图2，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，tan∠PAC＝，求tanC的值；
（2）如图3，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC＝，，直接写出tan∠CEB的值．
浙教版九下第一章
解直角三角形
1.1
锐角三角函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．计算sin230°+cos260°的结果为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．
【解答】解：sin230°+cos260°＝（）2+（）2
＝+
＝．
故选：A．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝2，则sinA的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据勾股定理求出斜边AB，再根据锐角三角函数的意义求出sinA即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝，
所以sinA＝＝＝，
故选：D．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝，那么下列各式正确的是（ ）
A．AB＝4AC
B．AB＝4BC
C．AC＝4BC
D．BC＝4AC
【分析】根据正弦函数的定义解答即可．
【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，
∴sinA＝＝，
∴AB＝4BC，
故选：B．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tanA的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据锐角三角函数的定义得出sinB＝＝，设AC＝12x，AB＝13x，根据勾股定理求出BC，再根据锐角三角函数的定义得出tanA＝，代入求出即可．
【解答】解：∵sinB＝＝，
∴设AC＝12x，AB＝13x，
由勾股定理得：BC＝＝＝5x，
∴tanA＝＝＝，
故选：D．
5．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，＝，则sinA的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解．
【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC则易证△ABE∽△ACD，
∴＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴＝＝，
设AD＝2a，则AC＝5a，
根据勾股定理得到CD＝a，
因而sinA＝＝．
故选：B．
6．若α，β是一个三角形的两个锐角，且满足|sinα﹣|+（﹣tan
β）2＝0，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【分析】根据非负数的性质可知sinα＝，tanβ＝；根据α，β都是锐角可知α＝60°，β＝60°，从而判断三角形的形状．
【解答】解：∵|sinα﹣|+（﹣tan
β）2＝0，
∴sinα﹣＝0，﹣tan
β＝0，
∴sinα＝，tanβ＝，
又∵α，β都是锐角，
∴α＝60°，β＝60°，
∴此三角形的形状是等边三角形．
故选：C．
7．关于三角函数有如下公式：
sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ
cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ
tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1
利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0
其中正确的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】直接利用已知公式法分别代入计算得出答案．
【解答】解：①sin105°＝sin（45°+60°）
＝sin60°cos45°+cos60°sin45°
＝×+×
＝，故此选项正确；
②tan105°＝tan（60°+45°）
＝
＝
＝
＝﹣2﹣，故此选项正确；
③sin15°＝sin（60°﹣45°）
＝sin60°cos45°﹣cos60°sin45°
＝×﹣×
＝，故此选项正确；
④cos90°＝cos（45°+45°）
＝cos45°cos45°﹣sin45°sin45°
＝×﹣×
＝0，故此选项正确；
故正确的有4个．
故选：D．
8．如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】连接CD，可得出∠OBD＝∠OCD，根据点D（0，3），C（4，0），得OD＝3，OC＝4，由勾股定理得出CD＝5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD即可．
【解答】解：∵D（0，3），C（4，0），
∴OD＝3，OC＝4，
∵∠COD＝90°，
∴CD＝＝5，
连接CD，如图所示：
∵∠OBD＝∠OCD，
∴sin∠OBD＝sin∠OCD＝＝．
故选：D．
9．规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，给出以下四个结论：
（1）sin（﹣30°）＝﹣；
（2）cos2x＝cos2x﹣sin2x；
（3）cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；
（4）cos15°＝．
其中正确的结论的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据题目中所规定公式，化简三角函数，即可判断结论．
【解答】解：（1），故此结论正确；
（2）cos2x＝cos（x+x）＝cosxcosx﹣sinxsinx＝cos2x﹣sin2x，故此结论正确；
（3）cos（x﹣y）＝cos[x+（﹣y）]＝cosxcos（﹣y）﹣sinxsin（﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny，故此结论正确；
（4）cos15°＝cos（45°﹣30°）＝cos45°cos30°+sin45°sin30°＝＝＝，故此结论错误．
所以正确的结论有3个，
故选：C．
10．如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB＝45°，则sinC的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】首先过点A作AD⊥OB于点D，由在Rt△AOD中，∠AOB＝45°，可求得AD与OD的长，继而可得BD的长，然后由勾股定理求得AB的长，继而可求得sinC的值．
【解答】解：过点A作AD⊥OB于点D，
∵在Rt△AOD中，∠AOB＝45°，
∴OD＝AD＝OA?cos45°＝×1＝，
∴BD＝OB﹣OD＝1﹣，
∴AB＝＝，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，AC＝2，
∴sinC＝．
故选：B．
二．填空题（共7小题）
11．在△ABC中，若（cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，则∠C的大小是 75° ．
【分析】直接利用非负数的性质结合特殊角的三角函数值得出∠A，∠B的度数，即可得出答案．
【解答】解：∵（cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，
∴cosA﹣＝0，1﹣tanB＝0，
则cosA＝，tanB＝1，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．
故答案为：75°．
12．如图所示方格纸中每个小正方形的边长为1，其中有三个格点A、B、C，则sin∠ABC＝ ．
【分析】首先过点A作AD⊥BC于点D，连接AC，进而结合S△ABC得出AD的长，再利用锐角三角函数关系求出答案．
【解答】解：如图所示：过点A作AD⊥BC于点D，连接AC．
∵S△ABC＝20﹣×2×5﹣×2×4﹣×1×4＝9，
S△ABC＝×BC×AD＝9，
∴×2AD＝9，
解得：AD＝，故sin∠ABC＝＝．
故答案为：．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝，则斜边AB边上的高CD的长为
【分析】作CD⊥AB于D，如图，在Rt△ACB中利用正弦的定义可计算出BC＝，再利用勾股定理计算出AC＝，然后利用面积法计算CD的长
【解答】解：作CD⊥AB于D，如图，
在Rt△ACB中，∵sinA＝＝，
∴BC＝×4＝，
∴AC＝＝，
∵CD?AB＝AC?BC，
∴CD＝＝，
即斜边上的高为．
故答案为：．
14．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanB的值为 ．
【分析】根据在直角三角形中，正切为对边比邻边，可得答案．
【解答】解：如图：
，
tanB＝＝．
故答案是：．
15．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AC＝2，BC＝1，那么sin∠ABD的值是 ．
【分析】易证∠ABD＝∠ACD＝∠ABC，因而求sin∠ABD的值的问题，就可以转化为求∠ABC的三角函数的值的问题．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，AB＝＝3．
∴sin∠ABD＝sin∠ABC＝＝．
16．如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为 ．
【分析】利用锐角三角函数的定义求解，tan∠POH为∠POH的对边比邻边，求出即可．
【解答】解：∵P（12，a）在反比例函数图象上，
∴a＝＝5，
∵PH⊥x轴于H，
∴PH＝5，OH＝12，
∴tan∠POH＝，
故答案为：．
17．已知三角函数的变换公式：（a）cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，（b）sin（﹣x）＝﹣sinx，（c）cos（﹣x）＝cosx，则下列说法正确的序号是 ②③④ ．
①cos（﹣30°）＝﹣；
②cos75°＝；
③cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；
④cos2x＝cos2x﹣sin2x．
【分析】根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断．
【解答】解：①cos（﹣30°）＝cos30°＝，命题错误；
②cos75°＝cos（30°+45°）＝cos30°?cos45°﹣sin30°?sin45°＝﹣＝，命题正确；
③cos（x﹣y）＝cosxcos（﹣y）﹣sinxsin（﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny，命题正确；
④cos2x＝cosx?cosx﹣sinx?sinx＝cos2x﹣sin2x，命题正确；
故答案为：②③④．
三．解答题（共8小题）
18．（1）︳﹣3|﹣2cos30°﹣﹣2﹣2+（3﹣π）0
（2）先化简，再求值．，其中x＝3
【分析】（1）利用绝对值和特殊角的三角函数及负指数幂和0指数幂进行计算．
（2）先计算括号里的，再把分子分母分解因式，约分即可．
【解答】（1）解：原式＝3﹣﹣2﹣+1
（3分）
＝；（5分）
（2）解：
＝（1分）
＝（3分）
＝．
（4分）
当x＝3时，原式＝1．
（5分）
19．如图，锐角△ABC中，AB＝10cm，BC＝9cm，△ABC的面积为27cm2．求tanB的值．
【分析】根据题意画出图形，由三角形的面积公式求出AH的长，再由勾股定理求出BH的长，最后由锐角三角函数的定义即可解答．
【解答】解：过点A作AH⊥BC于H，
∵S△ABC＝27，
∴，
∴AH＝6，
∵AB＝10，
∴BH＝＝＝8，
∴tanB＝＝＝．
20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．若a＝2，sin，求b和c．
【分析】先根据sinA＝知c＝＝6，再根据勾股定理求解可得．
【解答】解：如图，
∵a＝2，sin，
∴c＝＝＝6，
则b＝＝＝4．
21．阅读理解：
我们已经学习的直角三角形知识包括：勾股定理，30°、45°特殊角的直角三角形的边之间的关系等，在解决初中数学问题上起到重要作用，锐角三角函数是另一个研究直角三角形中边角间关系的知识，通过锐角三角函数也可以帮助解决数学问题．
阅读下列材料，完成习题：
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，即sinA＝＝
例如：a＝3，c＝7，则sinA＝
问题：在Rt△ABC中，∠C＝90°
（1）如图2，BC＝5，AB＝8，求sinA的值．
（2）如图3，当∠A＝45°时，求sinB的值．
（3）AC＝2，sinB＝，求BC的长度．
【分析】（1）根据正弦函数的定义解答；
（2）设AC＝x，则BC＝x，利用方程解答；
（3）由锐角三角函数定义求得AB＝4，然后由勾股定理解答．
【解答】解：（1）sinA＝；
（2）在Rt△ABC中，∠A＝45°，
设AC＝x，则BC＝x，AB＝，
则sinB＝；
（3）sinB＝，则AB＝4，由勾股定理得：BC2＝AB2﹣AC2＝16﹣12＝4，
∴BC＝2．
22．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作⊙O的切线与CD长线交于点F，AC＝8，CE：ED＝6：5，AE：EB＝2：3．求：
（1）AB的长度；
（2）tan∠ECB的值．
【分析】（1）设CE＝6k，ED＝5k，AE＝2a，BE＝3a，过点O作OH⊥CD垂足为H，则CH＝HD，由△OHE∽△FAE，得＝求出EF＝，由CE?ED＝BE?AE求出k、a关系，得EF＝10k，得到DE＝DC，得△DEA、△BCE都是等腰三角形，在RT△ABC中利用勾股定理即可解决问题．
（2）根据tan∠ECB＝tan∠AEF＝，求出AF、AE即可．
【解答】解：（1）设CE＝6k，ED＝5k，AE＝2a，BE＝3a，
过点O作OH⊥CD垂足为H，则CH＝HD，
∴EH＝0.5k，OE＝0.5a，
∵AF是切线，
∴∠FAE＝90°＝∠OHE，
∵∠OEH＝∠FEA，
∴△OHE∽△FAE，
∴＝即＝，
∴EF＝，
∵CE?ED＝BE?AE，
∴6k?5k＝3a?2a，
∴a2＝5k2，
∴EF＝10k，
∴点D是EF中点，
∴AD＝ED＝DF＝5k，
∴△DEA、△BCE都是等腰三角形，
∴BC＝BE＝3a，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴（3a）2+82＝（5a）2，
∴a＝2，
∴AB＝5a＝10．
（2）∵a＝2，
∴k＝，
∵AF2＝DF?FC＝80k2＝64，
∴AF＝8，
∴tan∠ECB＝tan∠AEF＝＝＝2．
23．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，点K为弧AC上的一个动点（K不与A，C重合），AK，DC延长线交于点F，连接CK．
（1）求证：△ADF∽△CKF；
（2）若AB＝10，CD＝6，求tan∠CKF的值．
【分析】（1）证明∠1＝∠D，又∠F＝∠F，可说明△ADF∽△CKF；
（2）连接OD，利用垂径定理即勾股定理求出OE长，则AE可知，在Rt△ADE中，tan∠ADE值可求，又∠CKF＝∠ADE，所以tan∠CKF可求．
【解答】解：（1）∵四边形ADCK内接于⊙O，
∴∠D+∠2＝180°．
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝∠D．
又∠F＝∠F，
∴△ADF∽△CKF；
（2）连接OD，
∵AB＝10，
∴AO＝DO＝5．
∵直径AB⊥CD，CD＝6，
∴DE＝CD＝3．
在Rt△ODE中，利用勾股定理可得
OE＝＝4．
∴AE＝OA+OE＝9．
在Rt△ADE中，tan∠ADE＝＝＝3．
∵∠CKF＝∠ADE，
∴tan∠CKF＝3．
24．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BC＝1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD＝x．
（1）求证：△ABC∽△BCD；
（2）求x的值；
（3）求cos36°﹣cos72°的值．
【分析】（1）由等腰三角形ABC中，利用顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出∠DBC的度数，得到∠DBC＝∠A，再由∠C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似；
（2）根据（1）结论得到AD＝BD＝BC，根据AD+DC表示出AC，由（1）两三角形相似得比例求出x的值即可；
（3）过B作BE垂直于AC，交AC于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：（1）∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∵∠CBD＝∠A＝36°，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BCD；
（2）∵∠A＝∠ABD＝36°，
∴AD＝BD，
∵BD＝BC，
∴AD＝BD＝BC＝1，
设CD＝x，则有AB＝AC＝x+1，
∵△ABC∽△BCD，
∴＝，即＝，
整理得：x2+x﹣1＝0，
解得：x1＝，x2＝（负值，舍去），
则x＝；
（3）过B作BE⊥AC，交AC于点E，
∵BD＝BC，
∴E为CD中点，即DE＝CE＝，
在Rt△ABE中，cosA＝cos36°＝＝＝，
在Rt△BCE中，cosC＝cos72°＝＝＝，
则cos36°﹣cos72°＝﹣＝．
25．在△ABC中，∠ABC＝90°，如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，则△ABM～△BCN；
（1）如图2，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，tan∠PAC＝，求tanC的值；
（2）如图3，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC＝，，直接写出tan∠CEB的值．
【分析】（1）利用同角的余角相等判断出∠BAM＝∠CBN，即可得出结论；
（2）先判断出MP＝MC，进而得出＝，设MN＝2m，PN＝m，根据勾股定理得，PM＝＝3m＝CM，即可得出结论；
（3）先判断出＝，再同（2）的方法，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AM⊥MN，CN⊥MN，
∴∠AMB＝∠BNC＝90°，
∴∠BAM+∠ABM＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABM+∠CBN＝90°，
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠AMB＝∠NBC，
∴△ABM∽△BCN；
（2）如图2，过点P作PM⊥AP交AC于M，PN⊥AM于N．
∴∠BAP+∠1＝∠CPM+∠1＝90°，
∴∠BAP＝∠CPM＝∠C，
∴MP＝MC
∵tan∠PAC＝＝＝＝，
设MN＝2m，PN＝m，
根据勾股定理得，PM＝＝3m＝CM，
∴tanC＝＝；
（3）在Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝，
过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，
∵∠DEB＝90°，
∴CH∥AG∥DE，
∴＝
同（1）的方法得，△ABG∽△BCH
∴＝＝＝，
设BG＝4m，CH＝3m，AG＝4n，BH＝3n，
∵AB＝AE，AG⊥BE，
∴EG＝BG＝4m，
∴GH＝BG+BH＝4m+3n，
∴＝，
∴n＝2m，
∴EH＝EG+GH＝4m+4m+3n＝8m+3n＝8m+6m＝14m，
在Rt△CEH中，tan∠BEC＝＝．
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浙教版九下第一章
解直角三角形
1.1
锐角三角函数
一．选择题（共10小题）
1．计算sin230°+cos260°的结果为（ ）
A．
B．
C．1
D．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝2，则sinA的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝，那么下列各式正确的是（ ）
A．AB＝4AC
B．AB＝4BC
C．AC＝4BC
D．BC＝4AC
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tanA的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，＝，则sinA的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．若α，β是一个三角形的两个锐角，且满足|sinα﹣|+（﹣tan
β）2＝0，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
7．关于三角函数有如下公式：
sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ
cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ
tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1
利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0
其中正确的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD＝（ ）
A．
B．
C．
D．
9．规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，给出以下四个结论：
（1）sin（﹣30°）＝﹣；
（2）cos2x＝cos2x﹣sin2x；
（3）cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；
（4）cos15°＝．
其中正确的结论的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
10．如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB＝45°，则sinC的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共7小题）
11．在△ABC中，若（cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，则∠C的大小是
．
12．如图所示方格纸中每个小正方形的边长为1，其中有三个格点A、B、C，则sin∠ABC＝
．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝，则斜边AB边上的高CD的长为
14．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanB的值为
．
15．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AC＝2，BC＝1，那么sin∠ABD的值是
．
16．如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为
．
17．已知三角函数的变换公式：（a）cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，（b）sin（﹣x）＝﹣sinx，（c）cos（﹣x）＝cosx，则下列说法正确的序号是
．
①cos（﹣30°）＝﹣；
②cos75°＝；
③cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；
④cos2x＝cos2x﹣sin2x．
三．解答题（共8小题）
18．（1）︳﹣3|﹣2cos30°﹣﹣2﹣2+（3﹣π）0
（2）先化简，再求值．，其中x＝3
19．如图，锐角△ABC中，AB＝10cm，BC＝9cm，△ABC的面积为27cm2．求tanB的值．
20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．若a＝2，sin，求b和c．
21．阅读理解：
我们已经学习的直角三角形知识包括：勾股定理，30°、45°特殊角的直角三角形的边之间的关系等，在解决初中数学问题上起到重要作用，锐角三角函数是另一个研究直角三角形中边角间关系的知识，通过锐角三角函数也可以帮助解决数学问题．
阅读下列材料，完成习题：
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，即sinA＝＝
例如：a＝3，c＝7，则sinA＝
问题：在Rt△ABC中，∠C＝90°
（1）如图2，BC＝5，AB＝8，求sinA的值．
（2）如图3，当∠A＝45°时，求sinB的值．
（3）AC＝2，sinB＝，求BC的长度．
22．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作⊙O的切线与CD长线交于点F，AC＝8，CE：ED＝6：5，AE：EB＝2：3．求：
（1）AB的长度；
（2）tan∠ECB的值．
23．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，点K为弧AC上的一个动点（K不与A，C重合），AK，DC延长线交于点F，连接CK．
（1）求证：△ADF∽△CKF；
（2）若AB＝10，CD＝6，求tan∠CKF的值．
24．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BC＝1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD＝x．
（1）求证：△ABC∽△BCD；
（2）求x的值；
（3）求cos36°﹣cos72°的值．
25．在△ABC中，∠ABC＝90°，如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，则△ABM～△BCN；
（1）如图2，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，tan∠PAC＝，求tanC的值；
（2）如图3，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC＝，，直接写出tan∠CEB的值．
浙教版九下第一章
解直角三角形
1.1
锐角三角函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．计算sin230°+cos260°的结果为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．
【解答】解：sin230°+cos260°＝（）2+（）2
＝+
＝．
故选：A．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝2，则sinA的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据勾股定理求出斜边AB，再根据锐角三角函数的意义求出sinA即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝，
所以sinA＝＝＝，
故选：D．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝，那么下列各式正确的是（ ）
A．AB＝4AC
B．AB＝4BC
C．AC＝4BC
D．BC＝4AC
【分析】根据正弦函数的定义解答即可．
【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，
∴sinA＝＝，
∴AB＝4BC，
故选：B．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tanA的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据锐角三角函数的定义得出sinB＝＝，设AC＝12x，AB＝13x，根据勾股定理求出BC，再根据锐角三角函数的定义得出tanA＝，代入求出即可．
【解答】解：∵sinB＝＝，
∴设AC＝12x，AB＝13x，
由勾股定理得：BC＝＝＝5x，
∴tanA＝＝＝，
故选：D．
5．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，＝，则sinA的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解．
【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC则易证△ABE∽△ACD，
∴＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴＝＝，
设AD＝2a，则AC＝5a，
根据勾股定理得到CD＝a，
因而sinA＝＝．
故选：B．
6．若α，β是一个三角形的两个锐角，且满足|sinα﹣|+（﹣tan
β）2＝0，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【分析】根据非负数的性质可知sinα＝，tanβ＝；根据α，β都是锐角可知α＝60°，β＝60°，从而判断三角形的形状．
【解答】解：∵|sinα﹣|+（﹣tan
β）2＝0，
∴sinα﹣＝0，﹣tan
β＝0，
∴sinα＝，tanβ＝，
又∵α，β都是锐角，
∴α＝60°，β＝60°，
∴此三角形的形状是等边三角形．
故选：C．
7．关于三角函数有如下公式：
sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ
cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ
tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1
利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0
其中正确的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】直接利用已知公式法分别代入计算得出答案．
【解答】解：①sin105°＝sin（45°+60°）
＝sin60°cos45°+cos60°sin45°
＝×+×
＝，故此选项正确；
②tan105°＝tan（60°+45°）
＝
＝
＝
＝﹣2﹣，故此选项正确；
③sin15°＝sin（60°﹣45°）
＝sin60°cos45°﹣cos60°sin45°
＝×﹣×
＝，故此选项正确；
④cos90°＝cos（45°+45°）
＝cos45°cos45°﹣sin45°sin45°
＝×﹣×
＝0，故此选项正确；
故正确的有4个．
故选：D．
8．如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】连接CD，可得出∠OBD＝∠OCD，根据点D（0，3），C（4，0），得OD＝3，OC＝4，由勾股定理得出CD＝5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD即可．
【解答】解：∵D（0，3），C（4，0），
∴OD＝3，OC＝4，
∵∠COD＝90°，
∴CD＝＝5，
连接CD，如图所示：
∵∠OBD＝∠OCD，
∴sin∠OBD＝sin∠OCD＝＝．
故选：D．
9．规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，给出以下四个结论：
（1）sin（﹣30°）＝﹣；
（2）cos2x＝cos2x﹣sin2x；
（3）cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；
（4）cos15°＝．
其中正确的结论的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据题目中所规定公式，化简三角函数，即可判断结论．
【解答】解：（1），故此结论正确；
（2）cos2x＝cos（x+x）＝cosxcosx﹣sinxsinx＝cos2x﹣sin2x，故此结论正确；
（3）cos（x﹣y）＝cos[x+（﹣y）]＝cosxcos（﹣y）﹣sinxsin（﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny，故此结论正确；
（4）cos15°＝cos（45°﹣30°）＝cos45°cos30°+sin45°sin30°＝＝＝，故此结论错误．
所以正确的结论有3个，
故选：C．
10．如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB＝45°，则sinC的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】首先过点A作AD⊥OB于点D，由在Rt△AOD中，∠AOB＝45°，可求得AD与OD的长，继而可得BD的长，然后由勾股定理求得AB的长，继而可求得sinC的值．
【解答】解：过点A作AD⊥OB于点D，
∵在Rt△AOD中，∠AOB＝45°，
∴OD＝AD＝OA?cos45°＝×1＝，
∴BD＝OB﹣OD＝1﹣，
∴AB＝＝，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，AC＝2，
∴sinC＝．
故选：B．
二．填空题（共7小题）
11．在△ABC中，若（cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，则∠C的大小是 75° ．
【分析】直接利用非负数的性质结合特殊角的三角函数值得出∠A，∠B的度数，即可得出答案．
【解答】解：∵（cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，
∴cosA﹣＝0，1﹣tanB＝0，
则cosA＝，tanB＝1，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．
故答案为：75°．
12．如图所示方格纸中每个小正方形的边长为1，其中有三个格点A、B、C，则sin∠ABC＝ ．
【分析】首先过点A作AD⊥BC于点D，连接AC，进而结合S△ABC得出AD的长，再利用锐角三角函数关系求出答案．
【解答】解：如图所示：过点A作AD⊥BC于点D，连接AC．
∵S△ABC＝20﹣×2×5﹣×2×4﹣×1×4＝9，
S△ABC＝×BC×AD＝9，
∴×2AD＝9，
解得：AD＝，故sin∠ABC＝＝．
故答案为：．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝，则斜边AB边上的高CD的长为
【分析】作CD⊥AB于D，如图，在Rt△ACB中利用正弦的定义可计算出BC＝，再利用勾股定理计算出AC＝，然后利用面积法计算CD的长
【解答】解：作CD⊥AB于D，如图，
在Rt△ACB中，∵sinA＝＝，
∴BC＝×4＝，
∴AC＝＝，
∵CD?AB＝AC?BC，
∴CD＝＝，
即斜边上的高为．
故答案为：．
14．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanB的值为 ．
【分析】根据在直角三角形中，正切为对边比邻边，可得答案．
【解答】解：如图：
，
tanB＝＝．
故答案是：．
15．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AC＝2，BC＝1，那么sin∠ABD的值是 ．
【分析】易证∠ABD＝∠ACD＝∠ABC，因而求sin∠ABD的值的问题，就可以转化为求∠ABC的三角函数的值的问题．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，AB＝＝3．
∴sin∠ABD＝sin∠ABC＝＝．
16．如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为 ．
【分析】利用锐角三角函数的定义求解，tan∠POH为∠POH的对边比邻边，求出即可．
【解答】解：∵P（12，a）在反比例函数图象上，
∴a＝＝5，
∵PH⊥x轴于H，
∴PH＝5，OH＝12，
∴tan∠POH＝，
故答案为：．
17．已知三角函数的变换公式：（a）cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，（b）sin（﹣x）＝﹣sinx，（c）cos（﹣x）＝cosx，则下列说法正确的序号是 ②③④ ．
①cos（﹣30°）＝﹣；
②cos75°＝；
③cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；
④cos2x＝cos2x﹣sin2x．
【分析】根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断．
【解答】解：①cos（﹣30°）＝cos30°＝，命题错误；
②cos75°＝cos（30°+45°）＝cos30°?cos45°﹣sin30°?sin45°＝﹣＝，命题正确；
③cos（x﹣y）＝cosxcos（﹣y）﹣sinxsin（﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny，命题正确；
④cos2x＝cosx?cosx﹣sinx?sinx＝cos2x﹣sin2x，命题正确；
故答案为：②③④．
三．解答题（共8小题）
18．（1）︳﹣3|﹣2cos30°﹣﹣2﹣2+（3﹣π）0
（2）先化简，再求值．，其中x＝3
【分析】（1）利用绝对值和特殊角的三角函数及负指数幂和0指数幂进行计算．
（2）先计算括号里的，再把分子分母分解因式，约分即可．
【解答】（1）解：原式＝3﹣﹣2﹣+1
（3分）
＝；（5分）
（2）解：
＝（1分）
＝（3分）
＝．
（4分）
当x＝3时，原式＝1．
（5分）
19．如图，锐角△ABC中，AB＝10cm，BC＝9cm，△ABC的面积为27cm2．求tanB的值．
【分析】根据题意画出图形，由三角形的面积公式求出AH的长，再由勾股定理求出BH的长，最后由锐角三角函数的定义即可解答．
【解答】解：过点A作AH⊥BC于H，
∵S△ABC＝27，
∴，
∴AH＝6，
∵AB＝10，
∴BH＝＝＝8，
∴tanB＝＝＝．
20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．若a＝2，sin，求b和c．
【分析】先根据sinA＝知c＝＝6，再根据勾股定理求解可得．
【解答】解：如图，
∵a＝2，sin，
∴c＝＝＝6，
则b＝＝＝4．
21．阅读理解：
我们已经学习的直角三角形知识包括：勾股定理，30°、45°特殊角的直角三角形的边之间的关系等，在解决初中数学问题上起到重要作用，锐角三角函数是另一个研究直角三角形中边角间关系的知识，通过锐角三角函数也可以帮助解决数学问题．
阅读下列材料，完成习题：
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，即sinA＝＝
例如：a＝3，c＝7，则sinA＝
问题：在Rt△ABC中，∠C＝90°
（1）如图2，BC＝5，AB＝8，求sinA的值．
（2）如图3，当∠A＝45°时，求sinB的值．
（3）AC＝2，sinB＝，求BC的长度．
【分析】（1）根据正弦函数的定义解答；
（2）设AC＝x，则BC＝x，利用方程解答；
（3）由锐角三角函数定义求得AB＝4，然后由勾股定理解答．
【解答】解：（1）sinA＝；
（2）在Rt△ABC中，∠A＝45°，
设AC＝x，则BC＝x，AB＝，
则sinB＝；
（3）sinB＝，则AB＝4，由勾股定理得：BC2＝AB2﹣AC2＝16﹣12＝4，
∴BC＝2．
22．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作⊙O的切线与CD长线交于点F，AC＝8，CE：ED＝6：5，AE：EB＝2：3．求：
（1）AB的长度；
（2）tan∠ECB的值．
【分析】（1）设CE＝6k，ED＝5k，AE＝2a，BE＝3a，过点O作OH⊥CD垂足为H，则CH＝HD，由△OHE∽△FAE，得＝求出EF＝，由CE?ED＝BE?AE求出k、a关系，得EF＝10k，得到DE＝DC，得△DEA、△BCE都是等腰三角形，在RT△ABC中利用勾股定理即可解决问题．
（2）根据tan∠ECB＝tan∠AEF＝，求出AF、AE即可．
【解答】解：（1）设CE＝6k，ED＝5k，AE＝2a，BE＝3a，
过点O作OH⊥CD垂足为H，则CH＝HD，
∴EH＝0.5k，OE＝0.5a，
∵AF是切线，
∴∠FAE＝90°＝∠OHE，
∵∠OEH＝∠FEA，
∴△OHE∽△FAE，
∴＝即＝，
∴EF＝，
∵CE?ED＝BE?AE，
∴6k?5k＝3a?2a，
∴a2＝5k2，
∴EF＝10k，
∴点D是EF中点，
∴AD＝ED＝DF＝5k，
∴△DEA、△BCE都是等腰三角形，
∴BC＝BE＝3a，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴（3a）2+82＝（5a）2，
∴a＝2，
∴AB＝5a＝10．
（2）∵a＝2，
∴k＝，
∵AF2＝DF?FC＝80k2＝64，
∴AF＝8，
∴tan∠ECB＝tan∠AEF＝＝＝2．
23．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，点K为弧AC上的一个动点（K不与A，C重合），AK，DC延长线交于点F，连接CK．
（1）求证：△ADF∽△CKF；
（2）若AB＝10，CD＝6，求tan∠CKF的值．
【分析】（1）证明∠1＝∠D，又∠F＝∠F，可说明△ADF∽△CKF；
（2）连接OD，利用垂径定理即勾股定理求出OE长，则AE可知，在Rt△ADE中，tan∠ADE值可求，又∠CKF＝∠ADE，所以tan∠CKF可求．
【解答】解：（1）∵四边形ADCK内接于⊙O，
∴∠D+∠2＝180°．
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝∠D．
又∠F＝∠F，
∴△ADF∽△CKF；
（2）连接OD，
∵AB＝10，
∴AO＝DO＝5．
∵直径AB⊥CD，CD＝6，
∴DE＝CD＝3．
在Rt△ODE中，利用勾股定理可得
OE＝＝4．
∴AE＝OA+OE＝9．
在Rt△ADE中，tan∠ADE＝＝＝3．
∵∠CKF＝∠ADE，
∴tan∠CKF＝3．
24．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BC＝1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD＝x．
（1）求证：△ABC∽△BCD；
（2）求x的值；
（3）求cos36°﹣cos72°的值．
【分析】（1）由等腰三角形ABC中，利用顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出∠DBC的度数，得到∠DBC＝∠A，再由∠C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似；
（2）根据（1）结论得到AD＝BD＝BC，根据AD+DC表示出AC，由（1）两三角形相似得比例求出x的值即可；
（3）过B作BE垂直于AC，交AC于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：（1）∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∵∠CBD＝∠A＝36°，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BCD；
（2）∵∠A＝∠ABD＝36°，
∴AD＝BD，
∵BD＝BC，
∴AD＝BD＝BC＝1，
设CD＝x，则有AB＝AC＝x+1，
∵△ABC∽△BCD，
∴＝，即＝，
整理得：x2+x﹣1＝0，
解得：x1＝，x2＝（负值，舍去），
则x＝；
（3）过B作BE⊥AC，交AC于点E，
∵BD＝BC，
∴E为CD中点，即DE＝CE＝，
在Rt△ABE中，cosA＝cos36°＝＝＝，
在Rt△BCE中，cosC＝cos72°＝＝＝，
则cos36°﹣cos72°＝﹣＝．
25．在△ABC中，∠ABC＝90°，如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，则△ABM～△BCN；
（1）如图2，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，tan∠PAC＝，求tanC的值；
（2）如图3，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC＝，，直接写出tan∠CEB的值．
【分析】（1）利用同角的余角相等判断出∠BAM＝∠CBN，即可得出结论；
（2）先判断出MP＝MC，进而得出＝，设MN＝2m，PN＝m，根据勾股定理得，PM＝＝3m＝CM，即可得出结论；
（3）先判断出＝，再同（2）的方法，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AM⊥MN，CN⊥MN，
∴∠AMB＝∠BNC＝90°，
∴∠BAM+∠ABM＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABM+∠CBN＝90°，
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠AMB＝∠NBC，
∴△ABM∽△BCN；
（2）如图2，过点P作PM⊥AP交AC于M，PN⊥AM于N．
∴∠BAP+∠1＝∠CPM+∠1＝90°，
∴∠BAP＝∠CPM＝∠C，
∴MP＝MC
∵tan∠PAC＝＝＝＝，
设MN＝2m，PN＝m，
根据勾股定理得，PM＝＝3m＝CM，
∴tanC＝＝；
（3）在Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝，
过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，
∵∠DEB＝90°，
∴CH∥AG∥DE，
∴＝
同（1）的方法得，△ABG∽△BCH
∴＝＝＝，
设BG＝4m，CH＝3m，AG＝4n，BH＝3n，
∵AB＝AE，AG⊥BE，
∴EG＝BG＝4m，
∴GH＝BG+BH＝4m+3n，
∴＝，
∴n＝2m，
∴EH＝EG+GH＝4m+4m+3n＝8m+3n＝8m+6m＝14m，
在Rt△CEH中，tan∠BEC＝＝．
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