1.3解直角三角形章节 习题精选（含解析）

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1.3（1）解直角三角形
一．选择题（共10小题）
1．在△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝8，BC＝6，则sinA的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图，直线OA过点（2，1），直线OA与x轴的夹角为α，则tanα的值为（　　）
A．
B．
C．2
D．
3．在直角坐标平面内有一点P（2，3），OP与x轴正半轴的夹角α的正弦值为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠A＝，O是AC边上一点，以OA为半径的⊙O交AB于点D，若BD＝2，AD＝AC，则线段OB的长为（　　）
A．2
B．3
C．2
D．
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cosA＝，则BD的长度为（　　）
A．
B．
C．
D．4
6．某简易房的示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AC的长为（　　）
A．米
B．米
C．米
D．米
7．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则sin∠BAC的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为BC的中点，点E在AB上，AD，CE交于点F，AE＝EF＝4，FC＝9，则cos∠ACB的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
9．一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（　　）
A．（4+4sinθ）米2
B．米2
C．（4+）米2
D．（4+4tanθ）米2
10．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（　　）
A．asinx+bsinx
B．acosx+bcosx
C．asinx+bcosx
D．acosx+bsinx
二．填空题（共6小题）
11．如图，△ABC中，sinB＝，tanC＝，AC＝5，则BC＝　
　．
12．如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为　
　m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
13．某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长为　
　m．（结果保留根号）
14．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，sinA＝，AD＝6，BC＝CD，AB＝CD，那么BC＝　
　．
15．如图，在△ABC中，tan∠DFC＝2，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点F，若AC＝2，则线段EF的长为　
　．
16．自行车因其便捷环保深受人们喜爱，成为日常短途代步与健身运动首选．如图1是某品牌自行车的实物图，图2是它的简化示意图．经测量，车轮的直径为66cm，中轴轴心C到地面的距离CF为33cm，后轮中心A与中轴轴心C连线与车架中立管BC所成夹角∠ACB＝72°，后轮切地面l于点D．为了使得车座B到地面的距离BE为90cm，应当将车架中立管BC的长设置为　
　cm．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.1）
三．解答题（共8小题）
17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝4，AD＝12，sinB＝．
求：（1）线段CD的长；
（2）sin∠BAC的值．
18．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠C＝45°，CD＝，BD＝3．
（1）求sin∠CBD的值；
（2）若AB＝3，求AD的长．
19．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长．
请你运用所学的数学知识解决这个问题．
20．杭瑞高速阳新段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（A、C、D共线）处同时施工．测得∠CAB＝30°，AB＝4km，∠ABD＝105°，求AD的长．
21．如图，在
Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，tan∠B＝，且BC＝9
cm，求AC，AB及CD的长．
22．在一次数学活动课上，数学老师在同一平面内将一副直角三角板如图位置摆放，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．
23．在学习苏科版九下《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究．
（1）初步尝试：我们知道：tan60°＝　
　，tan30°＝　
　，发现结论：tanA　
　2tan∠A（填“＝”或“≠”）；
（2）实践探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan∠A的值；小明想构造包含∠A的直角三角形：延长CA至D，使得DA＝AB，连接BD，所以得到∠D＝∠A，即转化为求∠D的正切值．
请按小明的思路进行余下的求解：
（3）拓展延伸：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝．
①tan2A＝　
　；②求tan3A的值．
24．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，过点B作BE⊥CD，BE分别与CD、AC相交于点F、E，FB＝2CF．
（1）求sinA的值；
（2）如果CD＝5，求AE的值．
1.3（1）解直角三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝8，BC＝6，则sinA的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理求得AB的值，再根据正弦函数即可求得sinA的值．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∴sinA＝＝＝．
故选：A．
2．如图，直线OA过点（2，1），直线OA与x轴的夹角为α，则tanα的值为（　　）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】过点C（2，1），作CD⊥x轴于D，则OD＝2，CD＝1，由三角函数定义即可得出答案．
【解答】解：过点C（2，1）作CD⊥x轴于D，如图所示：
则OD＝2，CD＝1，
在Rt△OCD中，tanα＝＝．
故选：B．
3．在直角坐标平面内有一点P（2，3），OP与x轴正半轴的夹角α的正弦值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】作PE⊥x轴于E，则OE＝2，PE＝3，由勾股定理得OP＝，再由三角函数定义即可得出答案．
【解答】解：如图，作PE⊥x轴于E．
∵P（2，3），
∴OE＝2，PE＝3，
∴OP＝＝＝，
∴sinα＝＝＝，
故选：D．
4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠A＝，O是AC边上一点，以OA为半径的⊙O交AB于点D，若BD＝2，AD＝AC，则线段OB的长为（　　）
A．2
B．3
C．2
D．
【答案】B
【分析】作OE⊥AD，根据正弦的定义求出BC、AC，根据垂径定理求出AE，证明△AOE∽△ABC，根据相似三角形的性质求出AO，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：过点O作OE⊥AD于E，
设BC＝3x，
在Rt△ABC中，sin∠A＝，
∴AB＝5x，由勾股定理得，AC＝＝4x，
∴AD＝AC＝4x
∵AB＝AD+BD，
∴5x＝4x+2，解得，x＝2，
∴AC＝AD＝8，AB＝10，BC＝6，
∵OE⊥AD，
∴AE＝ED＝AD＝4，
∵OE⊥AD，∠C＝90°，
∴△AOE∽△ABC，∴＝，即＝，
解得，AO＝5，
∴OC＝AC﹣AO＝3，
由勾股定理得，OB＝＝3，故选：B．
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cosA＝，则BD的长度为（　　）
A．
B．
C．
D．4
【答案】C
【分析】在△ABC中，由三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由三角函数求得BD．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，cosA＝，
∴AB＝，
∴，
∵∠DBC＝∠A．
∴cos∠DBC＝cos∠A＝，
∴，
故选：C．
6．某简易房的示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AC的长为（　　）
A．米
B．米
C．米
D．米
【答案】D
【分析】如图，过点A作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AB即可．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H．
由题意AB＝AC，BC＝4+0.2+0.2＝4.4（m），
∵AH⊥BC，
∴BH＝CH＝2.2（m），
∴AC＝AB＝＝＝（m），
故选：D．
7．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则sin∠BAC的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】过B作BH⊥AC于H，根据三角形的面积公式得到BH，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：过B作BH⊥AC于H，
∵S△ABC＝BC?AD＝AC?BH，
∴BH＝＝，
∴sin∠BAC＝＝＝，
故选：B．
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为BC的中点，点E在AB上，AD，CE交于点F，AE＝EF＝4，FC＝9，则cos∠ACB的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】如图，延长AD到M，使得DM＝DF，连接BM．利用全等三角形的性质证明BM＝CF＝9，AB＝BM，利用勾股定理求出BC，AC即可解决问题．
【解答】解：如图，延长AD到M，使得DM＝DF，连接BM．
∵BD＝DC，∠BDM＝∠CDF，DM＝DF，
∴△BDM≌△CDF（SAS），
∴CF＝BM＝9，∠M＝∠CFD，
∵CE∥BM，∴∠AFE＝∠M，∵EA＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，∴∠BAM＝∠M，
∴AB＝BM＝9，∵AE＝4
∴BE＝5，
∵∠EBC＝90°，∴BC＝＝＝12，
∴AC＝＝＝15，
∴cos∠ACB＝＝＝，
故选：D．
9．一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（　　）
A．（4+4sinθ）米2
B．米2
C．（4+）米2
D．（4+4tanθ）米2
【答案】D
【分析】由三角函数表示出BC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．
【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝AC?tanθ＝4tanθ（米），
∴AC+BC＝4+4tanθ（米），
∴地毯的面积至少需要1×（4+4tanθ）＝4+4tanθ（米2）；
故选：D．
10．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（　　）
A．asinx+bsinx
B．acosx+bcosx
C．asinx+bcosx
D．acosx+bsinx
【答案】D
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A到OC的距离，本题得以解决．
【解答】解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，
∴∠EAB＝x，
∴∠FBA＝x，
∵AB＝a，AD＝b，
∴FO＝FB+BO＝a?cosx+b?sinx，
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．如图，△ABC中，sinB＝，tanC＝，AC＝5，则BC＝　10　．
【答案】10．
【分析】过A作AD垂直于BC，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出AD，CD的长，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出AB的长，再利用勾股定理求出BD，即可解决问题．
【解答】解：过A作AD⊥BC，
在Rt△ACD中，tanC＝，AC＝5，
∴AD＝3，CD＝4，
在Rt△ABD中，sinB＝，
∴AB＝＝＝3，
根据勾股定理得：BD＝＝＝6，
∴BC＝BD+CD＝10，
故答案为10．
12．如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为　7.5　m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
【答案】7.5．
【分析】作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，则DE＝BC＝5，DC＝BE＝1.5，
在Rt△ADE中，
∵tan∠ADE＝，
∴AE＝tan∠ADE?DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（米），
∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（米），
故答案为：7.5．
13．某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长为　（﹣1.6）　m．（结果保留根号）
【答案】见试题解答内容
【分析】如图，在Rt△DEA中，利用45°的余弦可计算出DA＝5m；在Rt△BCF中利用30度的余弦可计算出CB＝m，则BF＝BC＝m，然后利用AB+AE＝EF+BF计算AB的长．
【解答】解：如图，
在Rt△DEA中，∵cos∠EDA＝，
∴DA＝＝5（m）；在Rt△BCF中，∵cos∠BCF＝，
∴CB＝＝（m）∴BF＝BC＝（m），∵AB+AE＝EF+BF，
∴AB＝3.4+﹣5＝﹣1.6（m）．答：AB的长为（﹣1.6）m．
故答案为：（﹣1.6）．
14．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，sinA＝，AD＝6，BC＝CD，AB＝CD，那么BC＝　　．
【答案】．
【分析】作BE⊥AD于E，连接BD，设BC＝CD＝x，则AB＝x，由锐角三角函数定义求出BEx，由勾股定理得AE＝x，证出BD＝AB，由等腰三角形的性质得AE＝DE＝AD＝3，则x＝3，解得x＝即可．
【解答】解：作BE⊥AD于E，连接BD，如图所示：
设BC＝CD＝x，则AB＝x
∵sinA＝＝，
∴BE＝AB＝x
∴AE＝＝＝x，
∵BC＝CD，∠C＝90°∴BD＝BC＝x，
∴BD＝AB
∵BE⊥AD，
∴AE＝DE＝AD＝3，∴x＝3，解得：x＝，
即BC＝，故答案为：．
15．如图，在△ABC中，tan∠DFC＝2，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点F，若AC＝2，则线段EF的长为　1　．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据∠ACB＝45°，AD⊥BC，AC＝2，可求出AD＝DC＝2，再根据tan∠DFC＝2，可求出AF＝DF＝，利用勾股定理求FC，再根据对顶角的三角函数值相等，求出答案．
【解答】解：∵∠ACB＝45°，AD⊥BC，AC＝2，
∴AD＝CD＝×2＝2，
∵tan∠DFC＝2＝，∴DF＝AF＝AD＝，
∴FC＝＝5
∵CE⊥AB，∠DFC＝∠AFE，
∴cos∠DFC＝＝cos∠AFE＝，∴＝，∴EF＝1，
故答案为：1．
16．自行车因其便捷环保深受人们喜爱，成为日常短途代步与健身运动首选．如图1是某品牌自行车的实物图，图2是它的简化示意图．经测量，车轮的直径为66cm，中轴轴心C到地面的距离CF为33cm，后轮中心A与中轴轴心C连线与车架中立管BC所成夹角∠ACB＝72°，后轮切地面l于点D．为了使得车座B到地面的距离BE为90cm，应当将车架中立管BC的长设置为　60　cm．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.1）
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用已知得出HE的长，再利用锐角三角函数关系得出BC的长．
【解答】解：由题意可得：HE＝FC＝33cm，
故BH＝BE﹣HE＝90﹣33＝57（cm），则sin72°＝＝≈0.95，
解得：BC≈60（cm）．故答案为：60．
三．解答题（共8小题）
17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝4，AD＝12，sinB＝．
求：（1）线段CD的长；
（2）sin∠BAC的值．
【答案】（1）5；（2）．
【分析】（1）在Rt△ABD中，由AD＝12，sinB＝．可求出AB，再根据勾股定理求出BD，进而求出CD；
（2）作高，构造直角三角形，求出CE、AC即可，利用三角形的面积公式和勾股定理可求．
【解答】解：（1）∵AD是BC边上的高，
∴∠D＝90°，
在Rt△ABD中，∵sinB＝．
∴＝，又∵AD＝12，∴AB＝15，
∴BD＝＝9，又∵BC＝4，
∴CD＝BD﹣BC＝9﹣4＝5；答：线段CD的长为5；
（2）如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E，
∵S△ABC＝BC?AD＝AB?CE
∴×4×12＝×15×CE，
∴CE＝，
在Rt△AEC中，
∴sin∠BAC＝＝＝，
答：sin∠BAC的值为．
18．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠C＝45°，CD＝，BD＝3．
（1）求sin∠CBD的值；
（2）若AB＝3，求AD的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）过点D作DE⊥BC，构造Rt△CED和Rt△CED，利用锐角三角函数求出sin∠CBD的值；
（2）过点D作DF⊥AB，构造矩形BFDE，求出AF、DF的长，再利用勾股定理求出AD．
【解答】解：（1）如图，过点D作DE⊥BC于点E，
在Rt△CED中，∵，
∴CE＝DE＝1，
在Rt△BDE中，；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，
则∠BFD＝∠BED＝∠ABC＝90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴DE＝BF＝1，
∵BD＝3，
∴
∴AF＝AB﹣BF＝2，
∴
19．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长．
请你运用所学的数学知识解决这个问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正切的定义求出AC，根据正弦的定义求出CF，计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，
AC＝＝2，
则EF＝AC＝2，
∵∠E＝45°，
∴FC＝EF?sinE＝，
∴AF＝AC﹣FC＝2﹣．
20．杭瑞高速阳新段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（A、C、D共线）处同时施工．测得∠CAB＝30°，AB＝4km，∠ABD＝105°，求AD的长．
【答案】AD＝（2+2）km．
【分析】过点B作BE⊥AD于点E，在Rt△ABE中，通过解直角三角形可求出BE，AE的长及∠ABE的度数，结合∠ABD＝105°可求出∠DBE的度数，在Rt△BDE中，通过解直角三角形可求出DE的长，再结合AD＝AE+DE即可求出结论．
【解答】解：过点B作BE⊥AD于点E，如图所示.
在Rt△ABE中，AB＝4km，∠CAB＝30°，∠AEB＝90°，
∴BE＝AB＝2km，AE＝＝2km，∠ABE＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∴∠DBE＝∠ABD﹣∠ABE＝45°．
在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠DBE＝45°，
∴DE＝BE?tan∠DBE＝2km，
∴AD＝AE+DE＝（2+2）km．
21．如图，在
Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，tan∠B＝，且BC＝9
cm，求AC，AB及CD的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据∠B的正切求解可得AC，利用勾股定理列式计算即可得到AB，再利用△ABC的面积列方程求解即可得到CD．
【解答】解：∵tan∠B＝，
∴AC＝tanB?BC＝×9＝3cm，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB＝＝＝3cm；
∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝AB?CD＝BC?AC，
即×3?CD＝×9×3，
解得CD＝cm．
综上：AC＝3cm，AB＝3cm，CD＝cm．
22．在一次数学活动课上，数学老师在同一平面内将一副直角三角板如图位置摆放，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点B作BM⊥FD于点M，解直角三角形求出BC，在△BMC值解直角三角形求出CM，BM，推出BM＝DM，即可求出答案．
【解答】解：
过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝AC
tan60°＝10，
∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝30°．
∴BM＝BC?sin30°＝10×＝5，
CM＝BC?cos30°＝10×＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝5，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5．
23．在学习苏科版九下《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究．
（1）初步尝试：我们知道：tan60°＝　　，tan30°＝　　，发现结论：tanA　≠　2tan∠A（填“＝”或“≠”）；
（2）实践探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan∠A的值；小明想构造包含∠A的直角三角形：延长CA至D，使得DA＝AB，连接BD，所以得到∠D＝∠A，即转化为求∠D的正切值．
请按小明的思路进行余下的求解：
（3）拓展延伸：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝．
①tan2A＝　　；
②求tan3A的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值得结论；
（2）根据题意，利用勾股定理求AC，得结论．
（3）①作AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，则∠BEC＝2∠A，在Rt△EBC中，利用勾股定理求出EC，求tan∠BEC得结果；
②作BM交AC于点M，使∠MBE＝∠EBA，则∠BMC＝3∠A．利用角平分线的性质和勾股定理求出EM的长，求tan∠BMC得结果
【解答】解：（1）tan60°＝，tan30°＝，
发现结论：tanA≠2tan∠A，
故答案为：，，≠；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，
∴AB＝＝，
延长CA至D，使得DA＝AB，
∴AD＝AB＝，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠BAC＝2∠D，CD＝AD+AC＝2+，
∴tan∠A＝tan∠D＝＝﹣2；
（3）①作AB的垂直平分线交AC于E，连接BE．
则∠BEC＝2∠A，AE＝BE，∠A＝∠ABE
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝．
∴BC＝1，AB＝
设AE＝x，则EC＝3﹣x
在Rt△EBC中，x2＝（3﹣x）2+1，
解得x＝，即AE＝BE＝，EC＝
∴tan2A＝tan∠BEC＝＝．
故答案为：．
②如图，作BM交AC于点M，使∠MBE＝∠EBA，
则∠BMC＝∠A+∠MBA＝3∠A．
设EM＝y，则MC＝EC﹣EM＝﹣y
∵∠MBE＝∠EBA，
∴＝，即＝，
∴BM＝y
在Rt△MBC中，BM2＝CM2+BC2
即（y）2＝（﹣y）2+1，
整理，得117y2+120y﹣125＝0，
解得，y1＝，y2＝﹣（不合题意，舍去）
即EM＝，CM＝﹣＝．
∴tan3A＝tan∠BMC＝
＝＝．
24．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，过点B作BE⊥CD，BE分别与CD、AC相交于点F、E，FB＝2CF．
（1）求sinA的值；
（2）如果CD＝5，求AE的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据直角三角形的性质得到CD＝AD，得到∠A＝∠ACD，证明△EFC∽△CFB，根据相似三角形的性质、勾股定理计算即可；
（2）根据直角三角形的性质求出AB，根据正弦的定义求出BC，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，
∴CD＝AD，
∴∠A＝∠ACD，
∵∠ACB＝90°，BE⊥CD，
∴△EFC∽△CFB，
∴＝＝＝，
∴CF＝2EF，
由勾股定理得，CE＝＝EF，
∴sin∠ACD＝＝，
∴sinA＝；
（2）∵CD＝5，
∴AB＝10，
∵sinA＝，
∴BC＝2，
由勾股定理得，AC＝4，又EC＝BC＝，
∴AE＝3．
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