1.2锐角三角函数的计算 习题精选（含解析）

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1.2
锐角三角函数的计算
1.利用计算器求锐角三角函数值2.已知三角函数值求锐角的度数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题）
1．某款国产手机上有科学计算器，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间（　　）
A．2～3
B．3～4
C．4～5
D．5～6
2．若∠A是锐角，且sinA＝，则（　　）
A．0°＜∠A＜30°
B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60°
D．60°＜∠A＜90°
3．如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m高的天桥两端分别修建了50m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanB＝，则锐角A满足（　　）
A．0°＜A＜30°
B．30°＜A＜45°
C．45°＜A＜60°
D．60°＜A＜90°
5．如图，矩形ABCD中，若AD＝1，AB＝，则该矩形的两条对角线所成的锐角是（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
6．如图是一张简易活动餐桌，现测得OA＝OB＝40cm，OC＝OD＝60cm，现要求桌面离地面的高度为50cm，那么两条桌腿的张角∠COD的大小应为（　　）
A．150°
B．135°
C．120°
D．100°
7．如图，AC是电杆AB的一根拉线，现测得BC＝6米，∠ABC＝90°，∠ACB＝52°，则拉线AC的长为（　　）米．
A．
B．
C．
D．6?cos52°
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝6，D是边AC上一点，若tan∠DBA＝，则AD的长为（　　）
A．
B．2
C．
D．3
9．如图，学校大门出口处有一自动感应栏杆，点A是栏杆转动的支点，当车辆经过时，栏杆AE会自动升起，某天早上，栏杆发生故障，在某个位置突然卡住，这时测得栏杆升起的角度∠BAE＝127°，已知AB⊥BC，支架AB高1.2米，大门BC打开的宽度为2米，以下哪辆车可以通过？（　　）
（栏杆宽度，汽车反光镜忽略不计）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．车辆尺寸：长×宽×高）
A．宝马Z4（4200mm×1800mm×1360mm）
B．奇瑞QQ（4000mm×1600mm×1520mm）
C．大众朗逸（4600mm×1700mm×1400mm）
D．奥迪A4（4700mm×1800mm×1400mm）
10．如图，A（0，8），B（0，2），点E为x轴正半轴上一动点，设tan∠AEB＝m，则m的取值范围是（　　）
A．0＜m≤
B．0＜m≤
C．＜m＜
D．0＜m≤
二．填空题（共6小题）
11．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．
A．如图，在△ABC中，∠C＝90°．若BD∥AE，∠DBC＝20°，则∠CAE的度数是　
　；
B．用科学计算器计算：sin58°≈　
　（精确到0.01）．
12．已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：（精确到秒）
（1）sinA＝0.6374，则∠A＝　
　，tanB＝0.0438，则∠B＝　
　；
（2）cosA＝0.6241，则∠A═　
　，cosB＝0.1742，则∠B═　
　；
（3）tanA＝4.8425，则∠A＝　
　，tanB＝0.8234，则∠B＝　
　．
13．如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为　
　m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
14．如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是　
　米（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．
15．如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，一辆小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？　
　；（填“是”或“否”）请简述你的理由　
　．
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
16．有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为　
　cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）
三．解答题（共8小题）
17．人字折叠梯完全打开后如图1所示，B，C是折叠梯的两个着地点，D是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图，AB＝AC，BD＝140cm，∠BAC＝40°，求点D离地面的高度DE．（结果精确到0.1cm；参考数据sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94）
18．如图，半径为4的⊙O内一点A，OA＝．点P在⊙B上，当∠OPA最大时，求PA的长．
19．图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
20．图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆AB长92cm，车杆与脚踏板所成的角∠ABC＝70°，前后轮子的半径均为6cm，求把手A离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）．
21．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2．使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO′后，电脑转到AO′B′位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA＝OB＝24cm，O′C⊥OA于点C，O′C＝12cm．
（1）求∠CAO′的度数．
（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？
（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O′B与O′A的夹角仍保持120°，则显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？
22．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．若AB＝12，CD＝6，tanA＝，求sinB+cosB的值．
23．小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，
sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（Ⅰ）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
24．如图1，一扇门ABCD，宽度AB＝1m，A到墙角E的距离AE＝0.5m，设E，A，B在一条直线上，门打开后被与门所在墙面垂直的墙阻挡（EA⊥EB′），边BC靠在墙B'C'的位置．
（1）求∠BAB'的度数；
（2）打开门后，门角上的点B在地面扫过的痕迹为弧BB'，设弧BB'与两墙角线围成区域（如图2）的面积为S（m2），求S的值（π≈3.14，≈1.73，精确到0.1）．
1.2
锐角三角函数的计算
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．某款国产手机上有科学计算器，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间（　　）
A．2～3
B．3～4
C．4～5
D．5～6
【分析】用计算器计算得3.464101615……得出答案．
【解答】解：使用计算器计算得，
4sin60°≈3.464101615，
故选：B．
2．若∠A是锐角，且sinA＝，则（　　）
A．0°＜∠A＜30°
B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60°
D．60°＜∠A＜90°
【分析】正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），据此可得结论．
【解答】解：∵∠A是锐角，且sinA＝＜＝sin30°，
∴0°＜∠A＜30°，
故选：A．
3．如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m高的天桥两端分别修建了50m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】先利用正弦的定义得到sinA＝0.2，然后利用计算器求锐角∠A．
【解答】解：sinA＝＝0.2，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，
按键顺序为
故选：B．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanB＝，则锐角A满足（　　）
A．0°＜A＜30°
B．30°＜A＜45°
C．45°＜A＜60°
D．60°＜A＜90°
【分析】直接利用特殊角的三角函数值结合tanB＝的值得出∠B的取值范围，进而得出∠A的取值范围．
【解答】解：∵tan30°＝≈0.58，
tan45°＝1，
tanB＝，
∴30°＜B＜45°，
∴45°＜A＜60°．
故选：C．
5．如图，矩形ABCD中，若AD＝1，AB＝，则该矩形的两条对角线所成的锐角是（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
【分析】矩形ABCD中，若AD＝1，AB＝，可求出对角线BD的长度，根据三边关系，确定角的度数．
【解答】解：∵DB2＝AD2+AB2，AD＝1，AB＝，
∴DB＝2．
因为矩形的对角线相等且互相平分，
所以围成的三角形三边相等，是等边三角形，两条对角线所成的锐角是60°．
故选：C．
6．如图是一张简易活动餐桌，现测得OA＝OB＝40cm，OC＝OD＝60cm，现要求桌面离地面的高度为50cm，那么两条桌腿的张角∠COD的大小应为（　　）
A．150°
B．135°
C．120°
D．100°
【分析】过O点作AB、CD的垂线EF，交AB与E，交CD与F，因为OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD，所以可假设∠AOE＝∠BOE＝∠COF＝∠DOF＝α，在△AOE中，cosα＝，∴OE＝40cosα，同理OF＝60cosα，根据EF＝OE+OF＝100cosα＝50即可求出∠COD的大小．
【解答】解：如图，过O点作AB、CD的垂线EF，交AB于E，交CD于F．
因为OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD，
所以可设∠AOE＝∠BOE＝∠COF＝∠DOF＝α．
在△AOE中cosα＝，
∴OE＝40cosα，
同理OF＝60cosα，
∴EF＝OE+OF＝100cosα＝50，
∴cosα＝，
∴∠AOE＝60°，∠COD＝120°．
故选：C．
7．如图，AC是电杆AB的一根拉线，现测得BC＝6米，∠ABC＝90°，∠ACB＝52°，则拉线AC的长为（　　）米．
A．
B．
C．
D．6?cos52°
【分析】根据cos∠ACB＝，得出AC＝，再把BC＝6，∠ACB＝52°代入即可．
【解答】解：∵cos∠ACB＝，∴AC＝，∵BC＝6米，∠ACB＝52°
∴AC＝米；
故选：C．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝6，D是边AC上一点，若tan∠DBA＝，则AD的长为（　　）
A．
B．2
C．
D．3
【分析】首先根据题意画出图形，再作DE⊥AB于E，将AD构造为直角三角形的斜边，然后根据等腰直角三角形中斜边为直角边的求解．
【解答】解：如图，作DE⊥AB于E．
∵tan∠DBA＝＝，
∴BE＝5DE．
∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠A＝45°，
∴AE＝DE．∴BE＝5AE，
又∵AC＝6，∴AB＝6，
∴AE+BE＝AE+5AE＝6，∴AE＝，
∴在等腰直角△ADE中，由勾股定理，得AD＝AE＝2．
故选：B．
9．如图，学校大门出口处有一自动感应栏杆，点A是栏杆转动的支点，当车辆经过时，栏杆AE会自动升起，某天早上，栏杆发生故障，在某个位置突然卡住，这时测得栏杆升起的角度∠BAE＝127°，已知AB⊥BC，支架AB高1.2米，大门BC打开的宽度为2米，以下哪辆车可以通过？（　　）
（栏杆宽度，汽车反光镜忽略不计）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．车辆尺寸：长×宽×高）
A．宝马Z4（4200mm×1800mm×1360mm）
B．奇瑞QQ（4000mm×1600mm×1520mm）
C．大众朗逸（4600mm×1700mm×1400mm）
D．奥迪A4（4700mm×1800mm×1400mm）
【分析】根据由题意只要车辆靠左行驶，车的最大高度小于AE抬起的高度NQ，即可通过，进而分别计算判断得出即可．
【解答】解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点N作NQ⊥BC于Q，交AG于点R，
则∠BAG＝90°，
∵∠BAE＝127°，∠BAG＝90°，
∴∠EAG＝∠EAB﹣∠BAG＝37°．
在△NAR中，∠ARN＝90°，∠EAG＝37°，
当车宽为1.8m，则GR＝1.8m，故AR＝2﹣1.8＝0.2（m），
∴NR＝ARtan37°＝0.2×0.75＝0.15（m），
∴NQ＝1.2+0.15＝1.35＜1.36，
∴宝马Z4（4200mm×1800mm×1360mm）无法通过，
∴奥迪A4（4700mm×1800mm×1400mm）无法通过，
故此选项A，D不合题意；
当车宽为1.6m，则GR＝1.6m，故AR＝2﹣1.6＝0.4（m），
∴NR＝ARtan37°＝0.4×0.75＝0.3（m），
∴NQ＝1.2+0.3＝1.5＜1.52，
∴奇瑞QQ（4000mm×1600mm×1520mm）无法通过，故此选项不合题意；
当车宽为1.7m，则GR＝1.7m，故AR＝2﹣1.7＝0.3（m），
∴NR＝ARtan37°＝0.3×0.75＝0.225（m），
∴NQ＝1.2+0.225＝1.425＞1.4，
∴大众朗逸（4600mm×1700mm×1400mm）可以通过，故此选项符合题意；
故选：C．
10．如图，A（0，8），B（0，2），点E为x轴正半轴上一动点，设tan∠AEB＝m，则m的取值范围是（　　）
A．0＜m≤
B．0＜m≤
C．＜m＜
D．0＜m≤
【分析】点E为x轴正半轴上一动点，设tan∠AEB＝m，则m＞0，再求出m的最大值即可．过A、B、E三点的圆O′与x轴相切时，∠AEB最大，m的值最大．作O′D⊥AB于D，由垂径定理得出AD＝DB＝AB＝3，OD＝OA﹣AD＝5，那么⊙O′的半径为5．在直角△O′AD中，由勾股定理得出O′D＝＝4，则AE＝＝＝4，再作BC⊥AE于C．由S△AOE＝OA?OE＝S△BOE+S△ABE，求出BC＝，CE＝＝，那么m的最大值为＝＝．
【解答】解：如图，过A、B、E三点的圆O′与x轴相切时，∠AEB最大．
作O′D⊥AB于D，则AD＝DB＝AB＝3，
∵OA＝8，
∴OD＝OA﹣AD＝5，
∴O′E＝O′A＝OD＝5，即⊙O′的半径为5．
在直角△O′AD中，由勾股定理得O′D＝＝4，
∴OE＝O′D＝4，
∴AE＝＝＝4，
作BC⊥AE于C．
∵S△AOE＝OA?OE＝S△BOE+S△ABE，
∴×8×4＝×2×4+×4×BC，
∴BC＝，∵BE2＝OB2+OE2＝22+42＝20，
∴CE＝＝，∴m的最大值为＝＝，又∵m＞0，∴0＜m≤．
故选：A．
二．填空题（共6小题）
11．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．
A．如图，在△ABC中，∠C＝90°．若BD∥AE，∠DBC＝20°，则∠CAE的度数是　70°　；
B．用科学计算器计算：sin58°≈　3.70　（精确到0.01）．
【分析】（1）过点C作CF∥BD，由平行线的性质可得CF∥AE，然后由两直线平行内错角相等，可得∠DBC+∠CAE＝∠C，即可计算∠CAE的度数；
（2）正确使用计算器计算即可．
【解答】解：（1）过点C作CF∥BD，如图所示：
∵BD∥AE，CF∥BD，
∴AE∥CF，
∴∠DBC＝∠BCF，∠EAC＝∠ACF，
∴∠DBC+∠EAC＝∠BCF+∠ACF＝∠C＝90°，
∵∠DBC＝20°，
∴∠EAC＝∠CAE＝∠C﹣∠DBC＝90°﹣20°＝70°．
故答案为：70°；
（2）sin58°≈4.3589×0.8480≈3.70．
故答案为：3.70．
12．已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：（精确到秒）
（1）sinA＝0.6374，则∠A＝　39°35′24″　，tanB＝0.0438，则∠B＝　2°30′36″　；
（2）cosA＝0.6241，则∠A═　51°22′48″　，cosB＝0.1742，则∠B═　79°57′36″　；
（3）tanA＝4.8425，则∠A＝　78°21′0″　，tanB＝0.8234，则∠B＝　39°27′36″　．
【分析】（1）根据计算器的使用：shift→sin→函数值→＝，可得答案；
（2）根据计算器的使用：shift→cos→函数值→＝，可得答案；
（3）根据计算器的使用：shift→tan→函数值→＝，可得答案．
【解答】解：（1）sinA＝0.6374，则∠A＝39°35′24″；sinB＝0.0438，则∠B＝2°30′36″；
（2）cosA＝0.6241，则∠A＝51°22′48″；cosB＝0.1742，则∠B＝79°57′36″；
（3）tanA＝4.8525，则∠A＝78°21′0″；tanB＝0.8234，则∠B＝39°27′36″；
故答案为：39°35′24″；2°30′36″；51°22′48″；79°57′36″；78°21′0″；39°27′36″．
13．如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为　9.5　m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
【分析】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：过D作DE⊥AB，
∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，
∴∠ADE＝53°，
∵BC＝DE＝6m，
∴AE＝DE?tan53°≈6×1.33≈7.98m，
∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝7.98+1.5＝9.48m≈9.5m，
故答案为：9.5
14．如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是　1.5　米（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．
【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：∵sinα＝，
∴AD＝AC?sinα≈2×0.77＝1.5，
故答案为：1.5
15．如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，一辆小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？　否　；（填“是”或“否”）请简述你的理由　点A到OB的距离小于OB与墙MN之间距离　．
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
【分析】过点A作AC⊥OB，垂足为点C，解三角形求出AC的长度，进而作出比较即可．
【解答】解：过点A作AC⊥OB，垂足为点C，
在Rt△ACO中，
∵∠AOC＝40°，AO＝1.2米，
∴AC＝sin∠AOC?AO≈0.64×1.2＝0.768，
∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，
∴车门不会碰到墙（点A到OB的距离小于OB与墙MN之间的距离），
故答案为：否，点A到OB的距离小于OB与墙MN之间的距离；
16．有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为　120　cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）
【分析】过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，利用等腰三角形的三线合一得到OE为角平分线，进而求出同位角的度数，在直角三角形AFB中，利用锐角三角函数定义求出h即可．
【解答】解：过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，
∵BO＝DO，
∴OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠BOD＝×74°＝37°，
∴∠FAB＝∠BOE＝37°，
在Rt△ABF中，AB＝85+65＝150cm，
∴h＝AF＝AB?cos∠FAB＝150×0.8＝120cm，
故答案为：120
三．解答题（共8小题）
17．人字折叠梯完全打开后如图1所示，B，C是折叠梯的两个着地点，D是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图，AB＝AC，BD＝140cm，∠BAC＝40°，求点D离地面的高度DE．（结果精确到0.1cm；参考数据sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94）
【分析】过点A作AF⊥BC于点F，根据等腰三角形的三线合一性质得∠BAF的度数，进而得∠BDE的度数，再解直角三角形得结果．
【解答】解：过点A作AF⊥BC于点F，则AF∥DE，
∴∠BDE＝∠BAF，
∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠BDE＝∠BAF＝20°，
∴DE＝BD?cos20°≈140×0.94＝131.6（cm）．
答：点D离地面的高度DE约为131.6cm．
18．如图，半径为4的⊙O内一点A，OA＝．点P在⊙B上，当∠OPA最大时，求PA的长．
【分析】当PA⊥OA时，PA取最小值，∠OPA取得最大值，然后在直角三角形OPA中利用勾股定理求PA的值即可．
【解答】解：如图，作OE⊥PA于E，
∵sin∠OPA＝，
∴OE的值取最大值时，sin∠OPA的值最大，此时∠OPA的值最大，
∵OE≤OA，
∴当OE与OA重合时，即PA⊥OA时，∠OPA的值最大．
如图，
∵在直角△OPA中，OA＝2，OP＝4，
∴PA＝＝2．
19．图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
【分析】作CE⊥BD于E，AF⊥CE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，则EF＝AH＝3.4m，∠HAF＝90°，再计算出∠CAF＝28°，则在Rt△ACF中利用正弦可计算出CF，然后计算CF+EF即可．
【解答】解：作CE⊥BD于E，AF⊥CE于F，如图2，
易得四边形AHEF为矩形，
∴EF＝AH＝3.4m，∠HAF＝90°，
∴∠CAF＝∠CAH﹣∠HAF＝118°﹣90°＝28°，
在Rt△ACF中，∵sin∠CAF＝，
∴CF＝9sin28°＝9×0.47＝4.23，
∴CE＝CF+EF＝4.23+3.4≈7.6（m），
答：操作平台C离地面的高度为7.6m．
20．图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆AB长92cm，车杆与脚踏板所成的角∠ABC＝70°，前后轮子的半径均为6cm，求把手A离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）．
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，延长AD交地面于点E，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，延长AD交地面于点E，
∵sin∠ABD＝，
∴AD≈92×0.94＝86.48，
∵DE＝6，
∴AE＝AD+DE＝92.5，
∴把手A离地面的高度为92.5cm．
21．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2．使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO′后，电脑转到AO′B′位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA＝OB＝24cm，O′C⊥OA于点C，O′C＝12cm．
（1）求∠CAO′的度数．
（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？
（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O′B与O′A的夹角仍保持120°，则显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？
【分析】（1）通过解直角三角形即可得到结果；
（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD＝OB?sin∠BOD＝24×＝12，由C、O′、B′三点共线可得结果；
（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′＝∠FO′A＝30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．
【解答】解：（1）∵O′C⊥OA于C，OA＝OB＝24cm，
∴sin∠CAO′＝，
∴∠CAO′＝30°；
（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D
∵sin∠BOD＝，
∴BD＝OB?sin∠BOD，
∵∠AOB＝120°，
∴∠BOD＝60°，
∴BD＝OB?sin∠BOD＝24×＝12，
∵O′C⊥OA，∠CAO′＝30°，
∴∠AO′C＝60°，
∵∠AO′B′＝120°，
∴∠AO′B′+∠AO′C＝180°，
∴O′B′+O′C﹣BD＝24+12﹣12＝36﹣12，
∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12）cm；
（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，
理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，
∴∠EO′F＝120°，
∴∠FO′A＝∠CAO′＝30°，
∵∠AO′B′＝120°，
∴∠EO′B′＝∠FO′A＝30°，
∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．
22．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．若AB＝12，CD＝6，tanA＝，求sinB+cosB的值．
【分析】先在Rt△ACD中，由正切函数的定义得tanA＝＝，求出AD＝4，则BD＝AB﹣AD＝8，再解Rt△BCD，由勾股定理得BC＝＝10，sinB＝＝，cosB＝＝，由此求出sinB+cosB＝．
【解答】解：在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，
∴tanA＝＝＝，
∴AD＝4，
∴BD＝AB﹣AD＝12﹣4＝8．
在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，BD＝8，CD＝6，
∴BC＝＝10，∴sinB＝＝，cosB＝＝，
∴sinB+cosB＝+＝．故答案为：
23．小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，
sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（Ⅰ）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
【分析】（1）将α＝30°代入，根据三角函数值计算可得；
（2）设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．
【解答】解：（1）当α＝30°时，
sin2α+sin2（90°﹣α）
＝sin230°+sin260°＝（）2+（）2＝+＝1；
（2）小明的猜想成立，证明如下：
如图，在△ABC中，∠C＝90°，
设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）
＝（）2+（）2＝＝
＝1．
24．如图1，一扇门ABCD，宽度AB＝1m，A到墙角E的距离AE＝0.5m，设E，A，B在一条直线上，门打开后被与门所在墙面垂直的墙阻挡（EA⊥EB′），边BC靠在墙B'C'的位置．
（1）求∠BAB'的度数；
（2）打开门后，门角上的点B在地面扫过的痕迹为弧BB'，设弧BB'与两墙角线围成区域（如图2）的面积为S（m2），求S的值（π≈3.14，≈1.73，精确到0.1）．
【分析】（1）在Rt△EAB′，求出∠EAB′即可；
（2）根据S＝S△EAB′+S扇形ABB′计算即可；
【解答】解：（1）∵EA⊥EB′，
∴∠AEB′＝90°，
∵AB＝AB′＝1m，AE＝0.5m，
∴BE′＝＝0.5m，
∵cos∠EAB′＝＝，
∴∠EAB′＝60°，
∴∠BAB′＝120°．
（2）S＝S△EAB′+S扇形ABB′
＝××+
＝+
≈1.3m2．
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