1.3用三角函数解决坡比问题 习题精选（含解析）
文档属性
| 名称 | 1.3用三角函数解决坡比问题 习题精选（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-03 09:07:28 | ||
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文档简介
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1.3（2）用三角函数解决坡比问题
一．选择题（共10小题）
1．如图，某河堤迎水坡AB的坡比i＝tan∠CAB＝1：，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是（ ）
A．5 m B．10m C．5m D．8 m
2．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝3m，则AB的长度为（ ）
A．6m B．3m C．9m D．6m
3．某屋顶示意图如图所示，现要在屋顶上开一个天窗，天窗AB在水平位置，屋顶坡面长度PQ＝QD＝4.8米，则屋顶水平跨度PD的长为（ ）米
A．cosα B．cosα C．sinα D．sinα
4．如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（ ）
A．300sinα米 B．300cosα米 C．300tanα米 D．米
5．某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（ ）
A．3.5sin29°米 B．3.5cos29°米 C．3.5tan29°米 D．米
6．如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE＝0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB＝3m，则石坝的坡度为（ ）
A． B．3 C． D．4
7．如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（ ）
A．29.1米 B．31.9米 C．45.9米 D．95.9米
8．钓鱼是一项特别锻炼心性的运动，如图，小南在江边垂钓，河堤AB的坡度为1：2.4，AB长为3.9米，钓竿AC与水平线的夹角是60°，其长为4.5米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角也是60°，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（ ）米．（参考数据：≈1.732）
A．1.732 B．1.754 C．1.766 D．1.823
9．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角∠CAB＝45°，在距A点10米处有一建筑物HQ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下HD长的人行道，问人行道HD的长度是（ ）米．（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
A．2.7 B．3.4 C．2.5 D．3.1
10．如图，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC＝2.8m，PD＝2m，CF＝1m，∠DPE＝15°．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，在上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°，若要遮阳效果最佳AP的长约为（ ）
（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64）
A．1.2m B．1.3m C．1.5m D．2.0m
二．填空题（共8小题）
11．如图，某河堤迎水坡AB的坡比i＝1：，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是 m．
12．如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角α＝20°，两树间的坡面距离AB＝5m，则这两棵树的水平距离约为 m（结果精确到0.1m，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）．
13．如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为 米（结果保留根号）．
14．一辆汽车沿倾斜角30°的斜坡前进100米，则它上升的高度是 米．
15．某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为45°的传送带AB，调整为坡度i＝1：的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是4米．那么新传送带AC的长是 米．
16．如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度BC为2米，斜坡AB的坡度，现把图中的货物沿斜坡继续往前平移，当货物顶点D与C重合时，恰好可把货物放平装进货厢，则BD＝ ．
17．某居民楼紧挨一座山坡AB，经过地质人员勘测，当坡度不超过45°时，可以确保山体不滑坡，如图所示，已知AE∥BD，斜坡AB的坡角∠ABD＝60°，为防止滑坡，现对山坡进行改造，改造后，斜坡BC与地面BD成45°角，AC＝10米．则斜坡BC＝ 米．
18．如图，是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝88cm，宽AB＝51cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距GC＝15cm（点D，C，G，K在同一直线上）．小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退 cm．（sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，≈1.41，结果精确到个位）
三．解答题（共6小题）
19．2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程﹣﹣邵阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设，施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示，AB，BC表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1分别为62m，200m，550m．若管道AB与水平线AA2的夹角为30°，管道BC与水平线BB2夹角为45°，求管道AB和BC的总长度（结果保留根号）．
20．沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形ABCD，高DH＝12米，斜坡CD的坡度i＝1：1．此处大堤的正上方有高压电线穿过，PD表示高压线上的点与堤面AD的最近距离（P、D、H在同一直线上），在点C处测得∠DCP＝26°．
（1）求斜坡CD的坡角α；（2）电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？（参考数据：sin26°≈0.44，tan26°≈0.49，sin71°≈0.95，tan71°≈2.90）
21．汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i＝1：1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i＝1：，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）
22．如图，某教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶部A在地面上的影子F与墙角C的距离为18m（B、F、C在同一直线上）．求教学楼AB的高；（结果保留整数）（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
23．如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端C在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转37°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测量出∠ODB为28°，点D到点O的距离为30cm．
（1）求B点到OP的距离；
（2）求滑动支架的长．（结果精确到0.1）
（数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，sin 53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33）
24．日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．
如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i＝1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．
（1）求山坡EF的水平宽度FH；（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
1.3（2）用三角函数解决坡比问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，某河堤迎水坡AB的坡比i＝tan∠CAB＝1：，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是（ ）
A．5 m B．10m C．5m D．8 m
【答案】B
【分析】先根据tan∠CAB＝1：得出∠BAC＝30°，结合BC＝5m可得AB＝2BC＝10m．
【解答】解：∵tan∠CAB＝＝＝，
∴在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
又∵BC＝5m，
∴AB＝2BC＝10m，
故选：B．
2．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝3m，则AB的长度为（ ）
A．6m B．3m C．9m D．6m
【答案】A
【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．
【解答】解：∵迎水坡AB的坡比为1：，
∴＝，即＝，
解得，AC＝3，
由勾股定理得，AB＝＝6（m），
故选：A．
3．某屋顶示意图如图所示，现要在屋顶上开一个天窗，天窗AB在水平位置，屋顶坡面长度PQ＝QD＝4.8米，则屋顶水平跨度PD的长为（ ）米
A．cosα B．cosα C．sinα D．sinα
【答案】B
【分析】直接利用等腰三角形的性质得出PO＝OD，再利用锐角三角函数关系得出PO的长求出答案．
【解答】解：由题意可得：AB∥PD，
则∠ABC＝∠QPD＝α，
可得QO⊥PD，
则PO＝DO，
cosα＝＝，
故PO＝cosα，
则PD＝2PO＝cosα．
故选：B．
4．如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（ ）
A．300sinα米 B．300cosα米 C．300tanα米 D．米
【答案】A
【分析】利用锐角三角函数关系即可求出小刚上升了的高度．
【解答】解：在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，AB＝300米，
BO＝AB?sinα＝300sinα米．
故选：A．
5．某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（ ）
A．3.5sin29°米 B．3.5cos29°米
C．3.5tan29°米 D．米
【答案】A
【分析】由sin∠ACB＝得AB＝BCsin∠ACB＝3.5sin29°．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵sin∠ACB＝，
∴AB＝BCsin∠ACB＝3.5sin29°，
故选：A．
6．如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE＝0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB＝3m，则石坝的坡度为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】先过C作CF⊥AB于F，根据DE∥CF，可得＝，进而得出CF＝3，根据勾股定理可得AF的长，根据CF和BF的长可得石坝的坡度．
【解答】解：如图，过C作CF⊥AB于F，则DE∥CF，
∴＝，即＝，
解得CF＝3，
∴Rt△ACF中，AF＝＝4，
又∵AB＝3，
∴BF＝4﹣3＝1，
∴石坝的坡度为＝＝3，
故选：B．
7．如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（ ）
A．29.1米 B．31.9米 C．45.9米 D．95.9米
【答案】A
【分析】根据坡度，勾股定理，可得DE的长，再根据平行线的性质，可得∠1，根据同角三角函数关系，可得∠1的坡度，根据坡度，可得DF的长，根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：作DE⊥AB于E点，作AF⊥DE于F点，如图，
设DE＝xm，CE＝2.4xm，由勾股定理，得
x2+（2.4x）2＝1952，
解得x≈75m，
DE＝75m，CE＝2.4x＝180m，
（方法二：由i＝1：2.4＝5：12，设DE＝5xm，CE＝12xm，
由勾股定理，得CD＝13x，
∴13x＝195，
∴x＝15，∴DE＝75m，CE＝180m）
EB＝BC﹣CE＝306﹣180＝126m．
∵AF∥DG，
∴∠1＝∠ADG＝20°，
tan∠1＝tan∠ADG＝＝0.364．
AF＝EB＝126m，
tan∠1＝＝0.364，
DF＝0.364AF＝0.364×126＝45.9，
AB＝FE＝DE﹣DF＝75﹣45.9≈29.1m，
故选：A．
8．钓鱼是一项特别锻炼心性的运动，如图，小南在江边垂钓，河堤AB的坡度为1：2.4，AB长为3.9米，钓竿AC与水平线的夹角是60°，其长为4.5米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角也是60°，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（ ）米．（参考数据：≈1.732）
A．1.732 B．1.754 C．1.766 D．1.823
【答案】C
【分析】延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥BE于点F，利用正切的概念求出AE、EF、BF，判断△CDE为等边三角形，求出DE，计算即可．
【解答】解：如图，延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥BE于点F，
则∠CED＝60°，
∵AB的坡比为1：2.4，
∴＝＝，则设AF＝5x，BF＝12x，
∵AB＝3.9米，
∴在直角△ABF中，由勾股定理知，3.92＝25x2+144x2．
解得x＝．
∴AF＝5x＝，BF＝12x＝
∴EF＝＝＝，AE＝＝＝
∵∠C＝∠CED＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∵AC＝4.5米，
∴DE＝CE＝AC+AE＝4.5+（米），
则BD＝DE﹣EF﹣BF＝4.5+﹣﹣≈1.766（米），
答：浮漂D与河堤下端B之间的距离为1.766米．
故选：C．
9．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角∠CAB＝45°，在距A点10米处有一建筑物HQ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下HD长的人行道，问人行道HD的长度是（ ）米．（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
A．2.7 B．3.4 C．2.5 D．3.1
【答案】A
【分析】根据题意可得AB＝CB＝10，AH＝10，设DH＝x米，则AD＝AH﹣DH＝（10﹣x）米，BD＝AD+AB＝（20﹣x）米，再根据特殊角的三角函数列式即可计算人行道HD的长．
【解答】解：根据题意可知：
∠CBA＝90°，∠CAB＝45°，
∴∠ACB＝45°，
∴AB＝CB＝10，AH＝10，
设DH＝x米，则AD＝AH﹣DH＝（10﹣x）米，
∴BD＝AD+AB＝（20﹣x）米，在Rt△DCB中，∠CDB＝30°，
∴tan30°＝ 即＝，解得x≈2.7．
所以人行道HD的长度是2.7米．
故选：A．
10．如图，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC＝2.8m，PD＝2m，CF＝1m，∠DPE＝15°．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，在上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°，若要遮阳效果最佳AP的长约为（ ）
（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64）
A．1.2m B．1.3m C．1.5m D．2.0m
【答案】C
【分析】过点F作FG⊥AC于点G，根据题意可得，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，即∠BEP＝90°，再根据四边形内角和定理可得∠CPF的度数，再根据锐角三角函数即可求出CP的长，进而可得遮阳效果最佳时AP的长．
【解答】解：如图，过点F作FG⊥AC于点G，
根据题意可知：
当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，
∴∠BEP＝90°，
∵∠A＝90°，∠B＝65°，
∴∠EPA＝360°﹣90°﹣90°﹣65°＝115°，
∵∠DPE＝15°，
∴∠APD＝130°，∴∠CPF＝50°，
∵F为PD的中点，∴DF＝PF＝PD＝1，∴CF＝PF＝1，∴CP＝2PG＝2×PF?cos50°≈2×1×0.64≈1.28，
∴AP＝AC﹣PC＝2.8﹣1.28≈1.5（m）．
所以要遮阳效果最佳AP的长约为1.5米．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
11．如图，某河堤迎水坡AB的坡比i＝1：，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是 10 m．
【答案】10．
【分析】先根据坡比i＝tan∠CAB＝1：得出∠BAC＝30°，再由直角三角形的性质可得AB＝2BC＝10m即可．
【解答】解：∵坡比i＝tan∠CAB＝＝＝，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵BC＝5m，
∴AB＝2BC＝10m，
故答案为：10．
12．如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角α＝20°，两树间的坡面距离AB＝5m，则这两棵树的水平距离约为 4.7 m（结果精确到0.1m，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）．
【答案】4.7．
【分析】根据余弦的定义求出AH，得到答案．
【解答】解：过点A作水平面的平行线AH，作BH⊥AH于H，
由题意得，∠BAH＝α＝20°，
在Rt△BAH中，cos∠BAH＝，
∴AH＝AB?cos∠BAH≈5×0.940≈4.7（m），
故答案为：4.7．
13．如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为 6 米（结果保留根号）．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．首先证明DE＝CF，解直角三角形求出CF，再根据直角三角形30度角的性质即可解决问题．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．
∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB，
∴DE＝CF，
在Rt△CFB中，CF＝BC?sin45°＝3（米），
∴DE＝CF＝3（米），
在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，∠AED＝90°，
∴AD＝2DE＝6（米），
故答案为：6．
14．一辆汽车沿倾斜角30°的斜坡前进100米，则它上升的高度是 50 米．
【答案】50．
【分析】由含30°角的直角三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：如图所示：
由题意得：∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝100，
∴BC＝AB＝50（米）．
故答案为：50．
15．某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为45°的传送带AB，调整为坡度i＝1：的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是4米．那么新传送带AC的长是 8 米．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意首先得出AD，BD的长，再利用坡角的定义得出DC的长，再结合勾股定理得出答案．
【解答】解：过点A作AD⊥CB延长线于点D，
∵∠ABD＝45°，
∴AD＝BD，
∵AB＝4，
∴AD＝BD＝ABsin45°＝4×＝4，
∵坡度i＝1：，
∴＝＝，
则DC＝4，
故AC＝＝8（m）．
故答案为：8．
16．如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度BC为2米，斜坡AB的坡度，现把图中的货物沿斜坡继续往前平移，当货物顶点D与C重合时，恰好可把货物放平装进货厢，则BD＝ 米 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用斜坡AB的坡度得到＝，进而证得△CBD∽△BAE，得到＝＝，然后设CD＝x米，则BD＝3x米，在Rt△CBD中，利用勾股定理求得答案即可．
【解答】解：如图，∵斜坡AB的坡度，
∴＝，
∵∠CBD+∠ABE＝90°，∠ABE+∠A＝90°，
∴∠CBD＝∠A，
∵∠CDB＝∠AEB＝90°，
∴△CBD∽△BAE，
∴＝＝
∴设CD＝x米，则BD＝3x米，
货物顶点D与C重合，
∴∠CDB＝90°，
在Rt△CBD中，BD2+CD2＝BC2，
即：x2+（3x）2＝22，
x＝（负值舍去），
∴BD＝米．
故答案为米．
17．某居民楼紧挨一座山坡AB，经过地质人员勘测，当坡度不超过45°时，可以确保山体不滑坡，如图所示，已知AE∥BD，斜坡AB的坡角∠ABD＝60°，为防止滑坡，现对山坡进行改造，改造后，斜坡BC与地面BD成45°角，AC＝10米．则斜坡BC＝ 33.4 米．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可以运用锐角三角函数表示出BC的长，从而可以解答本题．
【解答】解：作AM⊥BD于点M，作CN⊥BD于点N，如右图所示，
∵∠ABD＝60°，∠CBD＝45°，
∴BN＝，BM＝，BC＝，
∵CN＝AM，AC＝BN﹣BM，AC＝10米，
∴BC＝≈33.4米，
即斜坡BC的长是33.4米．
故答案为：33.4
18．如图，是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝88cm，宽AB＝51cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距GC＝15cm（点D，C，G，K在同一直线上）．小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退 11 cm．（sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，≈1.41，结果精确到个位）
【答案】见试题解答内容
【分析】过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M，过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H，则四边形EPHM与四边形BCNH都为矩形，证明△EFM是等腰直角三角形，得出EM＝EF≈46.53，求出AO＝BO＝25.5，GN≈17，OH＝57.5，即可得出结果．
【解答】解：过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M，过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H，如图所示：
则四边形EPHM与四边形BCNH都为矩形，
∴PH＝EM，
∵EF+FG＝166cm，FG＝100cm，
∴EF＝66cm，
∵∠FGK＝80°，
∴∠GFK＝10°，
∵∠EFG＝125°，
∴∠EFM＝180°﹣125°﹣10°＝45°，
∴△EFM是等腰直角三角形，
∴EM＝EF＝×66≈46.53，
∵AB＝51，O为AB中点，
∴AO＝BO＝25.5，
∵PH＝EM≈46.53，
∵GN＝100?cos80°≈17，CG＝15，
∴OH＝25.5+15+17＝57.5，OP＝OH﹣PH＝57.5﹣46.53≈11，
∴他应向前约11cm，
故答案为：11．
三．解答题（共6小题）
19．2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程﹣﹣邵阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设，施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示，AB，BC表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1分别为62m，200m，550m．若管道AB与水平线AA2的夹角为30°，管道BC与水平线BB2夹角为45°，求管道AB和BC的总长度（结果保留根号）．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据题意得到BO，CB2的长，在Rt△ABO中，由三角函数可得AB的长度，在Rt△BCB2中，由三角函数可得BC的长度，再相加即可得到答案．
【解答】解：根据题意知，四边形AA1B1O和四边形BB1C1B2均为矩形，
∴OB1＝AA1＝62m，B2C1＝BB1＝200m，
∴BO＝BB1﹣OB1＝200﹣62＝138m，CB2＝CC1﹣B2C1＝550﹣200＝350m，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，BO＝138m，
∴AB＝2BO＝2×138＝276m；
在Rt△CBB2中，∠CB2B＝90°，∠CBB2＝45°，CB2＝350m，
∴，
∴，
即管道AB和BC的总长度为：．
20．沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形ABCD，高DH＝12米，斜坡CD的坡度i＝1：1．此处大堤的正上方有高压电线穿过，PD表示高压线上的点与堤面AD的最近距离（P、D、H在同一直线上），在点C处测得∠DCP＝26°．
（1）求斜坡CD的坡角α；
（2）电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？
（参考数据：sin26°≈0.44，tan26°≈0.49，sin71°≈0.95，tan71°≈2.90）
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据斜坡CD的坡度i＝1：1，可得tanα＝DH：CH＝1：1＝1，进而可得α的度数；
（2）由（1）可得，CH＝DH＝12，α＝45°．所以∠PCH＝71°，再根据锐角三角函数可得PD的值，与18进行比较即可得到此次改造是否符合电力部门的安全要求．
【解答】解：（1）∵斜坡CD的坡度i＝1：1，
∴tanα＝DH：CH＝1：1＝1，
∴α＝45°．
答：斜坡CD的坡角α为45°；
（2）由（1）可知：
CH＝DH＝12，α＝45°．
∴∠PCH＝∠PCD+α＝26°+45°＝71°，
在Rt△PCH中，∵tan∠PCH＝＝≈2.90，
∴PD＝22.8（米）．
22.8＞18，
答：此次改造符合电力部门的安全要求．
21．汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i＝1：1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i＝1：，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）
【答案】见试题解答内容
【分析】过A 作AH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G，于是得到四边形EGHA是矩形，求得EG＝AH，GH＝AE＝2，得到AH＝BH＝9，求得BG，根据梯形的面积公式求得梯形ABFE的面积乘以大坝的长度即可得到结论．
【解答】解：过A 作AH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G，
则四边形EGHA是矩形，
∴EG＝AH＝30×30＝900，GH＝AE＝2，
∵斜坡AB的坡度i＝1：1，
∴AH＝BH＝9米，
∴AB＝9，
∴BG＝BH﹣HG＝7米，
∵斜坡EF的坡度i＝1：，
∴FG＝9米，
∴BF＝FG﹣BG＝9﹣7，
∴S梯形ABFE＝（2+9﹣7）×9＝，
∴共需土石为×200＝100（81﹣45）立方米．
22．如图，某教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶部A在地面上的影子F与墙角C的距离为18m（B、F、C在同一直线上）．求教学楼AB的高；（结果保留整数）（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
【答案】见试题解答内容
【分析】过点E作EG⊥AB于G，则四边形BCEG是矩形，设教学楼AB的高为xm，由等腰直角三角形的性质可知BF＝AB＝xm，EG＝BC＝（x+18）m，AG＝（x﹣2）m，在Rt△AEG中，利用锐角三角函数的定义得出x的值，进而可得出结论．
【解答】解：过点E作EG⊥AB于G，则四边形BCEG是矩形，
∴BC＝EG，BG＝CE＝2m
设教学楼AB的高为xm，
∵∠AFB＝45°，
∴∠FAB＝45°，∴BF＝AB＝xm，∴EG＝BC＝（x+18）m，AG＝（x﹣2）m，
在Rt△AEG中，∠AEG＝22°
∵tan∠AEG＝，∴tan22°＝，∴，
解得：x≈15m．
答：教学楼AB的高约为15m．
23．如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端C在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转37°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测量出∠ODB为28°，点D到点O的距离为30cm．
（1）求B点到OP的距离；
（2）求滑动支架的长．（结果精确到0.1）
（数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，sin 53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33）
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）在Rt△BOE中，得到OE＝，在Rt△BDE中，得到DE＝，列方程即可得到结论；
（2）根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）在Rt△BOE中，OE＝，
在Rt△BDE中，DE＝，
则+＝30，
解得BE≈11.4（cm）．
故B点到OP的距离大约为11.4cm；
（2）在Rt△BDE中，BD＝≈24.2cm．
故滑动支架的长约为24.2cm．
24．日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．
如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i＝1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．
（1）求山坡EF的水平宽度FH；
（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）在Rt△EFH中，根据坡度的定义得出tan∠EFH＝i＝1：0.75＝＝，设EH＝4x，则FH＝3x，由勾股定理求出EF＝＝5x，那么5x＝15，求出x＝3，即可得到山坡EF的水平宽度FH为9m；
（2）根据该楼的日照间距系数不低于1.25，列出不等式≥1.25，解不等式即可．
【解答】解：（1）在Rt△EFH中，∵∠H＝90°，
∴tan∠EFH＝i＝1：0.75＝＝，
设EH＝4x，则FH＝3x，
∴EF＝＝5x，
∵EF＝15，
∴5x＝15，x＝3，
∴FH＝3x＝9．
即山坡EF的水平宽度FH为9m；
（2）∵L＝CF+FH+EA＝CF+9+4＝CF+13，
H＝AB+EH＝22.5+12＝34.5，H1＝0.9，
∴日照间距系数＝L：（H﹣H1）＝＝，
∵该楼的日照间距系数不低于1.25，
∴≥1.25，
∴CF≥29．
答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处29m远．
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1.3（2）用三角函数解决坡比问题
一．选择题（共10小题）
1．如图，某河堤迎水坡AB的坡比i＝tan∠CAB＝1：，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是（ ）
A．5 m B．10m C．5m D．8 m
2．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝3m，则AB的长度为（ ）
A．6m B．3m C．9m D．6m
3．某屋顶示意图如图所示，现要在屋顶上开一个天窗，天窗AB在水平位置，屋顶坡面长度PQ＝QD＝4.8米，则屋顶水平跨度PD的长为（ ）米
A．cosα B．cosα C．sinα D．sinα
4．如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（ ）
A．300sinα米 B．300cosα米 C．300tanα米 D．米
5．某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（ ）
A．3.5sin29°米 B．3.5cos29°米 C．3.5tan29°米 D．米
6．如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE＝0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB＝3m，则石坝的坡度为（ ）
A． B．3 C． D．4
7．如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（ ）
A．29.1米 B．31.9米 C．45.9米 D．95.9米
8．钓鱼是一项特别锻炼心性的运动，如图，小南在江边垂钓，河堤AB的坡度为1：2.4，AB长为3.9米，钓竿AC与水平线的夹角是60°，其长为4.5米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角也是60°，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（ ）米．（参考数据：≈1.732）
A．1.732 B．1.754 C．1.766 D．1.823
9．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角∠CAB＝45°，在距A点10米处有一建筑物HQ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下HD长的人行道，问人行道HD的长度是（ ）米．（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
A．2.7 B．3.4 C．2.5 D．3.1
10．如图，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC＝2.8m，PD＝2m，CF＝1m，∠DPE＝15°．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，在上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°，若要遮阳效果最佳AP的长约为（ ）
（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64）
A．1.2m B．1.3m C．1.5m D．2.0m
二．填空题（共8小题）
11．如图，某河堤迎水坡AB的坡比i＝1：，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是 m．
12．如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角α＝20°，两树间的坡面距离AB＝5m，则这两棵树的水平距离约为 m（结果精确到0.1m，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）．
13．如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为 米（结果保留根号）．
14．一辆汽车沿倾斜角30°的斜坡前进100米，则它上升的高度是 米．
15．某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为45°的传送带AB，调整为坡度i＝1：的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是4米．那么新传送带AC的长是 米．
16．如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度BC为2米，斜坡AB的坡度，现把图中的货物沿斜坡继续往前平移，当货物顶点D与C重合时，恰好可把货物放平装进货厢，则BD＝ ．
17．某居民楼紧挨一座山坡AB，经过地质人员勘测，当坡度不超过45°时，可以确保山体不滑坡，如图所示，已知AE∥BD，斜坡AB的坡角∠ABD＝60°，为防止滑坡，现对山坡进行改造，改造后，斜坡BC与地面BD成45°角，AC＝10米．则斜坡BC＝ 米．
18．如图，是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝88cm，宽AB＝51cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距GC＝15cm（点D，C，G，K在同一直线上）．小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退 cm．（sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，≈1.41，结果精确到个位）
三．解答题（共6小题）
19．2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程﹣﹣邵阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设，施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示，AB，BC表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1分别为62m，200m，550m．若管道AB与水平线AA2的夹角为30°，管道BC与水平线BB2夹角为45°，求管道AB和BC的总长度（结果保留根号）．
20．沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形ABCD，高DH＝12米，斜坡CD的坡度i＝1：1．此处大堤的正上方有高压电线穿过，PD表示高压线上的点与堤面AD的最近距离（P、D、H在同一直线上），在点C处测得∠DCP＝26°．
（1）求斜坡CD的坡角α；（2）电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？（参考数据：sin26°≈0.44，tan26°≈0.49，sin71°≈0.95，tan71°≈2.90）
21．汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i＝1：1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i＝1：，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）
22．如图，某教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶部A在地面上的影子F与墙角C的距离为18m（B、F、C在同一直线上）．求教学楼AB的高；（结果保留整数）（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
23．如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端C在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转37°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测量出∠ODB为28°，点D到点O的距离为30cm．
（1）求B点到OP的距离；
（2）求滑动支架的长．（结果精确到0.1）
（数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，sin 53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33）
24．日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．
如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i＝1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．
（1）求山坡EF的水平宽度FH；（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
1.3（2）用三角函数解决坡比问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，某河堤迎水坡AB的坡比i＝tan∠CAB＝1：，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是（ ）
A．5 m B．10m C．5m D．8 m
【答案】B
【分析】先根据tan∠CAB＝1：得出∠BAC＝30°，结合BC＝5m可得AB＝2BC＝10m．
【解答】解：∵tan∠CAB＝＝＝，
∴在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
又∵BC＝5m，
∴AB＝2BC＝10m，
故选：B．
2．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝3m，则AB的长度为（ ）
A．6m B．3m C．9m D．6m
【答案】A
【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．
【解答】解：∵迎水坡AB的坡比为1：，
∴＝，即＝，
解得，AC＝3，
由勾股定理得，AB＝＝6（m），
故选：A．
3．某屋顶示意图如图所示，现要在屋顶上开一个天窗，天窗AB在水平位置，屋顶坡面长度PQ＝QD＝4.8米，则屋顶水平跨度PD的长为（ ）米
A．cosα B．cosα C．sinα D．sinα
【答案】B
【分析】直接利用等腰三角形的性质得出PO＝OD，再利用锐角三角函数关系得出PO的长求出答案．
【解答】解：由题意可得：AB∥PD，
则∠ABC＝∠QPD＝α，
可得QO⊥PD，
则PO＝DO，
cosα＝＝，
故PO＝cosα，
则PD＝2PO＝cosα．
故选：B．
4．如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（ ）
A．300sinα米 B．300cosα米 C．300tanα米 D．米
【答案】A
【分析】利用锐角三角函数关系即可求出小刚上升了的高度．
【解答】解：在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，AB＝300米，
BO＝AB?sinα＝300sinα米．
故选：A．
5．某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（ ）
A．3.5sin29°米 B．3.5cos29°米
C．3.5tan29°米 D．米
【答案】A
【分析】由sin∠ACB＝得AB＝BCsin∠ACB＝3.5sin29°．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵sin∠ACB＝，
∴AB＝BCsin∠ACB＝3.5sin29°，
故选：A．
6．如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE＝0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB＝3m，则石坝的坡度为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】先过C作CF⊥AB于F，根据DE∥CF，可得＝，进而得出CF＝3，根据勾股定理可得AF的长，根据CF和BF的长可得石坝的坡度．
【解答】解：如图，过C作CF⊥AB于F，则DE∥CF，
∴＝，即＝，
解得CF＝3，
∴Rt△ACF中，AF＝＝4，
又∵AB＝3，
∴BF＝4﹣3＝1，
∴石坝的坡度为＝＝3，
故选：B．
7．如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（ ）
A．29.1米 B．31.9米 C．45.9米 D．95.9米
【答案】A
【分析】根据坡度，勾股定理，可得DE的长，再根据平行线的性质，可得∠1，根据同角三角函数关系，可得∠1的坡度，根据坡度，可得DF的长，根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：作DE⊥AB于E点，作AF⊥DE于F点，如图，
设DE＝xm，CE＝2.4xm，由勾股定理，得
x2+（2.4x）2＝1952，
解得x≈75m，
DE＝75m，CE＝2.4x＝180m，
（方法二：由i＝1：2.4＝5：12，设DE＝5xm，CE＝12xm，
由勾股定理，得CD＝13x，
∴13x＝195，
∴x＝15，∴DE＝75m，CE＝180m）
EB＝BC﹣CE＝306﹣180＝126m．
∵AF∥DG，
∴∠1＝∠ADG＝20°，
tan∠1＝tan∠ADG＝＝0.364．
AF＝EB＝126m，
tan∠1＝＝0.364，
DF＝0.364AF＝0.364×126＝45.9，
AB＝FE＝DE﹣DF＝75﹣45.9≈29.1m，
故选：A．
8．钓鱼是一项特别锻炼心性的运动，如图，小南在江边垂钓，河堤AB的坡度为1：2.4，AB长为3.9米，钓竿AC与水平线的夹角是60°，其长为4.5米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角也是60°，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（ ）米．（参考数据：≈1.732）
A．1.732 B．1.754 C．1.766 D．1.823
【答案】C
【分析】延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥BE于点F，利用正切的概念求出AE、EF、BF，判断△CDE为等边三角形，求出DE，计算即可．
【解答】解：如图，延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥BE于点F，
则∠CED＝60°，
∵AB的坡比为1：2.4，
∴＝＝，则设AF＝5x，BF＝12x，
∵AB＝3.9米，
∴在直角△ABF中，由勾股定理知，3.92＝25x2+144x2．
解得x＝．
∴AF＝5x＝，BF＝12x＝
∴EF＝＝＝，AE＝＝＝
∵∠C＝∠CED＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∵AC＝4.5米，
∴DE＝CE＝AC+AE＝4.5+（米），
则BD＝DE﹣EF﹣BF＝4.5+﹣﹣≈1.766（米），
答：浮漂D与河堤下端B之间的距离为1.766米．
故选：C．
9．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角∠CAB＝45°，在距A点10米处有一建筑物HQ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下HD长的人行道，问人行道HD的长度是（ ）米．（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
A．2.7 B．3.4 C．2.5 D．3.1
【答案】A
【分析】根据题意可得AB＝CB＝10，AH＝10，设DH＝x米，则AD＝AH﹣DH＝（10﹣x）米，BD＝AD+AB＝（20﹣x）米，再根据特殊角的三角函数列式即可计算人行道HD的长．
【解答】解：根据题意可知：
∠CBA＝90°，∠CAB＝45°，
∴∠ACB＝45°，
∴AB＝CB＝10，AH＝10，
设DH＝x米，则AD＝AH﹣DH＝（10﹣x）米，
∴BD＝AD+AB＝（20﹣x）米，在Rt△DCB中，∠CDB＝30°，
∴tan30°＝ 即＝，解得x≈2.7．
所以人行道HD的长度是2.7米．
故选：A．
10．如图，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC＝2.8m，PD＝2m，CF＝1m，∠DPE＝15°．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，在上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°，若要遮阳效果最佳AP的长约为（ ）
（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64）
A．1.2m B．1.3m C．1.5m D．2.0m
【答案】C
【分析】过点F作FG⊥AC于点G，根据题意可得，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，即∠BEP＝90°，再根据四边形内角和定理可得∠CPF的度数，再根据锐角三角函数即可求出CP的长，进而可得遮阳效果最佳时AP的长．
【解答】解：如图，过点F作FG⊥AC于点G，
根据题意可知：
当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，
∴∠BEP＝90°，
∵∠A＝90°，∠B＝65°，
∴∠EPA＝360°﹣90°﹣90°﹣65°＝115°，
∵∠DPE＝15°，
∴∠APD＝130°，∴∠CPF＝50°，
∵F为PD的中点，∴DF＝PF＝PD＝1，∴CF＝PF＝1，∴CP＝2PG＝2×PF?cos50°≈2×1×0.64≈1.28，
∴AP＝AC﹣PC＝2.8﹣1.28≈1.5（m）．
所以要遮阳效果最佳AP的长约为1.5米．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
11．如图，某河堤迎水坡AB的坡比i＝1：，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是 10 m．
【答案】10．
【分析】先根据坡比i＝tan∠CAB＝1：得出∠BAC＝30°，再由直角三角形的性质可得AB＝2BC＝10m即可．
【解答】解：∵坡比i＝tan∠CAB＝＝＝，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵BC＝5m，
∴AB＝2BC＝10m，
故答案为：10．
12．如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角α＝20°，两树间的坡面距离AB＝5m，则这两棵树的水平距离约为 4.7 m（结果精确到0.1m，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）．
【答案】4.7．
【分析】根据余弦的定义求出AH，得到答案．
【解答】解：过点A作水平面的平行线AH，作BH⊥AH于H，
由题意得，∠BAH＝α＝20°，
在Rt△BAH中，cos∠BAH＝，
∴AH＝AB?cos∠BAH≈5×0.940≈4.7（m），
故答案为：4.7．
13．如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为 6 米（结果保留根号）．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．首先证明DE＝CF，解直角三角形求出CF，再根据直角三角形30度角的性质即可解决问题．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．
∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB，
∴DE＝CF，
在Rt△CFB中，CF＝BC?sin45°＝3（米），
∴DE＝CF＝3（米），
在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，∠AED＝90°，
∴AD＝2DE＝6（米），
故答案为：6．
14．一辆汽车沿倾斜角30°的斜坡前进100米，则它上升的高度是 50 米．
【答案】50．
【分析】由含30°角的直角三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：如图所示：
由题意得：∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝100，
∴BC＝AB＝50（米）．
故答案为：50．
15．某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为45°的传送带AB，调整为坡度i＝1：的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是4米．那么新传送带AC的长是 8 米．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意首先得出AD，BD的长，再利用坡角的定义得出DC的长，再结合勾股定理得出答案．
【解答】解：过点A作AD⊥CB延长线于点D，
∵∠ABD＝45°，
∴AD＝BD，
∵AB＝4，
∴AD＝BD＝ABsin45°＝4×＝4，
∵坡度i＝1：，
∴＝＝，
则DC＝4，
故AC＝＝8（m）．
故答案为：8．
16．如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度BC为2米，斜坡AB的坡度，现把图中的货物沿斜坡继续往前平移，当货物顶点D与C重合时，恰好可把货物放平装进货厢，则BD＝ 米 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用斜坡AB的坡度得到＝，进而证得△CBD∽△BAE，得到＝＝，然后设CD＝x米，则BD＝3x米，在Rt△CBD中，利用勾股定理求得答案即可．
【解答】解：如图，∵斜坡AB的坡度，
∴＝，
∵∠CBD+∠ABE＝90°，∠ABE+∠A＝90°，
∴∠CBD＝∠A，
∵∠CDB＝∠AEB＝90°，
∴△CBD∽△BAE，
∴＝＝
∴设CD＝x米，则BD＝3x米，
货物顶点D与C重合，
∴∠CDB＝90°，
在Rt△CBD中，BD2+CD2＝BC2，
即：x2+（3x）2＝22，
x＝（负值舍去），
∴BD＝米．
故答案为米．
17．某居民楼紧挨一座山坡AB，经过地质人员勘测，当坡度不超过45°时，可以确保山体不滑坡，如图所示，已知AE∥BD，斜坡AB的坡角∠ABD＝60°，为防止滑坡，现对山坡进行改造，改造后，斜坡BC与地面BD成45°角，AC＝10米．则斜坡BC＝ 33.4 米．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可以运用锐角三角函数表示出BC的长，从而可以解答本题．
【解答】解：作AM⊥BD于点M，作CN⊥BD于点N，如右图所示，
∵∠ABD＝60°，∠CBD＝45°，
∴BN＝，BM＝，BC＝，
∵CN＝AM，AC＝BN﹣BM，AC＝10米，
∴BC＝≈33.4米，
即斜坡BC的长是33.4米．
故答案为：33.4
18．如图，是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝88cm，宽AB＝51cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距GC＝15cm（点D，C，G，K在同一直线上）．小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退 11 cm．（sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，≈1.41，结果精确到个位）
【答案】见试题解答内容
【分析】过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M，过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H，则四边形EPHM与四边形BCNH都为矩形，证明△EFM是等腰直角三角形，得出EM＝EF≈46.53，求出AO＝BO＝25.5，GN≈17，OH＝57.5，即可得出结果．
【解答】解：过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M，过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H，如图所示：
则四边形EPHM与四边形BCNH都为矩形，
∴PH＝EM，
∵EF+FG＝166cm，FG＝100cm，
∴EF＝66cm，
∵∠FGK＝80°，
∴∠GFK＝10°，
∵∠EFG＝125°，
∴∠EFM＝180°﹣125°﹣10°＝45°，
∴△EFM是等腰直角三角形，
∴EM＝EF＝×66≈46.53，
∵AB＝51，O为AB中点，
∴AO＝BO＝25.5，
∵PH＝EM≈46.53，
∵GN＝100?cos80°≈17，CG＝15，
∴OH＝25.5+15+17＝57.5，OP＝OH﹣PH＝57.5﹣46.53≈11，
∴他应向前约11cm，
故答案为：11．
三．解答题（共6小题）
19．2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程﹣﹣邵阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设，施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示，AB，BC表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1分别为62m，200m，550m．若管道AB与水平线AA2的夹角为30°，管道BC与水平线BB2夹角为45°，求管道AB和BC的总长度（结果保留根号）．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据题意得到BO，CB2的长，在Rt△ABO中，由三角函数可得AB的长度，在Rt△BCB2中，由三角函数可得BC的长度，再相加即可得到答案．
【解答】解：根据题意知，四边形AA1B1O和四边形BB1C1B2均为矩形，
∴OB1＝AA1＝62m，B2C1＝BB1＝200m，
∴BO＝BB1﹣OB1＝200﹣62＝138m，CB2＝CC1﹣B2C1＝550﹣200＝350m，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，BO＝138m，
∴AB＝2BO＝2×138＝276m；
在Rt△CBB2中，∠CB2B＝90°，∠CBB2＝45°，CB2＝350m，
∴，
∴，
即管道AB和BC的总长度为：．
20．沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形ABCD，高DH＝12米，斜坡CD的坡度i＝1：1．此处大堤的正上方有高压电线穿过，PD表示高压线上的点与堤面AD的最近距离（P、D、H在同一直线上），在点C处测得∠DCP＝26°．
（1）求斜坡CD的坡角α；
（2）电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？
（参考数据：sin26°≈0.44，tan26°≈0.49，sin71°≈0.95，tan71°≈2.90）
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据斜坡CD的坡度i＝1：1，可得tanα＝DH：CH＝1：1＝1，进而可得α的度数；
（2）由（1）可得，CH＝DH＝12，α＝45°．所以∠PCH＝71°，再根据锐角三角函数可得PD的值，与18进行比较即可得到此次改造是否符合电力部门的安全要求．
【解答】解：（1）∵斜坡CD的坡度i＝1：1，
∴tanα＝DH：CH＝1：1＝1，
∴α＝45°．
答：斜坡CD的坡角α为45°；
（2）由（1）可知：
CH＝DH＝12，α＝45°．
∴∠PCH＝∠PCD+α＝26°+45°＝71°，
在Rt△PCH中，∵tan∠PCH＝＝≈2.90，
∴PD＝22.8（米）．
22.8＞18，
答：此次改造符合电力部门的安全要求．
21．汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i＝1：1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i＝1：，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）
【答案】见试题解答内容
【分析】过A 作AH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G，于是得到四边形EGHA是矩形，求得EG＝AH，GH＝AE＝2，得到AH＝BH＝9，求得BG，根据梯形的面积公式求得梯形ABFE的面积乘以大坝的长度即可得到结论．
【解答】解：过A 作AH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G，
则四边形EGHA是矩形，
∴EG＝AH＝30×30＝900，GH＝AE＝2，
∵斜坡AB的坡度i＝1：1，
∴AH＝BH＝9米，
∴AB＝9，
∴BG＝BH﹣HG＝7米，
∵斜坡EF的坡度i＝1：，
∴FG＝9米，
∴BF＝FG﹣BG＝9﹣7，
∴S梯形ABFE＝（2+9﹣7）×9＝，
∴共需土石为×200＝100（81﹣45）立方米．
22．如图，某教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶部A在地面上的影子F与墙角C的距离为18m（B、F、C在同一直线上）．求教学楼AB的高；（结果保留整数）（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
【答案】见试题解答内容
【分析】过点E作EG⊥AB于G，则四边形BCEG是矩形，设教学楼AB的高为xm，由等腰直角三角形的性质可知BF＝AB＝xm，EG＝BC＝（x+18）m，AG＝（x﹣2）m，在Rt△AEG中，利用锐角三角函数的定义得出x的值，进而可得出结论．
【解答】解：过点E作EG⊥AB于G，则四边形BCEG是矩形，
∴BC＝EG，BG＝CE＝2m
设教学楼AB的高为xm，
∵∠AFB＝45°，
∴∠FAB＝45°，∴BF＝AB＝xm，∴EG＝BC＝（x+18）m，AG＝（x﹣2）m，
在Rt△AEG中，∠AEG＝22°
∵tan∠AEG＝，∴tan22°＝，∴，
解得：x≈15m．
答：教学楼AB的高约为15m．
23．如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端C在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转37°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测量出∠ODB为28°，点D到点O的距离为30cm．
（1）求B点到OP的距离；
（2）求滑动支架的长．（结果精确到0.1）
（数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，sin 53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33）
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）在Rt△BOE中，得到OE＝，在Rt△BDE中，得到DE＝，列方程即可得到结论；
（2）根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）在Rt△BOE中，OE＝，
在Rt△BDE中，DE＝，
则+＝30，
解得BE≈11.4（cm）．
故B点到OP的距离大约为11.4cm；
（2）在Rt△BDE中，BD＝≈24.2cm．
故滑动支架的长约为24.2cm．
24．日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．
如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i＝1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．
（1）求山坡EF的水平宽度FH；
（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）在Rt△EFH中，根据坡度的定义得出tan∠EFH＝i＝1：0.75＝＝，设EH＝4x，则FH＝3x，由勾股定理求出EF＝＝5x，那么5x＝15，求出x＝3，即可得到山坡EF的水平宽度FH为9m；
（2）根据该楼的日照间距系数不低于1.25，列出不等式≥1.25，解不等式即可．
【解答】解：（1）在Rt△EFH中，∵∠H＝90°，
∴tan∠EFH＝i＝1：0.75＝＝，
设EH＝4x，则FH＝3x，
∴EF＝＝5x，
∵EF＝15，
∴5x＝15，x＝3，
∴FH＝3x＝9．
即山坡EF的水平宽度FH为9m；
（2）∵L＝CF+FH+EA＝CF+9+4＝CF+13，
H＝AB+EH＝22.5+12＝34.5，H1＝0.9，
∴日照间距系数＝L：（H﹣H1）＝＝，
∵该楼的日照间距系数不低于1.25，
∴≥1.25，
∴CF≥29．
答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处29m远．
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