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浙教版数学九年级上册4.5.3三角形相似的性质及其应用导学案
课题
三角形相似的性质及其应用
单元
4
学科
数学
年级
九年级
知识目标
1.掌握相似三角形的“对应角相等，对应边成比例”的性质.
2.
会用上述性质解决测量高度以及宽度的问题.
重点难点
重点：相似三角形的基本性质，“对应角相等，对应边成比例”的应用.
难点：证明需添辅助线.
教学过程
知识链接
1.相似三角形的性质有哪些？
2.利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题.
合作探究
一、教材第147页
例5
如图，屋架跨度的一半OP=5m，高度OQ=2.25m，现要在屋顶上开一个天窗，天窗高度AC=1.20m，AB在水平位置。求AB的长度（精确到0.01m）.
归纳：从生活中提炼出几何图形，并运用几何知识去解决图形中提出的问题，从而解决生活中的问题，这就是数学中的建模思想．利用建模思想能解决和解释许多现实生活中的问题．
二、教材第147页
例6
数学兴趣小组测校园内一棵树高，有以下两种方法：
分别根据两种不同方法求出树高(精确到0.1m).
方法一：如图，把镜子放在离树(AB)8m的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量的DE=2.8m，观察者目高CD=1.6m.
方法二：如图，把长为2.40m的标杆CD直立在地面上，量出树的影长为2.80m，标杆的影长为1.47m.
还有其他方法吗？
归纳：测量高的方法：
1.测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“
”的原理解决.
2.测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“
”的原理解决.
自主尝试
1.如图，身高为1.6米的某学生想测学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子重合，并测得AC＝2.0米，BC＝8.0米，则旗杆的高度是（
）
A.
6.4米
B.
7.0米
C.
8.0米
D.
9.0米
2.如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动.现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5∶1，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压（
）
A.
100cm
B.
60cm
C.
50cm
D.
10cm
3.如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具．移动竹竿，全竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22米，则旗杆的高为__________m．
【方法宝典】
根据相似三角形的性质进行解题即可.
当堂检测
1．如图，身高1.6m的小利(CE)站在距路灯杆5m的C点处，测得她在灯光下的影长CD为2.5m，则路灯的高度AB为( )
A．5m B．4.8m C．2.5m D．4m
如图，铁路道口的栏道木短臂长1m，长臂长16m，当短臂的端点下降0.5m时，长臂的端点升高( )
A．11.25m
B．6.6m
C．8m
D．10.5m
3．如图，王华在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离EB＝20米，镜子与王华的距离ED＝2米时，王华刚好从镜子中看到铁塔顶端点A，已知王华的眼睛距地面的高度CD＝1.5米，则铁塔AB的高度是( )
A．15米 B.米 C．16米 D．16.5米
4．将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于________．
5．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝________m.
6.如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料．为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形(阴影部分)铁片备用，当截取的矩形面积最大时，求矩形两边长x，y.
7.如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度( )
A．增大1.5米 B．减小1.5米
C．增大3.5米 D．减小3.5米
8．如图，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝________里．
9.如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的标杆竖直放置时影长2米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面(BC)上，有一部分落在斜坡(CD)上，他测得落在地面上的影长为10米，留在斜坡上的影长为2米，∠DCE＝45°，则旗杆的高度为多少米？(结果保留根号)
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案：
当堂检测：
1－3.BCA
4.
5.5.5
6．过点D作DE⊥OC于点E，∵NH∥DE，∴△CNH∽△CDE，∴＝，∵CH＝24－y，CE＝24－8，DE＝OA＝20，NH＝x，∴＝，得x＝·(24－y)，∴矩形面积S＝xy＝－(y－12)2＋180，∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
7.D
8.1.05
9．延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥FC于点E，∵CD＝2米，∠DCE＝45°，∴DE＝CE＝，∵同一时刻物高与影长成正比，∴＝，解得EF＝2DE＝2，∵DE⊥BC，AB⊥BC，∴△EDF∽△BAF，∴＝，即＝，∴AB＝5＋，答：旗杆的高度为米．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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浙教版
九上数学
4.5.3相似三角形的性质及其应用
复习旧知
回顾相似三角形的性质：
1.相似三角形的对应角相等，对应边成比例
2.相似三角形的周长之比等于相似比
3.相似三角形的面积之比等于相似比的平方
4.相似三角形对应边上的高之比，对应边上中线之比，对应角平分线之比等于相似比
情景导入
世界上最高的楼
——台北101大楼
怎样测量这些非常高大物体的高度？
利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题.
例题解析
例5
如图，屋架跨度的一半OP=5m，高度OQ=2.25m，现要在屋顶上开一个天窗，天窗高度AC=1.20m，AB在水平位置.求AB的长度（精确到0.01m）.
解：由题意,得AB//PO,
∴∠ABC=∠OPQ.
又∵∠CAB=∠POQ=Rt∠,
∴△ABC∽△OPQ
,
∴,
∴AB=
答：AB的长约为2.67m.
探究新知
如图，小明用一直尺测量树高，他拿一把直尺MN坚直放在一只眼睛的前面，然后向后移动，直至只看见树顶C和根部E时停止，这时小明离树的距离是8m，眼睛到直尺的距离是0.4m，直尺的长度是0.2m，你能求出这棵树有多高吗？
新知讲解
解：∵MN∥CE，
∴△AMN∽△ACE.
∴＝，即＝，解得CE＝4.
∴这棵树的高度为4m.
归纳
从生活中提炼出几何图形，并运用几何知识去解决图形中提出的问题，从而解决生活中的问题，这就是数学中的建模思想．利用建模思想能解决和解释许多现实生活中的问题．
例题解析
例6
数学兴趣小组测校园内一棵树高，有以下两种方法：
方法一：如图，把镜子放在离树(AB)8m的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.8m，观察者目高CD=1.6m.
分别根据两种不同方法求出树高(精确到0.1m).
例题解析
解：设AB=xm，由题意，得
CD//AB
方法一：
A
B
E
C
D
8
m
2.8m
1.6m
x
m
∴△CDE≌△ABE
∴
∵CD=1.6m，DE=2.8m，BE=8m
∴
∴x≈4.6
方法二：如图，把长为2.40m的标杆CD直立在地面上，量出树的影长为2.80m，标杆的影长为1.47m.
解：∵△CDF∽△ABE
A
B
C
E
F
2.4m
1.47m
2.8m
x
m
D
∴
∴
∵CD=2.4m，DF=1.47m，BE=2.8m
∴x≈4.6m
利用标尺
测量高度的方法
利用影子
利用平面镜
利用标杆
总结
练一练
周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线．
已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．
请根据相关测量信息，求出河宽AB.
解：∵CB⊥AD，ED⊥AD，
∴∠ABC＝∠ADE＝90°，
∵∠CAB＝∠EAD，
∴△ABC∽△ADE，∴＝，
∵BC＝1
m，DE＝1.5
m，BD＝8.5
m，
∴AD＝AB＋8.5，
∴＝，解得AB＝17.
答：河宽AB为17
m.
表达式：物1高
：物2高
=
影1长
：影2长
1.测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的
原理解决.
归纳
2.测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
课堂练习
学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B,D,AO=4
m,AB=1.6m,CO=1m,则栏杆C端应下降的垂直距离CD为(
)
A.0.2m
B.0.3m
C.0.4
m
D.0.5m
C
2.如图，为估算某河的宽度,在河对岸岸边选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上,并且点A,E,D在同一条直线上.若测得BE=20
m,EC=10
m,CD=20
m,则河的宽度AB等于(
)
A.60m
B.40m
C.30m
D.20m
B
3.如图所示的是用来测量小管口径的量具,AB长为5
mm,AC被分为50等份,若小管口径DE正好对着量具上30份处(DE//AB)
,则小管口径DE的长为
mm.
4.如图,一条4m宽的道路将矩形花坛分为一个直角三角形和一个直角梯形,根据图中数据,可知这条道路的占地面积为
m2.
3
80
5、如图，左、右并排的两棵大树的高分别是
AB
=
8
m
和
CD
=
12
m，两树底部的距离
BD
=
5
m，一个人估计自己眼睛距离地面
1.6
m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路
l
从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C
了?
由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于
8
m
时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端
C
.
解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点E
与两棵树的顶端点A，C
恰在一条直线上．
∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.
∴△AEH∽△CEK.
∴
即
解得
EH=8.
课堂小结
一、相似三角形的应用:
1、测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)
2、测距(不能直接测量的两点间的距离)
3、线段的计算问题
二、解决实际问题时(如测高、测距)一般有以下步骤：
①审题
②构建图形
③利用相似解决问题
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