浙教版初中数学七年级上册3.2 实数 教案

浙教版3.1《实数》教学设计
1.1
教学内容分析
浙教版七年级上册第三章《3.2实数》是一节概念课.对概念关键词的理解是掌握概念的最重要的手段.歌德曾经说过：“一门学科的历史，就是这门学科的本身。”笔者针对本节课概念性强、例题示范少的特点，采用“HPM微课”融入课堂教学，使学生不仅了解“无理数”的发生与发展史，而且帮助学生更好地理解“无理数”的概念，从而将数扩充到了实数，为今后进一步学习方程、不等式、函数等知识奠定基础.
1.2
学生学情分析
无理数是一个确定的数，却不能把它全部直观地表示出来，学生学习时倍感抽象，不易理解，本节课主要采用了引导发现的体验教学法，让学生运用已有的有理数概念进行比较来建立新知，通过师生探究活动和HPM微课的介绍，对无理数概念的形成搭建平台阶，与此同时还要让学生明白学习无理数是为了解决实际问题，体验数需要进一步扩展，教师要给予实际的背景.
1.3
教学目标分析
理解无理数、实数的概念；通过对有理数的类比学习中，了解在实数范围内，相反数、倒数、绝对值和大小比较法则仍然都适用；在将实数准确和近似表示在数轴上的操作过程中，渗透数形结合的思想，解决实数与数轴上点的一一对应关系.学生在体验用有理数估计一个无理数范围的过程中，对数进行分析、猜测、探索的方法，通过HPM微课提升学生数学史素养，激发学习兴趣.
重难点：无理数、实数的意义；在数轴上表示实数，实数与数轴上的点的一一对应关系。
2
历史材料及其运用
2.1
HPM微课，课中深学
HPM微课片段1：《神奇的》
（先简介祖冲之、刘徽、阿基米德等古代对圆周率进行过研究的数学家们及他们的贡献）
德国数学史家莫瑞兹·康托说的好：“历史上一个国家所算的的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。”原本来自圆的几何学，但它还反复出现在各种各样的科学现象中。例如，似乎操纵着弯弯曲曲的河流的长度。剑桥大学的地球科学家汉斯
—
亨利克·斯多勒姆教授计算了从河源头到河出口之间河流的实际长度与它们的直接距离之比。虽然这一比率因不同的河流而变化，但是它们的平均值只比3略大一点，也就是说大致上是直接距离的3倍。事实上，这个比近似等于3.14，接近于的值。
HPM微课片段2.：《“无理数”是没有道理的数吗？》
1
无理数的发现
图1
希伯索斯发现无理数
古希腊哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯意识到从音乐的和声到行星的轨道，一切事物中皆藏有数，这导致他宣布“万物皆数”，宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比来表达.但是后来毕达哥拉斯学派的门徒希伯索斯，发现正方形的对角线与边长的比不能表示成两个整数之比，从而打破了他们的这一信条，导致西方数学史上的“第一次数学危机”.
②如何理解“理”的含义？
《几何原本》是我国最早译自拉丁文的数学著作，明朝科学家徐光启在翻译时没有现成的、可对照的词，许多译名都是从无到有创造出来的.徐光启将“比”译成了“理”，即“理”就是比的意思.所以，“有理数”应理解为“可以写成两个整数之比的数”，不应理解为“有道理的数”；同样，“无理数”应该理解为“不可以写成两个整数之比的数”，不应理解为“没有道理的数”.因此，也有人建议，把“有理数”和“无理数”改称为“比数”和“非比数”.
2.2
HPM微课，课外拓学
HPM微课片段3：《实数的公理化定义》
1872年，实数的三大派理论：戴德金的“分割”理论，康托尔的“基本序列”理论，以及维尔斯特拉斯的“有界单调序列”理论，同时在德国出现.实数的三大派理论从本质上给出了无理数的严格定义，从此无理数才真正在数学园地中扎下了根.无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机.
3
教学设计与实施
3.1
温习旧知，设疑引课
问题1.请你尽可能多地列举不同类型的数.
（学生在学案纸上写出自己的答案）
师生活动：先给学生足够的时间按照“不同类型”的要求写出一些数，然后一一补充回答，并说明是什么类型的数.教师需要对有限小数和无限小数是分数做出解释。
【设计意图】从学生已有的知识出发，复习有理数的两种分法，补充有理数是有限小数和无限循环小数的统称这一分法，为无理数概念的引出做鲜明的对比.
培养学生从多角度思考问题。
问题2.你能说出π小数点后几个数字？它有何特点？
师生活动：（1）学生先例举；（2）学生得到的特点：无限的，不循环的小数.然后教师归纳：与有理数比较，我们把这类无限不循环小数叫做无理数.有理数和无理数统称为实数.
试问：0.1010010001…(两个“1”之间依次多一个“0”)是有理数还是无理数，为什么？
【设计意图】（1）评价学生对无理数概念是否掌握，同时让学生感受无理数虽然是一个确定的数，却不能把它全部直观地表示出来，但是它是普遍存在的；（2）通过有关π的HPM微课介绍，增加学生数学史知识量，感受伟人对数的发展作出的贡献和他们探究的精神.
3.2
探究新知，释疑启思
实际问题情境：为了迎接10月份的校运会，我班准备用边长为2米的正方形布，剪出一个面积为2平方米的正方形班牌.下面请同学们展示一下昨天的“折纸”作业.（昨天的操作作业：用边长为2的正方形白纸折面积为2的正方形）.
图3
正方形的折叠
问题3.①你折出的面积为2平方米的正方形边长为多少？
②面积为2平方米的正方形边长介于哪两个整数之间？为什么？
师生活动：展示学生的“折纸”成果，学生利用图3回答问题.
【设计意图】以解决实际问题为背景，使学生经历并感受无理数是实际存在的；根据图形特点或利用“正底数越大，它的平方也越大”来估计无理数的大小；通过观察“形”和“数”之间的关系，体会数形结合的思想；这个图也为数轴上表示做好“形”的准备.
问题4.十分位上的数字是多少呢？
师生活动：1.教师利用幻灯片一一投影：
，
，
，
，
，
，学生口答结果.利用结果得到十分位上的数字为4.
2.学生利用计算器分别得到百分位，千分位上的数字.
3.提问：到底可以算到哪一位小数呢？请学生用计算器按的值，发现不够位.教师展示的小数位上的数，发现无限不循环的特点.
【设计意图】旨在引导学生通过探究得到是个无限不循环小数，并感受用有理数逼近无理数的重要数学思想；让学生体会无理数存在的广泛性，培养学生的探究精神，体验探究的成功感.
3.3
概念辨析，初步应用
问题5.下列各数哪些是无理数?
师生活动：学生先练，后师生交流归纳不同的实数分类形式；
【设计意图】通过文字练习，让学生真正搞清楚有理数、无理数的本质区别.
3.4
类比迁移,深化巩固
填空：（1）的相反数是
；（2）的倒数是
；
（3）=
；绝对值等于的数是
.
【设计意图】通过类比练习，让学生了解把数扩充到实数以后，有理数中的相关概念仍然适用，从而体会从特殊到一般的逻辑思维方式.
过渡语：我们知道，有理数能够在数轴上表示，那么无理数呢？下面我们以为例.
问题6.无理数如何在数轴上表示？
师生活动：让学生回忆的几何意义（边长为1的正方形的对角线），学生一一解决疑问，
疑问1：如何将边长为1的正方形搬到数轴上来呢？（先在边长为1的正方形上画草图）教师强调搬过来时的最好位置和长度如何要求；
疑问2：如何将长度的线段搬到数轴上来呢？教师强调用圆规这一工具的准确性，避免用量取的方法.教师板演作图过程后小结.
【设计意图】在教师的引导下突破教学难点，促使学生主动参与数学知识的“再发现”过程，培养学生观察、分析、抽象、概括的思维能力，体会数形结合思想.
问题7.（例题解析）把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“<”号连接）.
-1.4，
,
3.3,
,
,
1.5
师生活动：引导学生先思考用什么方法比较多个数的大小较好（数轴），让学生近似地在数轴上表示这些数.然后师生一起归纳：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大.
【设计意图】掌握利用数轴比较多个实数大小的重要性；有理数的大小比较法则适用于实数.
3.5
小结反思,课后提升
4
设计说明
引发认知冲突，体现从最近发展区实施教学的生本理念.新课教学环节通过创设实际背景，引导学生开展合作学习教学内容（深入细致地探索的无理性）的创造性开发过程中，感受合作探究的快乐.一方面通过实际例子进行合作探究建构概念，另一方面通过微视频介绍提高学生的数学素养.整节课是建立在学生已有的知识经验基础之上，在引出新知识的同时也巩固了旧知识（如相反数、绝对值、勾股定理、有理数等）.
2．借力微课，促进理解
近年来，数学史融入初中数学教学日益受到初中数学老师的关注，相关的教学案例逐渐增多，但运用HPM微课的案例尚不多见【2】。
从小学的“自然数、分数”直接到初中的“无理数、实数”，对于刚进入中学校园的同学们来说无异于一条深深的鸿沟。因此，同学们需要认真理解概念，才能将这条鸿沟一点点填满，基础不打好的话，学习后面的内容完全是一头雾水。?以“图、形、声、动画”相结合的微视频来呈现数学史，通过课中深学和课外拓学HPM微视频（《神奇的》、《“无理数”是没有道理的数吗？》、《实数的公理化定义》），激发学生感官上的强烈刺激，帮助学生对无理数和实数概念进行深入理解。
通过有意识地渗透数学文化和数学应用，让学生感受数学发展的来之不易，体会的神奇，的优美，接受新事物的艰辛，体现了数学的美学价值，将数学发源、发展过程中的故事、人物、问题以及与其他文化的相互影响融入其中，让学生感受数学文化的源远流长、发展创造，点燃他们的学习兴趣，激发学生情感态度价值观的更好生成[3].
3.
设疑启发，多重交互
问题是数学的心脏，本节课在教学设计上以问题为主线，通过问题解决来学习。《标准》指出：教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程，实现教师教与学生学的统一.以学生为主体，通过提问、讨论（使学生经历从实际问题中建立数学模型的过程，感受在数轴上表示数的数形结合的重要性），让学生在自主探究和多向互动合作中构建自己的知识结构，培养思维能力和创造能力，使学生经历数学知识的形成过程。
教学中有意识地利用背景知识以及古人的问题情境，激发学生的好奇心与学习兴趣，促进自主学习，并使学生体会到不同数学知识之间的密切联系，为后面的平方根、立方根的教学埋下伏笔。
参考文献：
1.黄和悦.
善用教材，让课堂教学更有效【J】.中学数学教学参考：中旬，2016（5）:9-11
2.陈嘉尧.HPM微课在全等三角形教学中的应用【J】中学教学.2016(6):15-17
3.侯小敏、汪晓勤.
HPM微课在初中数学教学中的运用【J】.初中数学教与学：2015（11）:20-22
古希腊
希伯索斯
他认为并宣布：“边长为1的正方形的对角线长是
，它既不是整数，也不是分数，而是人们还没有认识的数。
插入HPM微课1：《神奇的》，了解历史上的数学家们对的研究.
1
1
插入HPM微课2：《无理数是没有道理的数吗？》
①由来的故事（边长为1的正方形的对角线长是）；②毕达哥拉斯学派的冤屈（抹杀真理是“无理”的）了解“无理”文字的由来；③再次体会伟人为数的扩展所作出的贡献.
学生自主学习课外拓学HPM微课3：《实数的公理化定义》