浙教版数学八年级上册 第2章 特殊三角形综合复习教案（表格式）

学习目标
1．掌握等腰三角形两个底角相等及“三线合一的性质”．能运用等腰三角形的性质解决有关的简单问题，发展基础性的逻辑推理能力
2．经历用逻辑推理方法推导等腰三角形两个底角相等的性质体会实验归纳和逻辑推理这两种研究方法的联系与区别
3．经历探索直角三角形全等的特殊判定方法的过程，体会演绎思想和化归思想
4．经历勾股定理的探索过程，初步认识勾股定理的重要意义
5．掌握直角三角形的性质定理和特殊直角三角形的性质定理，能运用直角三角形的有关性质解决简单的数学问题
6．经历探索直角三角形性质的过程，体会研究图形性质的方法
教学内容
一、等腰三角形定义及其性质
【知识梳理】
1．等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）；
（3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线．
【例题精讲】
例1．如图，有甲，乙两个三角形，请你用一条直线把每一个三角形分成两个等腰三角形，并标出每个三角形各角的度数．
例2．如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是__________
．
例3．探究题：
（1）问题发现：
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
填空：①∠AEB的度数为
；直接写出结论，不用证明．
②线段AD、BE之间的数量关系是
．直接写出结论，不用证明．
（2）拓展探究：
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．
猜想：①∠AEB=
°；②
（CM、AE、BE的数量关系）．
证明：
。
【巩固练习】
1．如图，∠AOB是一角度为10°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF、FG、GH…，且OE=EF=FG=GH…，在OA、OB足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为__________
．
2．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（如图1所示）
（1）请你在图2中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；
（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值．
3．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：
①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；
⑤∠AOB=60°．
其中正确的结论的个数是（
）
A.
2个B.
3个C.
4个D.
5个
二、直角三角形及全等的判定
【知识梳理】
1．定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
（1）推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°．
【说明】“推论”是从某一个定理直接推出的定理．
【例题精讲】
例1．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在边AB上，∠DEC＝900，且DE＝EC．
（1）求证：△ADE≌△BEC；
（2）若AD＝a，AE＝b，DE＝c，请用图1证明勾股定理：a2＋b2＝c2；
（3）线段AB上另有一点F（不与点E重合），且DF⊥CF（如图2），若AD＝2，BC＝4，求EF的长.
例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点．点P从点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，点P、Q同时出发，当点Q运动到点A时停止，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）D、F两点间的距离等于______；
（2）以点D为圆心，DC长为半径作圆交DE于M，能否在弧CM上找一点N，使直线QN切⊙D于N，且四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t的值．若不能，说明理由；
（3）作射线QK⊥AB，交折线BC-CA于点G，当t为何值时，点P恰好落在射线QK上；
（4）连接PG，当PG∥AB时，直接写出t的值．
【巩固练习】
1．将一块三角板的直角顶点放在正方形ABCD的对角线交点位置，两边与对角线重合如图甲，将这块三角板绕直角顶点顺时针方向旋转（旋转角小于90°）如图乙．
（1）试判断△ODE和△OCF是否全等，并证明你的结论．
（2）若正方形ABCD的对角线长为10，试求三角板和正方形重合部分的面积．
2．已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10，如图2，△DEF从图1出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速运动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B匀速移动，AC与△DEF的直角边相交于Q，当P到达终点B时，△DEF同时停止运动，连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题：
（1）△DEF在平移的过程中，当点D在Rt△ABC的边AC上时，求t的值；
（2）在移动过程中，是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，是否存在△PQE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
四、探索勾股定理
【知识梳理】
1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为和，斜边长为，那么．
【注意】应用勾股定理时，应分清直角边和斜边，避免机械地运用公式．
【说明】
（1）解决直角三角形中线段的求值问题，要首先联想到勾股定理；
（2）勾股定理是求线段长度、证明线段平方关系的重要依据．
【例题精讲】
例1．（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出S1，S2，S3之间关系．（不必证明）
（2）如图（2），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系证明；
（3）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系并证明．
【巩固练习】
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，以三边为边分别向外作正方形，如图所示，过C作CH⊥AB于H，延长CH交MN于点I．
（1）如图（1）若AC=3，BC=2，试通过计算证明：四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积．
（2）请利用图（2）证明直角三角形勾股定理：AC2+BC2=AB2．
2．已知：正方形ABCD的边长为2，△EFG为等腰直角三角形，∠EGF=90°．
（1）如图1，当点G与点D重合，点E在正方形ABCD的对角线AC上时．求AE+AF的值；
（2）如图2，当点G与点D重合，点E在线段CA的延长线上时．通过观察、计算，你能发现AF与AE有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当点G在线段DA的延长线上时，设AG=x．则线段AE、AF与x有怎样的数量关系，请说明理由．
课后巩固
●
请将本次课错题组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯
●
学霸笔记复习，培养复习习惯
1．（1）如图1，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数；
（2）如图2，点B、F、D在射线AM上，点G、C、E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA，求∠A的度数．
2．（1）已知△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）
（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．
3．如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0〕，B（3，4〕，C（0，4〕．点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度向A运动，同时点Q从B点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点Q作?QD丄x轴，垂足为点D，交AC于点E．
（1）求△APE的面积S与运动时间t（单位：秒）的函数关系式，并写出自变量t的?取值范围；
（2）当t为何值时，S的值最大；
（3）是否存在点P，使得△APE为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
4．已知：如图1，等边△OAB的边长为3，另一等腰△OCA与△OAB有公共边OA，且OC=AC，∠C=120°．现有两动点P、Q分别从B、O两点同时出发，点P以每秒3个单位的速度沿BO向点O运动，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．请回答下列问题：
（1）在运动过程中，△OPQ的面积记为S，请用含有时间t的式子表示S．
（2）在等边△OAB的边上（点A除外），是否存在点D，使得△OCD为等腰三角形？如果存在，这样的点D共有
个．
（3）如图2，现有∠MCN=60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着点C旋转，使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．
5．提出问题：
如图，在△ABC中，∠A=90°，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，小亮发现△ABC与△AEG面积相等．小亮思考：这个问题中，如果∠A≠90°，那么△ABC与△AEG面积是否仍然相等？
猜想结论：
经过研究，小亮认为：上述问题中，对于任意△ABC，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE?和正方形?ACFG，连接EG，那么△ABC与△AEG面积相等．
证明猜想：
（1）请你帮助小亮画出图形，并完成证明过程．已知：以△ABC的两边AB、AC为边长分别向外作正方形ABDE、ACFG，连接GE．求证：S△AEG=S△ABC．
结论应用：
（2）学校教学楼前的一个六边形花圃被分成七个部分，分别种上不同品种的花卉，其中四边形ABCD、CIHG、GFED均为正方形，且面积分别为9m2、5m2和4m2．求这个六边形花圃ABIHFE的面积．