(共17张PPT)
浙教版
九上数学
3.7正多边形
复习旧知
请求出十边形内角和，外角和度数.
(1)
n边形内角和为：(n－2)×180°（n≥3）
(2)
n边形的外角和为：360°
观察下面多边形，它们的边，角有什么特点？
各内角都相等，各边也都相等.
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
正八边形
观察
概念归纳
正n边形：
正多边形：
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形.
想一想：
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？
例题探究
例1
已知一个正多边形的内角为176.4°，问这个正多边形是几边形？有没有内角为100°的正多边形？
解：设正多边形的边数为n，由内角为176.4°得
解得n=100
所以内角为176.4°的正多边形是100边形.
设正n边形的内角为100°
，则
解得n=4.5
因为n应是整数，所以不存在内角为100°的正多边形.
Ａ
Ｅ
Ｄ
Ｃ
Ｂ
如图，已知正五边形ABCDE.用直尺和圆规作出它的外接圆。
画一画
如图,
把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到五边形ABCDE.
∴
AB=BC=CD=DE=EA,
∴
∠A=∠B.
·
A
B
C
D
E
O
同理∠B
=
∠C
=
∠D
=
∠E.
又∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上,
∴
五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形,
⊙O是五边形ABCDE的外接圆.
∵
∵，
学习概念
正多边形的外接圆
我们把经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形叫做圆内接正多边形.
任何正多边形都有一个外接圆.
把圆分成n(n≥3)等份；依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
证明猜想
例2
如图，已知⊙O，用直尺和圆规作⊙O的内接正六边形.
作法：1.在⊙O上任取一点A.从点A开始，以⊙O的半径为半径，在⊙O上依次截取点B，C，D，E，F.
2.依次连结AB，BC，CD，DE，EF，FA.
所得的六边形ABCDEF就是所求作的⊙O的内接正六边形.
很明显，AB=BC=CD=DE=EF=60°.
∴
FA=360°-5×60°=60°=AB.
所以点A，B，C，D，E，F把⊙O六等分，即六边形ABCDEF是圆内接正六边形.
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
A
B
C
E
F
·
D
你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有什么数量关系？为什么？
正六边形的半径与边长数量关系是相等.
正五边形
正六边形
正七边形
正八边形
正n边形
中心对称
轴对称
对称轴条数
正多边形的对称性
√
5
√
√
6
√
√
√
7
8
n为偶数是
√
n
归纳：
1、正多边形都是轴对称图形，正n边形有n条对称轴.
2、如果一个正多边形有偶数条边，那么它又是中心对称图形.
问题探究
1.如果正多边形的每一个外角是36°，那么这个正多边形的边数是（
）
A.10
B.8
C.6
D.5
2.如图所示为折幸运星的第一步图解，即将纸带打一个结并拉紧压平，图中AB是折出的正五边形的一条边，点
C
是折叠后最右边的端点，则∠ABC的度数为（
）
A.108°
B.120°
C.144°
D.135°
课堂练习
A
C
3.如图所示，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD＝___
_．
?
4.某活动小组为开展综合实践活动，要用60
m长的木栅栏围成正多边形，活动小组准备从正三角形、正方形、正六边形中选一个，那么选__
__
面积最大．
72°
正六边形
5.如图所示，以正六边形ABCDEF的边AB为边，在正六边形内作正方形ABMN，连结MC.求∠BCM的度数.
解：∵六边形ABCDEF为正六边形，
?
∴∠ABC=120°，AB=BC.
?
∵四边形ABMN为正方形，
?
∴∠ABM=90°，AB=BM.
?
∴∠MBC=120°-90°=30°，BM=BC.
?
∴∠BCM=∠BMC=×(180°-30°)=75°.
课堂小结
1.
圆的内接正多边形
2.
正多边形的画法
我们把经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形叫做圆内接正多边形.
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浙教版数学九年级上册3.7正多边形导学案
课题
正多边形
单元
3
学科
数学
年级
九年级
知识目标
1、了解正多边形的概念、正多边形与圆的关系.
2、会判断一个正多边形是轴对称图形还是中心对称图形.
重点难点
重点：正多边形的概念及等分圆周的方法.
难点：正多边形的性质的应用及画正n边形的方法.
教学过程
知识链接
请求出十边形内角和，外角和的度数.
合作探究
一、教材第98页
观察下面多边形，它们的边，角有什么特点？
边：
；角：
。
归纳：正多边形的概念
。
二、教材第98页
例1
已知一个正多边形的内角为176.4°，这个正多边形是几边形？有没有内角为100°的正多边形？
三、教材99页
圆内接多边形：
。
多边形外接圆：
。
四、教材99页
例2
如图，已知⊙O，用直尺和圆规作⊙O的内接正六边形.
自主尝试
1．如下图，ABCD为圆的内接正方形，AD=4，弦AE平分BC交BC于M，则CE的长为(
)
.
A.2
B.2
C.2
D.
2.
如图，要拧开一个边长为a＝6
mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为(
)
A．6mm
B．12
mm
C．6mm
D．4mm
3.
小敏在作⊙O的内接正五边形时，先做了如下几个步骤∶
(1)作⊙O的两条互相垂直的直径，再作OA的垂直平分线交OA于点M，如图1；
(2)以
M为圆心，BM长为半径作圆弧，交CA于点D，连结BD，如图2.若⊙O的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是(
)
A．BD2＝OD
B．BD2＝
OD
C．BD2＝OD
D．BD2＝OD
【方法宝典】
根据正多边形的性质解答即可
当堂检测
1．若一个正多边形的每个内角为156°，则这个正多边形的边数是( )
A．13
B．14
C．15
D．16
2．若一个正多边形的每个外角都是36°，则这个正多边形的边数是( )
A．9
B．10
C．11
D．12
3．下列说法正确的是( )
A．在圆的内部的正多边形叫做圆内接正多边形
B．经过四边形的各个顶点的圆叫做这个四边形的外接圆
C．任意一个四边形都有外接圆
D．一个圆只有唯一一个内接四边形
4．如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝2，P是ED的中点，连结AP，则AP的长为( )
A．2
B．4
C.
D.
5．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边长作三角形，则该三角形的面积是( )
A.
B.
C.
D.
6.如图所示，一个正
n
边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是
40°，则
n=
.
7.如图所示，AE，
是正八边形
ABCDEFGH
的一条对角线，则∠BAE=
。
8.如图所示，小亮将边长为
3
的正方形铁丝框
ABCD
变形为正六边形
EFMNPQ（忽略铁丝的粗细），则所
得正六边形的面积为
.
9.如图所示，已知正五边形ABCDE，AC，BD相交于点P.
(1)求∠APB的度数；
(2)求证：AC＝AB＋BP.
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案：
当堂检测：
1.C
2.B
3.B
4.C
5.A
6.9
7.
67.5°
8.6
解：(1)∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝108°，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠CBD＝∠BDC＝＝36°，
∴∠APB＝∠PBC＋∠ACB＝72°.
(2)证明：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，
∴∠BAC＝××360°＝36°，
∴∠ABP＝××360°＝72°，
∴∠ABP＝∠APB；
∴AB＝AP；
同理可证：∠PBC＝∠PCB＝36°.
∴PB＝PC，
∴AC＝AB＋BP.
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精品试卷·第
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