2020-2021学年浙教新版九年级下册数学《第2章 直线与圆的位置关系》单元测试卷（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年浙教新版九年级下册数学《第2章 直线与圆的位置关系》单元测试卷（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 469.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-04 22:32:36 | ||
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文档简介
2020-2021学年浙教新版九年级下册数学《第2章
直线与圆的位置关系》单元测试卷
一．选择题
1．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（ ）
A．50°
B．55°
C．60°
D．65°
2．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
3．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是（ ）
A．（5，2）
B．（2，4）
C．（1，4）
D．（6，2）
4．如图，在?ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB＝4，BE＝5，则DE的长为（ ）
A．3
B．4
C．
D．
5．如图，在△ABC中，点D是△ABC的内心，连接DB，DC，过点D作EF∥BC分别交AB、AC于点E、F，若BE+CF＝8，则EF的长度为（ ）
A．4
B．5
C．8
D．16
6．如图，点I为△ABC的内心，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝2cm，将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．1cm
B．2cm
C．3cm
D．4cm
7．若直线l与半径为10的⊙O相交，则圆心O与直线l的距离d为（ ）
A．d＜10
B．d＞10
C．d＝10
D．d≤10
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A'B'C'D'的边A'B'与⊙O相切，切点为E，边CD'与⊙O相交于点F，则CF的长为（ ）
A．2.5
B．1.5
C．3
D．4
9．如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（ ）
A．π
B．2π
C．4π
D．0.5π
10．如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（ ）
A．100°
B．160°
C．80°
D．130°
二．填空题
11．如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，PC切半圆与点C，已知PC＝3，PB＝1，则该半圆的半径为
．
12．已知直角梯形ABCD的四条边长分别为AB＝2，BC＝CD＝10，AD＝6，过B、D两点作圆，与BA的延长线交于点E，与CB的延长线交于点F，则BE﹣BF的值为
．
13．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为
．
14．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝110°，则∠COD的度数是
°．
15．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，且∠BAC＝35°，则∠P＝
度．
16．如图，PA与⊙O切于点A，PO的延长线交⊙O于点B，若⊙O的半径为3，∠APB＝54°，则弧AB的长度为
．
17．直线y＝kx+6k交x轴于点A，交y轴于点B，以原点O为圆心，3为半径的⊙O与l相交，则k的取值范围为
．
18．如图，已知圆O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则圆O的半径为
．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线BD上的动点，以BP为直径作圆，当圆与矩形ABCD的边相切时，BP的长为
．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，点D在边BC上，CD＝6，BD＝10．点P是线段AD上一动点，当半径为4的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为
．
三．解答题
21．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于F，弦AD平分∠CAB，DE⊥AC，垂足为E．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若⊙O的半径为3，若∠CAB＝60°，求线段EF．
22．如图，△ABC的外角∠BAM的平分线与它的外接圆相交于点E，连接BE，CE，过点E作EF∥BC，交CM于点D．
求证：（1）BE＝CE；
（2）EF为⊙O的切线．
23．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD切⊙O于点C，且∠DAC＝∠BAC．
（1）试说明：AD⊥CD；
（2）若AD＝4，AB＝6，求AC．
24．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝20°，求∠P的度数．
25．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，PEC是一条割线，D是AB与PC的交点，若PE＝2，CD＝1，求DE的长．
26．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，交BC于F．
（1）若∠ABC＝40°，∠C＝80°，求∠CBD的度数；
（2）求证：DB＝DE；
（3）若AB＝6，AC＝4，BC＝5，求DE的长．
27．已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）当BC＝5，AD＝2时，求⊙O的半径．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．
解：连接BC，
∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，
∴BD＝DC，
∵∠ACE＝25°，
∴∠ABC＝25°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝50°．
故选：A．
2．解：连接OB，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD＝90°，
∵四边形OABC为菱形，
∴OA＝AB，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ODB＝30°，
∴OD＝2OB＝2，
由勾股定理得，BD＝＝，
故选：C．
3．解：如图，
过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，
能够与该圆弧相切的格点坐标是（6，2）．
故选：D．
4．解：连接CE；
∵，
∴∠BAE＝∠EBC+∠BEC；
∵∠DCB＝∠DCE+∠BCE，
由弦切角定理知：∠DCE＝∠EBC，
由平行四边形的性质知：∠DCB＝∠BAE，
∴∠BEC＝∠BCE，即BC＝BE＝5，
∴AD＝5；
由切割线定理知：DE＝DC2÷DA＝，
故选：D．
5．解：∵点D是△ABC的内心，
∴BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，
∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，
∴ED＝EB，FD＝FC，
∴EF＝ED+FD＝BE+CF＝8．
答：EF的长度为8．
故选：C．
6．解：如图，连接AI，BI，
∵点I为△ABC的内心，
∴IA和IB分别平分∠CAB和∠CBA，
∴∠CAI＝∠DAI，∠CBI＝∠EBI，
∵将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，
∴DI∥AC，EI∥BC，
∴∠CAI＝∠DIA，∠CBI＝∠EIB，
∴∠DAI＝∠DIA，∠EBI＝∠EIB，
∴DA＝DI，EB＝EI，
∴DE+DI+EI＝DE+DA+EB＝AB＝4．
所以图中阴影部分的周长为4．
故选：D．
7．解：∵⊙O的半径为10，直线l与⊙O相交，
∴圆心到直线的距离小于圆的半径，
即d＜10．
故选：A．
8．解：如图，连接OE并延长交CF于点H，
∵矩形ABCD绕点C旋转得矩形A'B'C'D'，
∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，A′B′∥CD′，
BC＝B′C＝4，
∵边A'B'与⊙O相切，切点为E，
∴OE⊥A′B′，
∴四边形EB′CH是矩形，
∴EH＝B′C＝4，
OH⊥CF，
∵AB＝5，
∴OE＝OC＝AB＝，
∴OH＝EH﹣OE＝，
在Rt△OCH中，根据勾股定理，得
CH＝＝＝2，
∴CF＝2CH＝4．
故选：D．
9．解：设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，
连接OE，OF，
则四边形OECF是正方形，
∴CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，
∵∠MON＝90°，
∴∠EOM＝∠FON，
∴△OEM≌△OFN（ASA），
∴EM＝NF，
∴CM+CN＝CE+CF＝4，
∴OE＝2，
∴⊙O的面积为4π，
故选：C．
10．解：∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°，
∵点O是△ABC的内心，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°．
故选：D．
二．填空题
11．解：∵PC切半圆与点C，
∴PC2＝PA?PB，
即PA＝9，
则AB＝9﹣1＝8，
则圆的半径是4．
故答案为4．
12．解：延长CD交⊙O于点G，
设BE，DG的中点分别为点M，N，则易知AM＝DN，
∵BC＝CD＝10，由割线定理得，CB?CF＝CD?CG，
∵CB＝CD，
∴BF＝DG，
∴BE﹣BF＝BE﹣DG＝2（BM﹣DN）＝2（BM﹣AM）＝2AB＝4．
故答案为：4．
13．解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，
∴AD+BC＝AB+CD＝25，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝25+25＝50，
故答案为：50．
14．解：如图所示：连接圆心与各切点，
在Rt△DEO和Rt△DFO中
，
∴Rt△DEO≌Rt△DFO（HL），
∴∠1＝∠2，
同理可得：Rt△AFO≌Rt△AMO，Rt△BMO≌Rt△BNO，
Rt△CEO≌Rt△CNO，
∴∠3＝∠4，∠5＝∠7，∠6＝∠8，
∴∠5+∠6＝∠7+∠8＝110°，
∴2∠2+2∠3＝360°﹣2×110°，
∴∠2+∠3＝∠DOC＝70°．
故答案为：70°．
15．解：连接OB；
∵PA、PB都是⊙O的切线，且切点为A、B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB+∠P＝180°；
在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝180°﹣2∠BAC；
∴∠P＝2∠BAC＝70°．
16．解：连接OA，
∵PA与⊙O切于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°，
∵∠APB＝54°，
∴∠AOB＝∠APB+∠PAO＝54°+90°＝144°，
∵⊙O的半径为3，
∴弧AB的长度为＝π．
故答案为：π．
17．解：∵直线y＝kx+6k交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（﹣6，0），B（0，6k），
设⊙O与AB相切于C，
连接OC，
∴OA＝6，OC＝3，∠ACO＝90°，
∴OC＝OA，
∴∠OAC＝30°，
当⊙O与l相交时，OB＝|6k|＞2，
∴﹣＜k＜，
故答案为﹣＜k＜．
18．解：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴AC＝＝5，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴BD＝BF，AD＝AE，CF＝CE，
如图，连接OE，OF，
∵OE⊥AC，OF⊥BC，OE＝OF，
∴∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°，
∴四边形OECF是正方形，
设OE＝OF＝CE＝CF＝x，则AD＝AE＝5﹣x，BF＝BD＝12﹣x，
∵AD+BD＝13，
∴5﹣x+12﹣x＝13，
∴x＝2，
则圆O的半径为2．
故答案为：2．
19．解：BP为直径的圆的圆心为O，作OE⊥AD于E，OF⊥CD于F，如图，
设⊙O的半径为r，
在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，
∴BD＝＝5，
当OE＝OB时，⊙O与AD相切，
∵OE∥AB，
∴＝，即＝，解得r＝，
此时BP＝2r＝；
当OF＝OB时，⊙O与DC相切，
∵OF∥BC，
∴＝，即＝，解得r＝，
此时BP＝2r＝；
综上所述，BP的长为或．
故答案为或．
20．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BD+CD＝16，
∴AB＝8，
在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝8，CD＝6，
∴AD＝10，
当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝4，
过P作PH⊥BC于H，
则PH＝4，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥AC，
∴△DPH∽△DAC，
∴＝，
∴＝，
∴PD＝5，
∴AP＝5；
当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离＝4，
过P作PG⊥AB于G，
则PG＝4，
∵AD＝BD＝10，
∴∠PAG＝∠B，
∵∠AGP＝∠C＝90°，
∴△AGP∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
∴AP＝4，
当半径为4的⊙P与△ABC的AC边相切，
过P作PM⊥AC于M，
∴PM＝4，
∴，
∴＝，
∴AP＝，
综上所述，AP的长为5或或4，
故答案为：5或或4．
三．解答题
21．解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：
连结OD．
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，即∠AED＝90°，
∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）过O作OG⊥AF于G，
∴AF＝2AG，
∵∠BAC＝60°，OA＝3，
∴AG＝OA＝，
∴AF＝3，
∴AF＝OD，
∴四边形AODF是菱形，
∴DF∥OA，DF＝OA＝3，
∴∠EFD＝∠BAC＝60°，
∴EF＝DF＝．
22．证明：（1）∵四边形ACBE是圆内接四边形，
∴∠EAM＝∠EBC，
∵AE平分∠BAM，
∴∠BAE＝∠EAM，
∵∠BAE＝∠BCE，
∴∠BCE＝∠EAM，
∴∠BCE＝∠EBC，
∴BE＝CE；
（2）如图，连接EO并延长交BC于H，连接OB，OC，
∵OB＝OC，EB＝EC，
∴直线EO垂直平分BC，
∴EH⊥BC，
∴EH⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF为⊙O的切线．
23．（1）证明：连接OC；
∵CD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD，
∵OC＝OA，
∴∠BAC＝∠OCA，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∴AD⊥CD；
（2）解：连接BC，∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在△ADC与△ACB中，，
∴△ADC∽△ACB，
∴＝，
即AC2＝AD?AB，
∵AD＝4，AB＝6，
∴AC＝＝2．
24．解：根据切线的性质得：∠PAC＝90°，
所以∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣20°＝70°，
根据切线长定理得PA＝PB，
所以∠PAB＝∠PBA＝70°，
所以∠P＝180°﹣70°×2＝40°．
25．解：连接PO交AB于H，OP平分∠APB，而PA＝PB，
∴PO⊥AB，
设DE＝x，由切割线定理可知：PA2＝PE?PC＝2（x+3）．
在Rt△APH中，AP2＝AH2+PH2，即AH2+PH2＝2（x+3）①，
在Rt△PHD中，PH2+DH2＝（x+2）2②，
又AD?DB＝ED?DC，而AD?DB＝（AH﹣DH）（AH+DH）＝AH2﹣DH2，
∴AH2﹣DH2＝x×1③，
由①②③得（x+2）2+x＝2（x+3），
解得DE＝x＝．
26．解：（1）∵∠ABC＝40°，∠C＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠CAD＝∠BAD＝BAC＝30°，
∴∠CBD＝∠CAD＝30°．
答：∠CBD的度数为30°；
（2）证明：如图，连接BE，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠2＝∠6，
∴∠1＝∠6，
∵∠5＝∠1+∠3，
∠DBE＝∠6+∠4＝∠1+∠3，
∴∠5＝∠DBE，
∴DB＝DE；
（3）∵∠1＝∠2，AB＝6，AC＝4，BC＝5，
∴＝＝，
∴BF＝3，CF＝2，
∵∠6＝∠2，∠D＝∠C，
∴△BDF∽△ACF，
∴＝＝＝2，＝，
∴DF＝BD，
DF?AF＝BF?CF＝6，
∵∠1＝∠2＝∠6，∠BDF＝∠ADB，
∴△DBF∽△DAB，
∴＝，
∴BD2＝DF?DA＝DF（AF+DF）＝DF?AF+DF2＝6+（BD）2，
解得BD＝2，
∴DE＝BD＝2．
答：DE的长为2．
27．解：（1）如图，连接OE、OD，
在ΔAOD和ΔEOD中，
∵OA＝OE，DE＝DA，OD＝OD，
∴ΔAOD≌ΔEOD（SSS），
∴∠OED＝∠BAC＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵ΔAOD≌ΔEOD，
∴∠AOD＝∠EOD，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∵∠AOE＝∠B+∠OEB，
∴∠BEO＝∠EOD，
∴OD∥BC，
又∵AO＝BO，
∴，
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
，
即：⊙O的半径为．
直线与圆的位置关系》单元测试卷
一．选择题
1．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（ ）
A．50°
B．55°
C．60°
D．65°
2．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
3．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是（ ）
A．（5，2）
B．（2，4）
C．（1，4）
D．（6，2）
4．如图，在?ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB＝4，BE＝5，则DE的长为（ ）
A．3
B．4
C．
D．
5．如图，在△ABC中，点D是△ABC的内心，连接DB，DC，过点D作EF∥BC分别交AB、AC于点E、F，若BE+CF＝8，则EF的长度为（ ）
A．4
B．5
C．8
D．16
6．如图，点I为△ABC的内心，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝2cm，将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．1cm
B．2cm
C．3cm
D．4cm
7．若直线l与半径为10的⊙O相交，则圆心O与直线l的距离d为（ ）
A．d＜10
B．d＞10
C．d＝10
D．d≤10
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A'B'C'D'的边A'B'与⊙O相切，切点为E，边CD'与⊙O相交于点F，则CF的长为（ ）
A．2.5
B．1.5
C．3
D．4
9．如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（ ）
A．π
B．2π
C．4π
D．0.5π
10．如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（ ）
A．100°
B．160°
C．80°
D．130°
二．填空题
11．如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，PC切半圆与点C，已知PC＝3，PB＝1，则该半圆的半径为
．
12．已知直角梯形ABCD的四条边长分别为AB＝2，BC＝CD＝10，AD＝6，过B、D两点作圆，与BA的延长线交于点E，与CB的延长线交于点F，则BE﹣BF的值为
．
13．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为
．
14．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝110°，则∠COD的度数是
°．
15．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，且∠BAC＝35°，则∠P＝
度．
16．如图，PA与⊙O切于点A，PO的延长线交⊙O于点B，若⊙O的半径为3，∠APB＝54°，则弧AB的长度为
．
17．直线y＝kx+6k交x轴于点A，交y轴于点B，以原点O为圆心，3为半径的⊙O与l相交，则k的取值范围为
．
18．如图，已知圆O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则圆O的半径为
．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线BD上的动点，以BP为直径作圆，当圆与矩形ABCD的边相切时，BP的长为
．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，点D在边BC上，CD＝6，BD＝10．点P是线段AD上一动点，当半径为4的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为
．
三．解答题
21．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于F，弦AD平分∠CAB，DE⊥AC，垂足为E．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若⊙O的半径为3，若∠CAB＝60°，求线段EF．
22．如图，△ABC的外角∠BAM的平分线与它的外接圆相交于点E，连接BE，CE，过点E作EF∥BC，交CM于点D．
求证：（1）BE＝CE；
（2）EF为⊙O的切线．
23．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD切⊙O于点C，且∠DAC＝∠BAC．
（1）试说明：AD⊥CD；
（2）若AD＝4，AB＝6，求AC．
24．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝20°，求∠P的度数．
25．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，PEC是一条割线，D是AB与PC的交点，若PE＝2，CD＝1，求DE的长．
26．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，交BC于F．
（1）若∠ABC＝40°，∠C＝80°，求∠CBD的度数；
（2）求证：DB＝DE；
（3）若AB＝6，AC＝4，BC＝5，求DE的长．
27．已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）当BC＝5，AD＝2时，求⊙O的半径．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．
解：连接BC，
∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，
∴BD＝DC，
∵∠ACE＝25°，
∴∠ABC＝25°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝50°．
故选：A．
2．解：连接OB，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD＝90°，
∵四边形OABC为菱形，
∴OA＝AB，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ODB＝30°，
∴OD＝2OB＝2，
由勾股定理得，BD＝＝，
故选：C．
3．解：如图，
过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，
能够与该圆弧相切的格点坐标是（6，2）．
故选：D．
4．解：连接CE；
∵，
∴∠BAE＝∠EBC+∠BEC；
∵∠DCB＝∠DCE+∠BCE，
由弦切角定理知：∠DCE＝∠EBC，
由平行四边形的性质知：∠DCB＝∠BAE，
∴∠BEC＝∠BCE，即BC＝BE＝5，
∴AD＝5；
由切割线定理知：DE＝DC2÷DA＝，
故选：D．
5．解：∵点D是△ABC的内心，
∴BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，
∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，
∴ED＝EB，FD＝FC，
∴EF＝ED+FD＝BE+CF＝8．
答：EF的长度为8．
故选：C．
6．解：如图，连接AI，BI，
∵点I为△ABC的内心，
∴IA和IB分别平分∠CAB和∠CBA，
∴∠CAI＝∠DAI，∠CBI＝∠EBI，
∵将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，
∴DI∥AC，EI∥BC，
∴∠CAI＝∠DIA，∠CBI＝∠EIB，
∴∠DAI＝∠DIA，∠EBI＝∠EIB，
∴DA＝DI，EB＝EI，
∴DE+DI+EI＝DE+DA+EB＝AB＝4．
所以图中阴影部分的周长为4．
故选：D．
7．解：∵⊙O的半径为10，直线l与⊙O相交，
∴圆心到直线的距离小于圆的半径，
即d＜10．
故选：A．
8．解：如图，连接OE并延长交CF于点H，
∵矩形ABCD绕点C旋转得矩形A'B'C'D'，
∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，A′B′∥CD′，
BC＝B′C＝4，
∵边A'B'与⊙O相切，切点为E，
∴OE⊥A′B′，
∴四边形EB′CH是矩形，
∴EH＝B′C＝4，
OH⊥CF，
∵AB＝5，
∴OE＝OC＝AB＝，
∴OH＝EH﹣OE＝，
在Rt△OCH中，根据勾股定理，得
CH＝＝＝2，
∴CF＝2CH＝4．
故选：D．
9．解：设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，
连接OE，OF，
则四边形OECF是正方形，
∴CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，
∵∠MON＝90°，
∴∠EOM＝∠FON，
∴△OEM≌△OFN（ASA），
∴EM＝NF，
∴CM+CN＝CE+CF＝4，
∴OE＝2，
∴⊙O的面积为4π，
故选：C．
10．解：∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°，
∵点O是△ABC的内心，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°．
故选：D．
二．填空题
11．解：∵PC切半圆与点C，
∴PC2＝PA?PB，
即PA＝9，
则AB＝9﹣1＝8，
则圆的半径是4．
故答案为4．
12．解：延长CD交⊙O于点G，
设BE，DG的中点分别为点M，N，则易知AM＝DN，
∵BC＝CD＝10，由割线定理得，CB?CF＝CD?CG，
∵CB＝CD，
∴BF＝DG，
∴BE﹣BF＝BE﹣DG＝2（BM﹣DN）＝2（BM﹣AM）＝2AB＝4．
故答案为：4．
13．解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，
∴AD+BC＝AB+CD＝25，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝25+25＝50，
故答案为：50．
14．解：如图所示：连接圆心与各切点，
在Rt△DEO和Rt△DFO中
，
∴Rt△DEO≌Rt△DFO（HL），
∴∠1＝∠2，
同理可得：Rt△AFO≌Rt△AMO，Rt△BMO≌Rt△BNO，
Rt△CEO≌Rt△CNO，
∴∠3＝∠4，∠5＝∠7，∠6＝∠8，
∴∠5+∠6＝∠7+∠8＝110°，
∴2∠2+2∠3＝360°﹣2×110°，
∴∠2+∠3＝∠DOC＝70°．
故答案为：70°．
15．解：连接OB；
∵PA、PB都是⊙O的切线，且切点为A、B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB+∠P＝180°；
在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝180°﹣2∠BAC；
∴∠P＝2∠BAC＝70°．
16．解：连接OA，
∵PA与⊙O切于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°，
∵∠APB＝54°，
∴∠AOB＝∠APB+∠PAO＝54°+90°＝144°，
∵⊙O的半径为3，
∴弧AB的长度为＝π．
故答案为：π．
17．解：∵直线y＝kx+6k交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（﹣6，0），B（0，6k），
设⊙O与AB相切于C，
连接OC，
∴OA＝6，OC＝3，∠ACO＝90°，
∴OC＝OA，
∴∠OAC＝30°，
当⊙O与l相交时，OB＝|6k|＞2，
∴﹣＜k＜，
故答案为﹣＜k＜．
18．解：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴AC＝＝5，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴BD＝BF，AD＝AE，CF＝CE，
如图，连接OE，OF，
∵OE⊥AC，OF⊥BC，OE＝OF，
∴∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°，
∴四边形OECF是正方形，
设OE＝OF＝CE＝CF＝x，则AD＝AE＝5﹣x，BF＝BD＝12﹣x，
∵AD+BD＝13，
∴5﹣x+12﹣x＝13，
∴x＝2，
则圆O的半径为2．
故答案为：2．
19．解：BP为直径的圆的圆心为O，作OE⊥AD于E，OF⊥CD于F，如图，
设⊙O的半径为r，
在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，
∴BD＝＝5，
当OE＝OB时，⊙O与AD相切，
∵OE∥AB，
∴＝，即＝，解得r＝，
此时BP＝2r＝；
当OF＝OB时，⊙O与DC相切，
∵OF∥BC，
∴＝，即＝，解得r＝，
此时BP＝2r＝；
综上所述，BP的长为或．
故答案为或．
20．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BD+CD＝16，
∴AB＝8，
在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝8，CD＝6，
∴AD＝10，
当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝4，
过P作PH⊥BC于H，
则PH＝4，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥AC，
∴△DPH∽△DAC，
∴＝，
∴＝，
∴PD＝5，
∴AP＝5；
当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离＝4，
过P作PG⊥AB于G，
则PG＝4，
∵AD＝BD＝10，
∴∠PAG＝∠B，
∵∠AGP＝∠C＝90°，
∴△AGP∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
∴AP＝4，
当半径为4的⊙P与△ABC的AC边相切，
过P作PM⊥AC于M，
∴PM＝4，
∴，
∴＝，
∴AP＝，
综上所述，AP的长为5或或4，
故答案为：5或或4．
三．解答题
21．解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：
连结OD．
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，即∠AED＝90°，
∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）过O作OG⊥AF于G，
∴AF＝2AG，
∵∠BAC＝60°，OA＝3，
∴AG＝OA＝，
∴AF＝3，
∴AF＝OD，
∴四边形AODF是菱形，
∴DF∥OA，DF＝OA＝3，
∴∠EFD＝∠BAC＝60°，
∴EF＝DF＝．
22．证明：（1）∵四边形ACBE是圆内接四边形，
∴∠EAM＝∠EBC，
∵AE平分∠BAM，
∴∠BAE＝∠EAM，
∵∠BAE＝∠BCE，
∴∠BCE＝∠EAM，
∴∠BCE＝∠EBC，
∴BE＝CE；
（2）如图，连接EO并延长交BC于H，连接OB，OC，
∵OB＝OC，EB＝EC，
∴直线EO垂直平分BC，
∴EH⊥BC，
∴EH⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF为⊙O的切线．
23．（1）证明：连接OC；
∵CD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD，
∵OC＝OA，
∴∠BAC＝∠OCA，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∴AD⊥CD；
（2）解：连接BC，∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在△ADC与△ACB中，，
∴△ADC∽△ACB，
∴＝，
即AC2＝AD?AB，
∵AD＝4，AB＝6，
∴AC＝＝2．
24．解：根据切线的性质得：∠PAC＝90°，
所以∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣20°＝70°，
根据切线长定理得PA＝PB，
所以∠PAB＝∠PBA＝70°，
所以∠P＝180°﹣70°×2＝40°．
25．解：连接PO交AB于H，OP平分∠APB，而PA＝PB，
∴PO⊥AB，
设DE＝x，由切割线定理可知：PA2＝PE?PC＝2（x+3）．
在Rt△APH中，AP2＝AH2+PH2，即AH2+PH2＝2（x+3）①，
在Rt△PHD中，PH2+DH2＝（x+2）2②，
又AD?DB＝ED?DC，而AD?DB＝（AH﹣DH）（AH+DH）＝AH2﹣DH2，
∴AH2﹣DH2＝x×1③，
由①②③得（x+2）2+x＝2（x+3），
解得DE＝x＝．
26．解：（1）∵∠ABC＝40°，∠C＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠CAD＝∠BAD＝BAC＝30°，
∴∠CBD＝∠CAD＝30°．
答：∠CBD的度数为30°；
（2）证明：如图，连接BE，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠2＝∠6，
∴∠1＝∠6，
∵∠5＝∠1+∠3，
∠DBE＝∠6+∠4＝∠1+∠3，
∴∠5＝∠DBE，
∴DB＝DE；
（3）∵∠1＝∠2，AB＝6，AC＝4，BC＝5，
∴＝＝，
∴BF＝3，CF＝2，
∵∠6＝∠2，∠D＝∠C，
∴△BDF∽△ACF，
∴＝＝＝2，＝，
∴DF＝BD，
DF?AF＝BF?CF＝6，
∵∠1＝∠2＝∠6，∠BDF＝∠ADB，
∴△DBF∽△DAB，
∴＝，
∴BD2＝DF?DA＝DF（AF+DF）＝DF?AF+DF2＝6+（BD）2，
解得BD＝2，
∴DE＝BD＝2．
答：DE的长为2．
27．解：（1）如图，连接OE、OD，
在ΔAOD和ΔEOD中，
∵OA＝OE，DE＝DA，OD＝OD，
∴ΔAOD≌ΔEOD（SSS），
∴∠OED＝∠BAC＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵ΔAOD≌ΔEOD，
∴∠AOD＝∠EOD，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∵∠AOE＝∠B+∠OEB，
∴∠BEO＝∠EOD，
∴OD∥BC，
又∵AO＝BO，
∴，
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
，
即：⊙O的半径为．