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浙教版数学七年级上册6.8余角与补角导学案
课题
余角与补角
单元
6
学科
数学
年级
七年级
知识目标
1.
在具体的情境中了解余角与补角的概念，理解余角与补角的性质.
2.
通过具体图形的操作，认识余角、补角，培养学生的观察力，能把实际问题转化为数学问题，培养学生对数学的好奇心与求知欲.
3.
会利用方程思想及图形求角，能理解同角(等角)的余角(补角)相等.
重点难点
重点：认识角的互余、互补关系.
难点：余角、补角的性质及应用.
教学过程
知识链接
如图，两堵墙围成一个角AOB,我们如何去测量这个角的大小呢？
合作探究
一、教材第163页
观察图，∠1+∠2与Rt∠AOB相等，∠3+∠4与Rt∠AOB相等吗？
你是怎样判断的？
总结：
互为余角：
。
二、教材第163页
观察图，∠α+∠β与∠AOB相等吗？你是怎样判断的？
总结：互为补角：
。
三、教材第164页
如图（a），∠1与∠2互补，∠1与∠3互补，
那么∠2与∠3的大小有什么关系？
归纳：
。
（2）如图(b),∠4与∠5互余，∠4与∠6互余,那么∠5与∠6的大小有什么关系？
归纳：
。
四、教材第164页
例1、如图，已知∠AOC
=∠BOD
=Rt∠.指出图中还有哪些角相等，并说明理由.
五、教材第165页
例2、已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数.
自主尝试
下列说法正确的是(
)
A.一个锐角的余角是一个锐角
B.任何一个角都有余角
C.若∠1+∠2+∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互余
D.一个角的补角一定大于这个角
2.若∠α=90°-m°,∠β=90°+m°,则∠α与∠β的关系是(
)
A.互补
B.互余
C.和为钝角
D.和为周角
3.如图,A,O,B三点在一条直线上,已知∠AOD=25°,∠COD=90°,则∠BOC的度数为( )
A.25°
B.85°
C.115°
D.155°
【方法宝典】
根据角余角与补角的概念以及性质进行解题即可.
当堂检测
1．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在边AC，AB上．若∠B=∠ADE，则下列结论正确的是（ ）
A．∠A和∠B互为补角
B．∠B和∠ADE互为补角
C．∠A和∠ADE互为余角
D．∠AED和∠DEB互为余角
2．如图，OA⊥OB，∠1=35°，则∠2的度数是（ ）
A．35°
B．45°
C．55°
D．70°
3.在直线AB上任取一点O,过点O作射线OC,OD,使∠COD=90°,当∠AOC=30°时,∠BOD的大小是( )
A.60°
B.120°
C.60°或90°
D.60°或120°
如图,已知∠COE=∠BOD=∠AOC=90°,则图中与∠BOC相等的角为_______,与∠BOC互补的角为_______,与∠BOC互余的角为________.
5.∠1与∠2互余，∠1=38°12′，∠2=_____，∠2的补角等于_____.
6.如图，桌面上平放着一块三角板和一把直尺，小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还是将三角板沿直尺平移，∠1与∠2的和总是保持不变，那么∠1与∠2的关系是________.
7.
如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，绕点O任意转动其中一个三角尺，则与∠AOD始终相等的角是 ．
8.
互余的两个角的度数之比为3∶7,则这两个角的度数分别是多少?
9.如图，已知点O是直线上一点，OC是任一条射线，OD，OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线.
(1)请你直接写出图中∠BOD的补角、∠BOE的余角；
(2)当∠BOE=25°时，试求∠DOE和∠AOD的度数分别是多少？
10.如图，射线OC，OD在∠AOB的内部，∠AOC=∠AOB，OD平分∠BOC，∠BOD与∠AOC互余，求∠AOB的度数.
11.
按如图所示的方法折纸,然后回答问题:
(1)∠2是多少度的角?为什么?
(2)∠1与∠3有何关系?
(3)∠1与∠AEC,∠3和∠BEF分别有何关系?
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案：
当堂检测：
1.C
2.C
3.D
4.
∠DOE
；
∠AOD
；∠COD和∠AOB
5.
51°48′；
128°12′
6.
互余
7.
∠BOC
8．设这两个角的度数分别为3x°,7x°,
由题意,得3x°+7x°=90°,解得x°=9°,3x°=27°,7x°=63°.
答:这两个角的度数分别是27°,63°.
9.(1)∠DOB的补角：∠AOD、∠COD.∠BOE的余角：∠AOD、∠COD.
(2)因为OE平分∠BOC，
所以∠BOC=2∠BOE=50°.
所以∠AOC=180°-∠BOC=130°.
因为OD平分∠AOC，
所以∠AOD=∠COD=∠AOC=65°.
所以∠DOE=∠COD+∠COE=65°+25°=90°.
10.设∠AOC=x°.因为∠AOC=∠AOB，
所以∠AOB=5x°，∠BOC=4x°.
因为OD平分∠BOC，
所以∠BOD=∠BOC=2x°.
因为∠BOD与∠AOC互余，
所以2x+x=90.
解得x=30.
所以5x=150.
答：∠AOB的度数为150°.
11.
解:(1)∠2=90°.
因为折叠,则∠1与∠3的和与∠2相等,而这三个角加起来,正好是平角∠BEC,
所以∠2=×180°=90°.
(2)因为∠1与∠3组成的大角和∠2相等,且三个角加起来恰好是一个平角,
所以∠1+∠3=90°.
所以∠1与∠3互余.
(3)因为∠1与∠AEC的和为180°,∠3与∠BEF的和为180°,
所以∠1与∠AEC互补,∠3与∠BEF互补.
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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浙教版
七上数学
6.8余角和补角
情景导入
问:如图，两堵墙围成一个角?AOB,我们如何去测量这个角的大小呢？
A
C
O
B
新知讲解
观察图，∠1+∠2与Rt∠AOB相等，∠3+∠4与Rt∠AOB相等吗？
你是怎样判断的？
因为∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，
所以∠1+∠2与Rt∠AOB相等，∠3+∠4与Rt∠AOB相等.
1
2
互为余角
如果两个锐角的和是一个直角，那么就说这两个角互为余角（简称互余），也可以说其中一个角是另一个角的余角.
几何语言：
∵∠1与∠2互余
∴∠1+∠2=90°
几何语言：
∵∠1+∠2=90°
∴∠1与∠2互余
结论
对概念的三点说明：
1.
两个锐角
2.
和为90°
3.
与位置无关
观察图，∠α+∠β与∠AOB相等吗？
你是怎样判断的？
因为∠α+∠β=180°，
所以∠α+∠β与∠AOB相等.
新知讲解
3
4
互为补角
如果两个角的和是一个平角，那么就说这两个角互为补角（简称互补），也说其中一个角是另一个角的补角.
几何语言
∵∠3+∠4=180°(已知)
∴∠3与∠4互为补角
(补角定义)
三点说明：
1.两个角，其中一个角大于或等于直角，另一个角小于或等于直角.
2.
和为180°.
3.
与位置无关.
思考
1、定义中的“互为”一词如何理解？
2、互补、互余的两角是否一定有公共顶点或公共边？
如果?1与?2互补，那么?1的补角是?2
，而?2的补角是?1
；
如果?1与?2互余，那么?1的余角是?2
，
?2的余角是?1.
互补或互余的两角度数之间的数量关系，与两角位置无关！
练一练
∠α
∠α的余角
∠α的补角
5°
30°
42°
55°
63°15′
85°
175°
60°
150°
48°
138°
35°
125°
26°45′
116°45′
你还发现了什么？
∠α的补角
=
∠α的余角＋90°
思考
（1）如图（a），∠1与∠2互补，∠1与∠3互补，
那么∠2与∠3的大小有什么关系？
相等
（a）
新知讲解
由于
∠1
+∠2
=
180°，∠1
+∠3
=
180°，
所以
∠2
=
180°-∠1，∠3
=
180°-∠1.
因此
∠2
=∠3（等量代换）.
等量代换是指“如果
a=b且c=b，那么a=c
”.
（2）如图(b),∠4与∠5互余，∠4与∠6互余,那么∠5与∠6的大小有什么关系？
相等
（b）
由于
∠5
+∠4
=
90°，∠4
+∠6
=
90°，
所以
∠5
=
90°-∠4，∠6
=
90°-∠4.
因此
∠5
=∠6（等量代换）.
归纳
∠α的余角
=
；∠α的补角
=
.
∠β的余角
=
；∠β的补角
=
.
∠α＝∠β
∠α的余角
=
∠β的余角
∠α的补角
=
∠β的补角
余角与补角性质：同角或等角的余角相等.
同角或等角的补角相等.
90°－∠α
90°－∠β
180°－∠α
180°－∠β
例题解析
例1
如图，已知∠AOC
=∠BOD
=Rt∠.指出图中还有哪些角相等，并说明理由.
解：∠AOB
=
∠COD
理由：∵∠AOC
=
∠BOD
=Rt∠，
∴∠AOB＋∠BOC
＝
Rt∠，
∠COD＋∠BOC
＝
Rt∠，
即
∠AOB与∠COD都是∠
BOC的余角，
∴∠AOB
=
∠COD
（同角的余角相等）
如图，∠AOB与∠BOD互为余角，OC是∠BOD的平分线，∠AOB=29.66°，求∠COD的度数.
解
因为∠AOB与∠BOD互为余角，
所以∠BOD
=
90°-∠AOB
=
90°-29.66°=
60.34°.
又因为OC是∠BOD的平分线，
因此，∠COD
的度数为
30.17°.
所以∠COD=∠BOD=
练一练
例2
已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数.
解:设这个角为x度，则这个角的余角是（90－x）度，补角是（180－x）度.
由题意，得
180－x=4（90－x）
解方程，得
x=60
所以这个角的度数为60°.
例题解析
若一个角的余角等于它的补角的，求这个角的度数.
练一练
解：
设这个角是x
°，则它的余角是（
90°-x°）,补角是(180°-x°)
。
根据题意得;(90°-x°)=(180°-x°)
解得：x=45
所以这个角的度数是45°。
课堂练习
1.如果∠α=60°，那么∠α的余角的度数是（
）
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
2.下列四个角中，最有可能与70°角互补的是(
)
A
A
3.已知∠A=72
°,那么∠A的余角=_____
,∠A的补角=_____.
4.已知∠α的余角是∠α的2倍，则∠α=____.
18°
108°
30°
课堂练习
5.如图∠AOB=90
°，∠COD=90
°，则∠1与∠2是什么关系？
答：
∠1
=
∠2
因为∠1+
∠BOD
=
90
°
∠2+
∠BOD
=
90
°
所以∠1
=
∠2
课堂练习
6.如图，已知点O是直线上一点，OC是任一条射线，OD，OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线.
(1)请你直接写出图中∠BOD的补角、∠BOE的余角；
(2)当∠BOE=25°时，试求∠DOE和∠AOD的度数分别是多少？
解：(1)∠DOB的补角：∠AOD、∠COD.∠BOE的余角：∠AOD、∠COD.
(2)因为OE平分∠BOC，
所以∠BOC=2∠BOE=50°.
所以∠AOC=180°-∠BOC=130°.
因为OD平分∠AOC，
所以∠AOD=∠COD=∠AOC=65°.
所以∠DOE=∠COD+∠COE=65°+25°=90°.
课堂小结
余角与补角
补角
余角
性质
如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，简称互余，即其中的一个角是另外一个角的余角。
如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，简称互补，即其中的一个角是另外一个角的补角
同角（等角）的补角相等
同角（等角）的余角相等
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