浙教版九年级数学上册3.7 正多边形 同步练习（Word版含答案）

3.7
正多边形
一．选择题
1．半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．a＜c＜b
D．c＜b＜a
2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
3．一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（　　）
A．12mm
B．12mm
C．6mm
D．6mm
4．如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（　　）
A．60°
B．70°
C．72°
D．144°
5．已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（　　）
A．2
B．1
C．
D．
6．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBi?iDiEi，则正六边形OAiBi?iDiEi（i＝2020）的顶点?i的坐标是（　　）
A．（1，﹣）
B．（1，）
C．（1，﹣2）
D．（2，1）
二．填空题
7．一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI为正九边形，其中心点为点O，点M、N分别在射线OA、OC上，则∠MON＝　
　度．
8．如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n＝　
　．
9．如图，在正六边形ABCDEF中，连接DA、DF，则的值为　
　．
10．如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和等边△ABF，连接FE，FC，则∠EFA的度数是　
　．
11．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为　
　．
12．如图，正五边形ABCDE的边长为1，对角线AC、BE相交于点O，则四边形OCDE的周长为　
　．
13．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC、PD，DG⊥PC，垂足为G，∠PDG等于　
　度．
14．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是　
　度．
三．解答题
15．如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M，求证；
（1）AC∥DE；
（2）ME＝AE．
16．如图，半径为R的圆内，ABCDEF是正六边形，EFGH是正方形．
（1）求正六边形与正方形的面积比；
（2）连接OF、OG，求∠OGF．
17．七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：
（1）如图1，等边三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM＝AN，连接BN、CM，发现BN＝CM，且∠NOC＝60°，试说明：∠NOC＝60°
（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM＝BN，连接AN、DM，那么∠DON＝　
　度，并说明理由．
（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM＝BN，连接AN、EM，那么AN＝　
　，且∠EON＝　
　度．（正n边形内角和（n﹣2）×180°，正多边形各内角相等）
参考答案
一．选择题
1．解：设圆的半径为R，
则正三角形的边心距为a＝R×cos60°＝R．
四边形的边心距为b＝R×cos45°＝R，
正六边形的边心距为c＝R×cos30°＝R．
∵RRR，
∴a＜b＜c，
故选：A．
2．解：∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝＝120°，BC＝CD，
∴∠CBD＝（180°﹣120°）＝30°，
故选：A．
3．解：已知圆内接半径r为12mm，
则OB＝12，
∴BD＝OB?sin30°＝12×＝6，
则BC＝2×6＝12，
可知边长为12mm，就是完全覆盖住的正六边形的边长最大．
故选：A．
4．解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠ABC＝∠C＝＝108°，
∵CD＝CB，
∴∠CBD＝＝36°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝72°，
故选：C．
5．解：如图（1），
O为△ABC的中心，
AD为△ABC的边BC上的高，
则OD为边心距，
∴∠BAD＝30°，
又∵AO＝BO，
∴∠ABO＝∠BAD＝30°，
∴∠OBD＝60°﹣30°＝30°，
在Rt△OBD中，
BO＝2DO，
即AO＝2DO，
∴OD：OA：AD＝1：2：3．
在正△ABC中，AD是高，设BD＝x，则AD＝BD?tan60°＝BD＝x．
∵正三角形ABC面积为cm2，
∴BC?AD＝，
∴×2x?x＝，
∴x＝1．
即BD＝1，则AD＝，
∵OD：OA：AD＝1：2：3，
∴AO＝cm．
即这个圆的半径为cm．
所以该圆的内接正六边形的边心距×sin60°＝，
故选：B．
6．解：由题意旋转8次应该循环，
∵2020÷8＝252…4，
∴?i的坐标与C4的坐标相同，
∵C（﹣1，），点C与C4关于原点对称，
∴C4（1，﹣），
∴顶点?i的坐标是（1，﹣），
故选：A．
二．填空题
7．解：根据正多边形性质得，中心角为：
∠AOB＝360°÷9＝40°，
∴∠MON＝2∠AOB＝80°．
故答案为：80．
8．解：连接BO，
∵AC是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠AOC＝360°÷6＝60°，
∵BC是⊙O内接正十边形的一边，
∴∠BOC＝360°÷10＝36°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝60°﹣36°＝24°，
∴n＝360°÷24°＝15；
故答案为：15．
9．解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴EF＝ED，∠AFE＝∠FED＝∠EDC＝120°，
∴∠EFD＝∠EDF＝30°，
∴∠AFD＝90°，
∵∠ADC＝∠ADE＝60°，
∴∠ADF＝30°，
∴＝cos∠ADF＝，
故答案为：．
10．解：∵正五边形ABCDE，
∴∠EAB＝＝108°，
∵△ABF是等边三角形，
∴∠FAB＝60°，
∴∠EAF＝108°﹣60°＝48°，
∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE＝（180°﹣48°）＝66°，
故答案为：66°．
11．解：连接OA，OB，
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADB＝18°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，
∴这个正多边形的边数＝＝10，
故答案为：10．
12．解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴CD＝DE＝AB＝1，∠BAE＝∠BCD＝∠D＝×（5﹣2）×180°＝108°，
∠BAO＝∠BCA＝∠ABE＝∠AEB＝×（180°﹣108°）＝36°，
∴∠BED＝108°﹣36°＝72°，
∴∠D+∠BED＝180°，
∴BE∥CD；同理可证DE∥AC，
∴四边形DEOC为平行四边形，而DE＝DC，
∴四边形CDEO是菱形，
∵正五边形的边长为1，
∴CD＝DE＝1，
∴四边形OCDE的周长为4，
故答案为：4．
13．解：连接OC、OD，如图所示：
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
∵DG⊥PC，
∴∠PGD＝90°，
∴∠PDG＝90°﹣∠CPD＝90°﹣36°＝54°，
故答案为：54．
14．解：连接OA、OB、OC，
∠AOB＝＝72°，
∵∠AOB＝∠BOC，OA＝OB，OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBC，
在△AOM和△BON中，
∴△AOM≌△BON，
∴∠BON＝∠AOM，
∴∠MON＝∠AOB＝72°，
故答案为：72．
三．解答题
15．证明：（1）∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC＝∠EAB＝∠DCB＝∠DEA＝＝108°，AB＝BC，
∴∠CAB＝∠BCA＝36°，
∴∠EAC＝108°﹣36°＝72°，
∴∠DEA+∠EAC＝108°+72°＝180°，
∴AC∥DE；
（2）∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC＝∠EAB＝∠DCB＝∠DEA＝＝108°，AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE＝36°，
∵∠EAC＝72°，
∴∠EMA＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∴∠EAM＝∠EMA，
∴ME＝AE．
16．解：（1）设正六边形的边长为a，
则三角形OEF的边EF上的高为a，
则正六边形的面积为：6××a×a＝a2，
∴正方形的面积为：a×a＝a2，
∴正六边形与正方形的面积比a2：a2＝3：2；
（2）∵OF＝EF＝FG，
∴∠OGF＝（180°﹣60°﹣90°）＝15°．
17．（1）证明：∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC，
在△ABN和△BCM中，，
∴△ABN≌△BCM（SAS），
∴∠ABN＝∠BCM，
又∵∠ABN+∠OBC＝60°，
∴∠BCM+∠OBC＝60°，
∴∠NOC＝60°；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAM＝∠ABN＝90°，AD＝AB，
又∵AM＝BN，
∴△ABN≌△DAM（SAS），
∴AN＝DM，∠ADM＝∠BAN，
又∵∠ADM+∠AMD＝90°，
∴∠BAN+∠AMD＝90°
∴∠AOM＝90°；即∠DON＝90°；
（3）解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠A＝∠B，AB＝AE，
又∵AM＝BN，
∴△ABN≌△EAM（SAS），
∴AN＝ME，
∴∠AEM＝∠BAN，
∴∠NOE＝∠NAE+∠AEM＝∠NAE+∠BAN＝∠BAE＝108°．
故答案为：90°，EM，108°．