浙教版九年级数学上册4.4 两个三角形相似的判定同步练习（Word版含答案）

4.4
两个三角形相似的判定
一．选择题
1．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中能判断△ABC∽△AED的是（　　）
①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③＝；④＝．
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
2．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点E、F分别是边BC、AC的中点，P是AB上一点，以PF为一直角边作等腰直角△PFQ，且∠FPQ＝90°，若AB＝12，PB＝3，则QE的值为（　　）
A．4
B．4
C．3
D．3
3．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝S△FGH；④AG+DF＝FG．则下列结论正确的有（　　）
A．①②④
B．①③④
C．②③④
D．①②③
4．如图，在正方形ABCD中，点E为边AD上的一个动点（与点A、D不重合），∠EBM＝45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，交边CD于点M，那么下列结论中，错误的是（　　）
A．△AEF∽△CBF
B．△CMG∽△BFG
C．△ABG∽△CFB
D．△ABF∽△CBG
5．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则下列结论错误的是（　　）
A．CD?AC＝AB?BC
B．AC2＝AD?AB
C．BC2＝BD?AB
D．AC?BC＝AB?CD
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，BE平分∠ABC交CD于F，EH⊥CD于H，则下列结论：①CD2＝AD?BD；②AC2+BD2＝BC2+AD2；③；④若F为BE中点，则AD＝3BD，其中正确的结论有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二．填空题
7．如图，BC为半圆O的直径，EF⊥BC于点F，且BF：FC＝5：1，若AB＝8，AE＝2，则AD的长为　
　．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝，BD＝2，则AC＝　
　．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．下列结论①CD2＝AD?BD；②AC2＝AD?AB；③BC2＝AB?BD；④BD2＝AC?BC，不正确的是　
　．
10．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，E、F分别是AB、CD边上的动点，EF⊥AC，则AF+CE的最小值为　
　．
11．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝a，AD＜BC，在边AB上取点P，使得△PAD，△PBC与△PDC两两相似，则AP长为　
　．（结果用含a的代数式表示）
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E是线段AC上的动点，BC＝4，AB＝8，当△ABC和△AED相似时，AE的长为　
　．
13．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，D为边BC上一点，连结AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E．若＝，则的值为　
　．
三．解答题
14．已知：在△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，CD⊥AB于D．
（1）求AB的长；
（2）求CD的长；
（3）求BD的长．
15．如图，在△ABC中，AG⊥BC，垂足为点G，点E为边AC上一点，BE＝CE，点D为边BC上一点，GD＝GB，连接AD交BE于点F．
（1）求证：∠ABE＝∠EAF；
（2）求证：AE2＝EF?EC；
（3）若CG＝2AG，AD＝2AF，BC＝5，求AE的长．
16．如图，△ADE∽△ABC，且＝，点D在△ABC内部，连结BD、CD、CE．
（1）求证：△ABD∽△ACE．
（2）若CD＝CE，BD＝3，且∠ABD+∠ACD＝90°，求DE的长．
17．如图，已知点D为△ABC内一点，点E为△ABC外一点，且满足．
（1）求证：△ABD∽△ACE；
（2）联结CD，如果∠ADB＝90°，∠BAD＝∠ACD＝30°，BC＝，AC＝4，求CD的长．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，点E是AB上动点，以DE为直径的圆交对角线AC于F，EG⊥AC垂足为G．
（1）求证：△EFD∽△EGA；
（2）求FG的长；
（3）直接写出DF+DG的最小值为　
　．
参考答案
一．选择题
1．解：∵∠A＝∠A，
∴∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C时，△ABC∽△AED．
∵＝，
∴＝
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED，
故①②③可以判断三角形相似，
故选：B．
2．解：如图，取AB的中点D，连结FD，
∵△ABC为等腰直角三角形，AB＝12，
∴AC＝BC＝6，∠A＝45°，
∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，AB＝12，PB＝3，
∴AD＝BD＝6，DP＝DB﹣PB＝6﹣3＝3，EF、DF为△ABC的中位线，
∴EF∥AB，EF＝AB＝6，DF＝BC＝3，∠EFP＝∠FPD，
∴∠FDA＝45°，＝＝，
∴∠DFP+∠DPF＝45°，
∵△PQF为等腰直角三角形，
∴∠PFE+∠EFQ＝45°，FP＝PQ，
∴∠DFP＝∠EFQ，
∵△PFQ是等腰直角三角形，
∴＝，
∴＝，
∵＝，∠DFP＝∠EFQ，
∴△FDP∽△FEQ，
∴＝＝，即＝，
解得，QE＝3，
故选：C．
3．解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，
∴∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，BF＝BC＝10，BH＝BA＝6，AG＝GH，
∴∠EBG＝∠EBF+∠FBG＝∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝45°，所以①正确；
在Rt△ABF中，AF＝＝＝8，
∴DF＝AD﹣AF＝10﹣8＝2，
设AG＝x，则GH＝x，GF＝8﹣x，HF＝BF﹣BH＝10﹣6＝4，
在Rt△GFH中，∵GH2+HF2＝GF2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴GF＝5，
∴AG+DF＝FG＝5，所以④正确；
∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，
∴∠BFE＝∠C＝90°，
∴∠EFD+∠AFB＝90°，
而∠AFB+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠EFD，
∴△ABF∽△DFE，
∴，
∴，
而
＝2，
∴，
∴△DEF与△ABG不相似；所以②错误．
∵S△ABG＝×6×3＝9，S△GHF＝×3×4＝6，
∴S△ABG＝S△FGH．所以③正确．
故选：B．
4．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，∠DCA＝∠ACB＝∠DAC＝∠CAB＝∠EBM＝45°，
∴△AEF∽△CBF，故选项A不合题意；
∵∠EBM＝∠DCA，∠MGC＝∠BGF，
∴△CMG∽△BFG，故选项B不合题意；
∴∠CMG＝∠CFB，
∵CD∥AB，
∴∠CMG＝∠ABG，
∴∠CFB＝∠ABG，
又∵∠CAB＝∠BCF＝45°，
∴△BCF∽△GAB，故选项C不合题意；
∵∠CAB＝∠ACB＝∠FBG＝45°，
∴∠ABF+∠CBG＝45°，
∴∠ABF≠∠CBG，
∴△ABF与△CBG不相似，故选项D符合题意；
故选：D．
5．解：由三角形的面积公式可知，CD?AB＝AC?BC，A错误，符合题意，D正确，不符合题意；
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴AC2＝AD?AB，BC2＝BD?AB，B、C正确，不符合题意；
故选：A．
6．解：①、∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴△ACD∽CBD，
∴＝，即CD2＝AD?DB，故①正确；
②∵AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2＝CD2，
∴AC2+BD2＝BC2+AD2故②正确；
③作EM⊥AB，则BD+EH＝BM，
∵BE平分∠ABC，△BCE≌△BEM，
∴BC＝BM＝BD+EH，
∴，故③正确；
④若F为BE中点，则CF＝EF＝BF，
∴∠BCD＝∠CBF＝∠DBF＝30°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝4BD，
∴AD＝3BD，故④正确．
故选：D．
二．填空题
7．解：连接BE．
∵BC是直径．
∴∠AEB＝∠BEC＝90°
在直角△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2﹣AE2＝82﹣22＝60．
∵＝5
∴设FC＝x，则BF＝5x，BC＝6x．
又∵BE2＝BF?BC
即：30x2＝60
解得：x＝，
∴EC2＝FC?BC＝6x2＝12
∴EC＝2，
∴AC＝AE+EC＝2+2，
∵AD?AB＝AE?AC
∴AD＝＝＝．
故答案为．
8．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
由射影定理得，CD2＝AD?BD，
∴AD＝＝，
∴AB＝AD+BD＝，
由射影定理得，AC＝＝＝，
故答案为：．
9．解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，
∴CD2＝AD?BD，①正确；
AC2＝AD?AB，②正确；
BC2＝AB?BD，③正确；
BD2＝AC?BC不一定成立，④不正确；
故答案为：④．
10．解：如图所示：
设DF＝x，则FC＝4﹣x；过点C作CG∥EF，且CG＝EF，连接FG，
当点A、F、G三点共线时，AF+FG的最值小；
∵CG∥EF，且CG＝EF，
∴四边形CEFG是平行四边形；
∴EC∥FG，EC＝FG，
又∵点A、F、G三点共线，
∴AF∥EC，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥DC，∠D＝90°，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴OA＝OC，OE＝OF，
又∵EF⊥AC，
AF＝CF＝4﹣x，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：
AD2+DF2＝AF2，
又∵AD＝2，DF＝x，则FC＝4﹣x，
∴22+x2＝（4﹣x）2，
解得：x＝，
∴AF＝，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
AD2+DC2＝AC2，
∴AC＝，
∴AO＝，
又∵OF∥CG，
∴△AOF∽△ACG，
∴＝，
∴AG＝5，
又∵AG＝AF+FG，FG＝EC，
∴AF+EC＝5，
故答案为5．
11．解：如图，过点P作PT⊥CD于T．
∵△PAD，△PBC与△PDC两两相似，且AD＜BC，
∴∠ADP＝∠PDC，∠BCP＝∠PCD，
∵∠A＝∠PTD＝90°，∠B＝∠PTC＝90°，PD＝PD，PC＝PC，
∴△PDA≌△PDT（AAS），△PCB≌△PCT（AAS），
∴PA＝PT，PB＝PT，
∴PA＝PB＝AB＝a，
故答案为a．
12．解：∵∠C＝90°，AB＝8，BC＝4，
∴AC＝＝＝4，
∵D为AB的中点，
∴AD＝AB＝4，
∴以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
①若△ADE∽△ABC，则＝，
即＝，
解得AE＝2，
②若△AED∽△ABC，则＝，
即＝，
解得AE＝，
综上所述，AE的长为2或．
故答案为：2或．
13．解：∵＝，
∴可以假设CD＝k，BD＝2k，则CB＝CA＝3k，
∵∠C＝90°，
∴AD＝＝＝k，
∵BE⊥AE，
∴∠E＝∠C＝90°，
∵∠CDA＝∠BDE，
∴△ACD∽△BED，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝k，
∴＝＝，
故答案为．
三．解答题
14．解：（1）∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝＝5；
（2）∵CD⊥AB，
∴CD?AB＝AC?BC，
∴CD＝＝；
（3）∵BC2＝BD?BA，
∴BD＝＝．
15．（1）证明：∵EB＝EC，
∴∠EBC＝∠C，
∵AG⊥BD，BG＝GD，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠ABD＝∠ABE+∠EBC，∠ADB＝∠DAC+∠C，
∴∠ABE＝∠DAC，
即∠ABE＝∠EAF．
（2）证明：∵∠AEF＝∠BEA，∠EAF＝∠ABE，
∴△AEF∽△BEA，
∴＝，
∴AE2＝EF?EB，
∵EB＝EC，
∴AE2＝EF?EC．
（3）解：设BE交AG于J，连接DJ，DE．
∵AG垂直平分线段BD，
∴JB＝JD，
∴∠JBD＝∠JDG，
∵∠JBD＝∠C，
∴∠JDB＝∠C，
∴DJ∥AC，
∴∠AEF＝∠DJF，
∵AF＝DF，∠AFE＝∠DFJ，
∴△AFE≌△DFJ（AAS），
∴EF＝FJ，AE＝DJ，
∵AF＝DF，
∴四边形AJDE是平行四边形，
∴DE∥AG，
∵AG⊥BC，
∴ED⊥BC，
∵EB＝EC，
∴BD＝DC＝，
∴BG＝DG＝，
∵tan∠JDG＝tan∠C＝＝＝，
∴JG＝，
∵∠JGD＝90°，
∴DJ＝＝＝，
∴AE＝DJ＝．
16．证明：（1）∵△ADE∽△ABC，
∴，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE；
（2）∵△ABD∽△ACE，
∴，∠ABD＝∠ACE，
又∵BD＝3，
∴CE＝2，
∴CD＝CE＝2，
∵∠ABD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD+∠ACE＝90°，
∴∠DCE＝90°，
∴DE＝CD＝2．
17．证明：（1）∵，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵，
∴△ABD∽△ACE；
（2）如图，
∵△ABD∽△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∠BAD＝∠CAE＝30°，
∴CE＝AC＝2，AE＝CE＝2，∠ACE＝60°，
∴∠DCE＝∠ACD+∠ACE＝90°，
∵，
∴＝，
∴DE＝3，
∴CD＝＝＝．
18．解：（1）∵以DE为直径的圆交对角线AC于F，
∴∠EAG＝∠EDF，∠EFD＝90°，
∵EG⊥AC垂足为G，
∴∠EGA＝90°＝∠EFD，
∴△EFD∽△EGA；
（2）∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，
∴∠EAD＝90°＝∠EFD，
∴tan∠EAG＝＝＝，
∴∠EAG＝30°，
∴在三角形EGA中，sin∠EAG＝＝，
∵∠EGF＝∠EAD＝90°，
∵DE为圆的直径，
∴∠GFE＝∠ADE，
∴△EGF∽△EAD，
∴＝＝，
∵DA＝BC＝4，
∴FG＝2；
（3）过点G作GM⊥AD于点M，如下图所示：
设AE＝2x，
∵∠EAG＝30°，
∴∠GAM＝60°，
∴EG＝x，GA＝x，
∴在直角三角形GAM中，AM＝x，GM＝x，
∵AD＝BC＝4，
∴MD＝4﹣x，
∴在直角三角形GMD中，GD2＝GM2+MD2，
∴GD2＝x2+16+x2﹣4x＝3x2﹣4x+16，
∵在直角三角形AED中，直径ED＝，
∵在直角三角形EFD中，∠EDF＝∠EAG＝30°，
∴DF＝×ED，
∴DF2＝3x2+12，
∵当DF＝DG时，DF+DG取最小值，
∴3x2﹣4x+16＝3x2+12，
∴x＝，
∴DF＝，DG＝，
∴DF+DG取最小值为2．
故答案为：2．