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第一章:解直角三角形培优训练试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为则（
）
A．
B．
C．
D．
2.如图，在△ABC中，sinB=，
tanC=2，AB=3，则AC的长为（
）
A．
B．
C．
D．2
3.如图，AB是的直径，点C是圆上一点，连结AC和BC，过点C作于D，且，则的周长为（
）
A．
B．
C．
D．
4.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（
）
A．
B．
C．
D．
5.如图，中，
，点在上，．若，则的长度为（
）
A．
B．
C．
D．
6.如图，在平面直角坐标系中，的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30度，C为OA的中点，BC=1，则A点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
7.如图，在中，．边在轴上，顶点的坐标分别为和．将正方形沿轴向右平移当点落在边上时，点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
8.如图，四边形是一张平行四边形纸片，其高，底边，，沿虚线将纸片剪成两个全等的梯形，若，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
9.如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
10.如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，2)，将菱形绕点O旋转，当点A落在x轴上时，点C的对应点的坐标为（
）
A．或
B．
C．
D．或
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东方向，且与他相距，则图书馆A到公路的距离为__________________
12.在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i=1∶2.4，则信号塔AB的高度约为________________（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
13.如图，在中，，点为边的中点，连接，若，，则的值为______
14.是的弦，，垂足为M，连接．若中有一个角是30°，，则弦的长为_________
15.如图，对折矩形纸片使与重合，得到折痕，再把纸片展平．是上一点，将沿折叠，使点的对应点落在上．若，则的长是_________
16.在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，．矩形的顶点D，E，C分别在上，．将矩形沿x轴向右平移，当矩形与重叠部分的面积为时，则矩形向右平移的距离为___________
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.(本题8分)如图，在中，于点D，若
，
，求
的值．
18(本题8分)如图，斜坡BE，坡顶B到水平地面的距离AB为3米，坡底AE为18米，在B处，E处分别测得CD顶部点D的仰角为，，求CD的高度结果保留根号
19.(本题8分)如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在AC、AB上，
BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE=6，cos
A=.求:（1）DE、CD的长；
（2）tan∠DBC的值.
20（本题10分）随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测量人员在瀑布的对面山上D点处测得瀑布顶端A点的仰角是，测得瀑布底端B点的俯角是，AB与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得，注：C、G、F三点在同一直线上，于点F斜坡，坡角求瀑布AB的高度．参考数据：
，
21（本题10分）为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行30分钟后到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上．
（1）求的度数；
（2）已知在灯塔的周围25海里内有暗礁，
问海监船继续向正东方向航行是否安全？
(参考数据：，)
22（本题12分）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是，第二组乘公交车，速度是，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）
23.（本题12分）在矩形ABCD中，E为DC上的一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE;（2）若，求EC的长；
（3）若，记
,，
求的值．
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精品试卷·第
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第一章
解直角三角形培优训练试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案:B
解析:∵中，，、、所对的边分别为a、b、c
∴，即，则A选项不成立，B选项成立
，即，则C、D选项均不成立
故选：B．
2.答案:B
解析：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：
由，且可知，，
由，且可知，，
∴在中，由勾股定理有：．
故选：B．
3.答案:A
解析:∵，，
∴BC=
∵AB是的直径，
∴AC⊥BC，
∴cosB=
即
解得AB=
∴的周长为
故选A．
4.答案:D
解析：如图，过点A作于点D，则，
∴，
∴，
故选：D．
5.答案:C
解析:∵∠C=90°，
∴，
∵，
∴AB=5，
根据勾股定理可得BC==3，
∵，
∴cos∠DBC=cosA=，
∴cos∠DBC==，即=
∴BD=，
故选：C．
6.答案:B
解析：如图，过A点作轴于D点，
的斜边在第一象限，并与轴的正半轴夹角为．
，
，
为的中点，
，
，
，
则点的坐标为：，．
故选：．
7.答案:B
解析：由题意知：
四边形为正方形，
如图，当落在上时，
由
故选
8.答案:D
解析:如图所示，过点F作交BC于点M，
∵，，AG=2，
∴BG=FM=2，AF=GM，
令AF=x，
∵两个梯形全等，
∴AF=GM=EC=x，
又∵，
∴，
∴，
又∵BC=6，
∴，
∴．
故答案选D．
9.答案:A
解析：作CF⊥l4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，
由已知可得GE∥BF，CE＝EF，
∴△CEG∽△CFB，
∴，
∵，
∴，
∵BC＝3，
∴GB＝，
∵l3∥l4，
∴∠α＝∠GAB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，
∴∠ABG＝90°，
∴tan∠BAG＝==，
∴tanα的值为，
故选：A．
10.答案:D
解析：如图所示，过点A作AE⊥x轴于点E，
则，OA=，
∴∠AOE=60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴△AOB是等边三角形，
当A落在x轴正半轴时，点C落在点C′位置，
此时旋转角为60°，
∵∠BOC=60°，∠COF=30°，
∴∠C′OF=60°-30°=30°，
∵OC′=OA=4，
∴OF=，
C′F=，
∴C′（），
当A落在x轴负半轴时，点C落在点C′′位置，
∵∠AOC=∠AOC+∠BOC=120°，
∴∠A′′OC=120°，∠GOC′=30°
又∵OA=OC′′，
∴此时C′′点A重合，C
C′′，
综上，点C的对应点的坐标为或，
故答案为：D．
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案:
解析：由已知得，∠AOB=90°60°=30°，OA=200m．
则AB=OA=100m．
12.答案:25
解析：作EF⊥CD于F，EG⊥BC于G．
在Rt△DEF中，设EF=x米，∵i=1∶2.4
∴DF=2.4x米，
∴DE=
米
∴=75，
∴x=30米，
∴DF=2.4x=72米，
∴GE=FC=DF+CD=72+78=150米，CG=EF=30米，
在Rt△AEG中，
米
∴米．
13.答案:
解析:∵∠ACB=90°，BC=4，CD=3，点D是AB边的中点，
∴DC=DB，
∴∠DCB=∠B，AB=2CD=6，
∴，
故答案为：．
14.答案:12或4.
解析：∵OM⊥AB，
∴AM=BM，
若∠OAM=30°，
则tan∠OAM=，
∴AM=6，
∴AB=2AM=12；
若∠AOM=30°，
则tan∠AOM=，
∴AM=2，
∴AB=2AM=4.
故答案为：12或4.
15.答案:
解析：∵将矩形纸片ABCD对折一次，使边AD与BC重合，得到折痕MN，
∴AB＝2BM，∠A′MB＝90°，MN∥BC．
∵将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．
∴A′B＝AB＝2BM．
在Rt△A′MB中，∵∠A′MB＝90°，
∴sin∠MA′B＝，
∴∠MA′B＝30°，
∵MN∥BC，
∴∠CBA′＝∠MA′B＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABA′＝60°，
∴∠ABE＝∠EBA′＝30°，
∴BE＝．
故答案为：．
16.答案:2
解析:∵，
∴OA=6，
在Rt△AOB中，，
∴，
∴B（0，
），
∴直线AB的解析式为：
，
当x=2时，y=，
∴E（2，），即DE=，
∵四边形CODE是矩形，
∴OC=DE=，
设矩形沿x轴向右平移后得到矩形，
交AB于点G，
∴∥OB，
∴△∽△AOB，
∴∠=∠AOB=30°，
∴∠=∠=30°，
∴,
∵平移后的矩形与重叠部分的面积为，
∴五边形的面积为,
∴,
∴,
∴,
∴矩形向右平移的距离=，
故答案为：2.
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.
解析:
∵，
∴．
∴．
在中
，
∴
18.解析:如图，作于点F，设米，
在中，，
则，
在直角中，米，
在直角中，，则米，
，即，
解得：，
则米，
答：CD的高度是米．
19.解析：(1)∵DE⊥AB,∴∠DEA=90°.
在Rt△AED中,cos
A=,即.∴AD=10.
根据勾股定理得DE=.
又∵DE⊥AB,DC⊥BC,BD平分∠ABC,∴DC=DE=8.
（2）解：由(1)可得AC=AD+DC=10+8=18,在Rt△ABC中,cos
A=,
即,
∴AB=30.根据勾股定理得BC=.
∴在Rt△BCD中,tan
∠DBC=
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20.解析：过点D作，交CE于点M，
作，交AB于点N，如图所示．
在中，，，，
∴，，
∴．
在中，，，，
∴．
在中，，，，
∴．
∴．
答：瀑布AB的高度约为米．
21.解析：（1）作交的延长线于点
∵，
∴；
（2）设海里，则海里，海里
∵在中，
∴
解得：．
∴海监船继续向正东方向航行安全．
22.解析：作于D．依题意得，
，，
，
．
在中，，，
，
，
，
设，则，
在中，，
，，
，
（或者由勾股定理得）
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
第一组用时：；第二组用时：
，
∴第二组先到达目的地，
答：第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地．
23.解析:
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
∴∠AFB+∠BAF=90°，
∵△AFE是△ADE翻折得到的，
∴∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFB+∠CFE=90°，
∴∠BAF=∠CFE，
∴△ABF∽△FCE．
（2）解：∵△AFE是△ADE翻折得到的，
∴AF=AD=4，
∴BF=，
∴CF=BC-BF=AD-BF=2，
由（1）得△ABF∽△FCE，
∴
，
∴，
∴EC=
．
（3）解析：由（1）得△ABF∽△FCE，
∴∠CEF=∠BAF=
，
∴tan
+tan
=
，
设CE=1，DE=x，
∵
，
∴AE=DE+2EC=x+2，AB=CD=x+1，AD=
∵△ABF∽△FCE，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴，
∴x2-4x+4=0，
解得x=2，
∴CE=1，CF=，EF=x=2，AF=
AD=
，
∴．
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