圆的基本性质复习
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(共23张PPT)
复习课题:圆的基本性质复习
d点P在圆内
d=r
点P在圆上
d>r
点P在圆外
点和圆的位置关系：
r
O
r
O
P
r
●
●
●
P
P
d
d
d
知识点1
∠C＝90°
▲ABC是锐角三角形
▲ABC是钝角三角形
圆的确定：不在同一直线上的三点确定一个圆。
圆的确定
O
A
C
B
●
●
●
知识点2
仔细辩一辩
判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）
(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
√
√
E
D
C
C
A
B
圆的轴对称性
E
D
B
A
垂径定理：AB是直径
AB CD于E
CB=DB
AC=AD
CE=DE
推论:
C
C
知识点3
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
（1）平分弦 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（不是直径）
如图,已知⊙O的半径OA长为5,弦AB的长8,OC⊥AB于C,则OC的长为 _______.
O
A
B
C
3
AC=BC
弦心 距
半径
半弦长
试一试:
如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝8，PO＝13，则⊙O的半径＝＿＿＿＿。
M
P
B
O
圆中跟弦有关的计算问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。
圆心到弦的距离(弦心距)、半径、一半弦长构成直角三角形，便将问题 为直角三角形的问题。
Ａ
练一练:
转化
圆心角、弧、弦、
弦心距之间的关系
圆的旋转不变性
知识点4
如图,在同圆中,OC⊥AB于C,OC`⊥A`B`于C` 。
O
A
B
C
A'
B'
C'
∵ ，
∴ AB = A`B`
（填写一个条件．你有几种填法？你的根据是什么？）
如果两个圆心角、两条弧、
两条弦或两条弦的弦心距中有
一组量相等，那么它们所对应
的其余各组量都分别相等。
在同圆或等圆中：
⑴圆周角 与圆心角
如图：
⑴ 如果∠AOB=100°，则∠C= 。
O
C
A
B
A
B
C
O
⑵ 当∠C= 时，A、O、B三点在同一直线上。
圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对弦是直径。
50°
90°
知识点5
如图,已知∠ACD＝30°，BD是直径,则 ∠AOB=____
如图,∠AOB＝110°, 则 ∠ACB=_____
⌒
⌒
120°
125°
练一练：
O
B
A
D
E
C
如图，比较∠C、∠D、∠E的大小
同弧所对的圆周角相等
如图，如果弧AB＝弧CD，那么∠E和∠F是什么关系？反过来呢？
D
C
E
B
F
A
O
等弧所对的圆周角相等；在同圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
D
C
E
O1
B
F
A
O2
如图，⊙O1和⊙O2是等圆，如果弧AB＝弧CD，那么∠E和∠F是什么关系？反过来呢？
等圆也成立
⑵圆周角与弧
例: 如图， ⊙O 中，弦AB=CD，AB 与CD交于点M，
求证：（1）AD=BC ，
⌒
⌒
（2）AM=CM。
B
C
A
D
M
O
O
A
B
C
∠AOB=______ 度，
已知：如图，△ABC内接于⊙O ，点A、B、C把⊙O三等分，则 弧AB=______ 度 ，
∠ ACB=______ 度
= 2（圆周角的度数）
弧的度数 = 圆心角的度数
m
第(5)题
注意: 弧的度数和角的度数的相互转化
120°
120°
60°
1、如图，弦AB、CD相交于点E，若AC=80 ° ，BD=40 ° ，则∠ AEC=________度
⌒
⌒
A
B
C
D
E
2、如图，E为圆外的一点，EA交圆于点B，EC交圆于点D，若AC=80 ° BD=40° ，则∠ AEC=________度
⌒
⌒
A
B
C
D
E
60
20
弧的度数和角的度数的转化
圆周角或圆心角
回顾与小结
(1): 我们复习了圆的哪些基本性质
(2): 在应用这些基本性质时,你觉得哪些 地方容易犯错误
检测反馈:
请同学们准备好测卷，
限时7分钟完成，
比一比哪个组的同学速度最快，
效率最高！
4.已知⊙O的半径为2cm,弧AB所对的圆周角为60°,则弦AB的长为( )
A. 2cm B.3cm C. D.
5.如图,AD是△ABC的外接圆直径,AD=
∠B=∠DAC,则AC的长为( )
2 B.
C.1 D. 不能确定
C
C
∟
O
A
B
C
E
O
A
B
C
D
E
6、如图， ⊙O 的直径PQ⊥弦CD,AC=BD,PQ交弦AB于点E. 求证:AE=BE
⌒
⌒
P
Q
直径PQ⊥弦CD
证明:
直径PQ⊥弦AB
AE=BE
PA=PB
⌒
⌒
PC+AC=PD+BD
⌒
⌒
⌒
⌒
AC=BD
⌒
⌒
PC=PD
⌒
⌒
∵
∴
∴
∴
∴
∵
即
或
连AD,
∵
AC=BD
⌒
⌒
∴
CDA= BAD
∠
∠
∴
AB CD
∥
∵
直径PQ⊥弦CD
∴
直径PQ⊥弦AB
∴
AE=BE
O
A
B
C
E
F
D
1
2
G
应用提高:
如图, AB是半圆O的直径,C是AE的中点,CD⊥AB于D, 交AE 于F.求证:AF=CF。
⌒
B
C
A
G
D
O
AG=AC=CE
⌒
⌒
⌒
复习课题:圆的基本性质复习
d
d=r
点P在圆上
d>r
点P在圆外
点和圆的位置关系：
r
O
r
O
P
r
●
●
●
P
P
d
d
d
知识点1
∠C＝90°
▲ABC是锐角三角形
▲ABC是钝角三角形
圆的确定：不在同一直线上的三点确定一个圆。
圆的确定
O
A
C
B
●
●
●
知识点2
仔细辩一辩
判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）
(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
√
√
E
D
C
C
A
B
圆的轴对称性
E
D
B
A
垂径定理：AB是直径
AB CD于E
CB=DB
AC=AD
CE=DE
推论:
C
C
知识点3
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
（1）平分弦 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（不是直径）
如图,已知⊙O的半径OA长为5,弦AB的长8,OC⊥AB于C,则OC的长为 _______.
O
A
B
C
3
AC=BC
弦心 距
半径
半弦长
试一试:
如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝8，PO＝13，则⊙O的半径＝＿＿＿＿。
M
P
B
O
圆中跟弦有关的计算问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。
圆心到弦的距离(弦心距)、半径、一半弦长构成直角三角形，便将问题 为直角三角形的问题。
Ａ
练一练:
转化
圆心角、弧、弦、
弦心距之间的关系
圆的旋转不变性
知识点4
如图,在同圆中,OC⊥AB于C,OC`⊥A`B`于C` 。
O
A
B
C
A'
B'
C'
∵ ，
∴ AB = A`B`
（填写一个条件．你有几种填法？你的根据是什么？）
如果两个圆心角、两条弧、
两条弦或两条弦的弦心距中有
一组量相等，那么它们所对应
的其余各组量都分别相等。
在同圆或等圆中：
⑴圆周角 与圆心角
如图：
⑴ 如果∠AOB=100°，则∠C= 。
O
C
A
B
A
B
C
O
⑵ 当∠C= 时，A、O、B三点在同一直线上。
圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对弦是直径。
50°
90°
知识点5
如图,已知∠ACD＝30°，BD是直径,则 ∠AOB=____
如图,∠AOB＝110°, 则 ∠ACB=_____
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120°
125°
练一练：
O
B
A
D
E
C
如图，比较∠C、∠D、∠E的大小
同弧所对的圆周角相等
如图，如果弧AB＝弧CD，那么∠E和∠F是什么关系？反过来呢？
D
C
E
B
F
A
O
等弧所对的圆周角相等；在同圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
D
C
E
O1
B
F
A
O2
如图，⊙O1和⊙O2是等圆，如果弧AB＝弧CD，那么∠E和∠F是什么关系？反过来呢？
等圆也成立
⑵圆周角与弧
例: 如图， ⊙O 中，弦AB=CD，AB 与CD交于点M，
求证：（1）AD=BC ，
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（2）AM=CM。
B
C
A
D
M
O
O
A
B
C
∠AOB=______ 度，
已知：如图，△ABC内接于⊙O ，点A、B、C把⊙O三等分，则 弧AB=______ 度 ，
∠ ACB=______ 度
= 2（圆周角的度数）
弧的度数 = 圆心角的度数
m
第(5)题
注意: 弧的度数和角的度数的相互转化
120°
120°
60°
1、如图，弦AB、CD相交于点E，若AC=80 ° ，BD=40 ° ，则∠ AEC=________度
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A
B
C
D
E
2、如图，E为圆外的一点，EA交圆于点B，EC交圆于点D，若AC=80 ° BD=40° ，则∠ AEC=________度
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A
B
C
D
E
60
20
弧的度数和角的度数的转化
圆周角或圆心角
回顾与小结
(1): 我们复习了圆的哪些基本性质
(2): 在应用这些基本性质时,你觉得哪些 地方容易犯错误
检测反馈:
请同学们准备好测卷，
限时7分钟完成，
比一比哪个组的同学速度最快，
效率最高！
4.已知⊙O的半径为2cm,弧AB所对的圆周角为60°,则弦AB的长为( )
A. 2cm B.3cm C. D.
5.如图,AD是△ABC的外接圆直径,AD=
∠B=∠DAC,则AC的长为( )
2 B.
C.1 D. 不能确定
C
C
∟
O
A
B
C
E
O
A
B
C
D
E
6、如图， ⊙O 的直径PQ⊥弦CD,AC=BD,PQ交弦AB于点E. 求证:AE=BE
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P
Q
直径PQ⊥弦CD
证明:
直径PQ⊥弦AB
AE=BE
PA=PB
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PC+AC=PD+BD
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AC=BD
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PC=PD
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∵
∴
∴
∴
∴
∵
即
或
连AD,
∵
AC=BD
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∴
CDA= BAD
∠
∠
∴
AB CD
∥
∵
直径PQ⊥弦CD
∴
直径PQ⊥弦AB
∴
AE=BE
O
A
B
C
E
F
D
1
2
G
应用提高:
如图, AB是半圆O的直径,C是AE的中点,CD⊥AB于D, 交AE 于F.求证:AF=CF。
⌒
B
C
A
G
D
O
AG=AC=CE
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