第1章三角形的初步认识 讲义-浙教版八年级数学上册

三角形的初步认识
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数学
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理解三角形相关概念及其分类.
理解三角形的边，角，三线的相关概念及定理.
掌握尺规作图并能按要求作出图形及辅助线.
掌握全等三角形的概念，性质与判定.
理解定义，命题，证明相关概念，能判断命题真假，掌握几何证明正确的书写格式.
一、三角形及其相关概念
1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
2.相关概念
（1）边：组成三角形的三条线段，叫做三角形的边.
（2）顶点：在三角形中，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.
（3）角：在三角形中，相邻两边所组成的在三角形内部的角叫做三角形的内角.
（4）外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，就叫做三角形的外角.
3.表示方法：顶点是A、B、C的三角形，记作△ABC，读作“三角形ABC”.
4.分类：三角形可以按内角的大小进行分类
5.三角形的角
（1）三角形的内角和等于180°.
（2）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
6.三角形的三边关系
三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边.
要点诠释：
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．
（3）证明线段之间的不等关系．
7.三角形中的重要线段
（1）高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段.
中线：连接三角形一个顶点和它的对边中点的线段.
角平分线：一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段.
【注】（1）三角形的三条中线交于三角形的内部.
（2）三角形的三条角平分线交于三角形的内部.
（3）锐角三角形的高都在三角形内部；直角三角形其中两条高恰好是直角边；钝角三角形其中两条高在三角形外部.
1.将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则∠α的度数为（　D　）.
A.75°
B.105°
C.135°
D.165°
2.已知，如图，D、B、C、E四点共线，∠ABD+∠ACE=230°，则∠A的度数为__30°___.
3.已知三角形的两边长分别为3和4，则第三边长x的范围是__1＜x＜7______.
4.下列长度的三条线段能组成三角形的是（
C
）.
A.2cm，3cm，6cm
B.3cm，4cm，7cm
C.5cm，6cm，8cm
D.7cm，8cm，16cm
5.若线段AM、AN分别是△ABC中BC边上的高线和中线，则（
D
）.
A.AM＞AN
B.AM＞AN或AM=AN
C.AM＜AN
D.AM＜AN或AM=AN
6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AD，垂足为点D，有下列说法：
①点A与点B的距离是线段AB的长；
②点A到直线CD的距离是线段AD的长；
③线段CD是△ABC边AB上的高；
④线段CD是△BCD边BD上的高．
上述说法中，正确的个数为（　D　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
定义、命题与证明
1.定义：一般地，能清楚的规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义.
2.命题：一般地，判断某一件事情的句子叫命题．正确的命题叫做真命题；不正确的命题叫做假命题．
【注】
（1）命题通常由条件、结论两个部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项.通常命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果“开始的部分是条件，”那么“后面的部分是结论.
（2）命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以．
3.基本事实：人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，也可称为公理.
4.定理：用推理的方法判断为正确的命题.定理也可以作为判断其他命题真假的依据.
【注】满足以下两个条件的真命题称为定理：
（1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到.
（2）其又可作为判断其它命题真假的依据.
5.证明：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明．
证明几何命题时，表述格式一般如下：
（1）按题意画出图形；
（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；
（3）在“证明”中写出推理过程.
【注】在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常要画出虚线.
7.下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?
(1)若，则；
(2)三角形的三条高交于一点；
(3)在△ABC中，若AB＞AC，则∠C＞∠B吗?
(4)两点之间线段最短；
(5)解方程；
(6)1＋2≠3．
【答案】（1）（2）（4）（6）是命题.
8.下列命题中，真命题的个数有（　A　）
①对顶角相等
　　②同位角相等　　③4的平方根是2
　　④若a＞b，则-2a＞-2b
A．1个　　　　B．2个　　　　　C．3个
　　　　　D．4个
三、全等三角形的概念和性质
1.全等图形：能够重合的两个图形叫做全等图形.
【注】（1）全等形形状相同、大小都相等；
（2）平移、旋转、轴对称前后的图形是全等形.
2.全等三角形：能够重合的两个三角形叫做全等三角形.
3.对应点、对应边、对应角
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.
在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，“≌”读作“全等于”.其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.
4.全等三角形的性质
（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等.
（2）全等三角形对应边上的高、中线以对应角的角平分线相等.
（3）全等三角形的周长相等，面积相等.
9.请观察下图中的6组图案，其中是全等形的是__（1）（4）（5）（6）________.
10.如图，△ABC≌△AEF，那么与∠EAC相等的角是（
B
）
A．∠ACB
B.
∠BAF
C.
∠CAF
D.
∠AFE
11.下列命题中：（1）形状相同的两个三角形是全等形；（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（　C
　）
　
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
12.如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶
5∶3，∠α的度数是___80°___.
四、全等三角形的判定
1.三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
如图，如果＝，＝，＝，则≌△.
2.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
如图，如果＝，＝∠，＝，则≌△.
【注】（1）这里的角，指的是两组对应边的夹角.
（2）有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
3.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
如图，如果＝∠，＝，＝∠，则≌△.
4.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）.
由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
5.三角形全等的证明思路
（1）
（2）
（3）
13.如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论∶①BE=CF;②∠1=∠2;
③△ACN≌△ABM;
④CD=AE.其中正确的结论有（
C
）.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
14.在△ABC中，已知∠A=60°，∠ABC的平分线BD与∠ACB的平分线CE相交于点0，∠BOC的平分线交BC于F，则下列说法中正确的是___①③④_______.
①∠BOE=60°
②∠ABD=∠ACE
③OE=OD
④BC=BE+CD.
15.如图所示，AC=DB，∠B=∠C，求证：AB=CD.
【解析】
延长AB、DC相交于点M，
∵∠B=
∠C,
∴∠DBM=
∠ACM
.
在△DBM和△ACM中，
∴△DBM≌△ACM(AAS).
∵DM=
AM,MB=MC.
∴AM-BM=DM-CM,
∴AB=CD.
五、角平分线和中垂线的性质定理
1.角平分线
（1）性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
（2）性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
如图，点P是∠ADB内CD上的一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE=PF，则CD平分∠ADB.
2.中垂线
（1）定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
（2）性质定理：垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
（3）性质定理的逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
16.在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为___4____.
17.已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，下列说法正确的有__4______个.
①DA平分∠EDF;
②△EBD≌△FCD;
③△AED≌△AFD;
④AD垂直于BC.
18.如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（　D　）.
A．ED=CD　　
B．∠DAC=∠B　
　C．∠C＞2∠B　
　D．∠B+∠ADE=90°
19.如图所示，在△ABC中，∠BAC=130°，AB的垂直平分线ME交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线NF交
BC于点N，交AC于点F，则∠MAN为（
A
）.
A.80°
B.
70°
C.60°
D.50°
六、尺规作图
1.角平分线的尺规作图
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC，射线OC即为所求.
2.线段的垂直平分线的尺规作图
（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
（2）作直线CD，CD即为所求直线．
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