2.2等腰三角形 讲义-浙教版八年级数学上册（含答案）

等腰三角形
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数学
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掌握轴对称的性质，并能做出轴对称图像.
掌握等腰三角形的性质，并能根据性质求边长求角度.
掌握等腰三角形的判定方法.
掌握等边三角形的性质，并能在综合题型中利用性质进行转化.
掌握等边三角形的判定方法.
一、轴对称
1.轴对称图形：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称
图形，该直线就是它的对称轴.
【注】轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的
对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图
形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点.
【注】轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对
称的两个图形一定全等.
3.轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.
4.轴对称、轴对称图形的性质
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
【注】（1）若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
1.下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（　D　）
A．
B．
C．
D．
2.下列图形中，对称轴最少的对称图形是
(
A
)
3.下列图形∶①有两个角相等的三角形;②圆;③正方形;④直角三角形，其中一定是轴对称图形的个数是（B）.
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
4.下列说法中，正确的是（A）.
A.关于某直线对称的两个三角形一定全等
B.全等的两个三角形一定关于某条直线对称
C.有一条公共边的两个全等三角形一定关于公共边所在直线对称
D.关于某条直线对称的两个全等三角形一定分别位于该直线两侧
等腰三角形
1.定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
2.性质
（1）性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．
（2）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．
3.判定
（1）定义判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形.
（2）判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.
5.若等腰三角形的一个外角是140°，那么其底角度数为__40°或70°________.
6.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则底角的度数为___75°或15°_______.
7.等腰三角形两边长分别为3和6，则其周长为__15________.
8.等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，求腰长和底边长.
【答案】腰长为8时，底边长为5；腰长为6时，底边长为9.
9.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，过点D作直线EF∥BC，交AB于E，交AC于F，图中等腰三角形的个数共有（C
）.
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
10.已知∶如图，在
△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，E是底边BC的延长线上的一点且CD=
CE.
（1）求证：△BDE是等腰三角形.
（2）若∠A=36°，求∠ADE的度数.
【解析】(1)∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC.
∵
CD=CE,
∴∠CDE=∠E.
∵∠ACB=∠CDE+∠E,
∴∠E=∠ACB
∴∠E=
∠DBC△BDE是等腰三角形
∵∠A=36°
∴∠ABC=∠ACB=72°
∴∠CDE=∠ACB=36°
∴∠ADE=180°-∠CDE=144°
三、等边三角形
1.定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形.
【注】等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.
2.性质：（1）等边三角形的三边都相等.
（2）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
（3）“三线合一”.
【注】（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴.
等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质.
3.判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形.
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形.
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
11.已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是___15°或75°_______.
12.如图所示，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE=AD，则∠CDE=___15°_______.
13.如图，△ABC为等边三角形，且BM=CN，AM与BN相交于点P，则∠APN=___60°____.
14.在下列结论中∶
①有一个外角是
120°的等腰三角形是等边三角形;
②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形;
③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形;
④有一个角是
60°，且是轴对称的三角形是等边三角形.
其中正确的个数是（
C
）.
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
15.如图，△ABC是等边三角形，AD是高，并且AB恰好是DE的垂直平分线，求证：△ADE是等边三角形.
【解析】∵A在DE的垂直平分线上
∴AE=AD
∴△ADE是等腰三角形
∵AB⊥DE
∴∠ADE=90°-∠BAD
∵AD⊥BD
∴∠B=90°-∠BAD
∴∠B=∠ADE=60°
∴等腰△ADE是等边三角形
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