2.6直角三角形 讲义-浙教版八年级数学上册（含答案）

直角三角形
责编：
审核：
辅导科目
数学
学生姓名
授课老师
上课课次
授课日期
班型
认识直角三角形，了解直角三角形的概念.
掌握直角三角形的性质与判定.
掌握勾股定理即逆定理.
理解逆命题以及逆定理的概念.
掌握判定直角三角形全等的方法：HL.
一、直角三角形的概念
1.定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”.
2.性质
（1）在直角三角形中，两个锐角互余.
（2）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
3判定
有一个角是直角的三角形是直角三角形.
有两个锐角互余的三角形是直角三角形.
勾股定理逆定理.
4.含30°角的直角三角形
在直角三角形中，如果有一个锐角为30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【注】可将两个全等的有一个角为30°的直角三角形进行拼接得出以上结论.
1.在下列条件中∶①∠A＋∠B=∠C，②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，③∠A=90°-∠B，④
中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（
D
）.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.直角三角形中，一个锐角的度数是另一个锐角的4倍，则较小锐角的度数为__18°__.
3.如图，在
△ABC中，∠B=∠C=60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E，如果AD=1，BC=
6，那么CE
=___4______.
4.已知OC平分∠AOB，点P为OC上-点，PD⊥OA于D，且PD=3cm，过点P作PE//OA交OB于E，∠AOB=
30°，求PE的长度__6_____cm.
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点D．
（1）如果∠A=60°，求证：BD=3AD；
（2）如果BD=3AD，求证：∠A=60°．
【解析】
（1）∵∠C=90°，CD⊥AB，∠A=60°，
∴∠ACD=∠B=30°，
∵∠C=90°，CD⊥AB，
∴AB=2AC，AC=2AD，
∴AB=4AD，
∴BD=3AD．
（2）取AB的中点O，连接CO，
∵BD=3AD，
∴设AD=x，则BD=3x，AB=4x，
∵∠C=90°，O是AB的中点，
∴OC=OA=2x，
∴OD＝x＝CO，
∵CD⊥AB，
∴∠OCD=30°，
∴∠COD=60°，
∵OA=OC，
∴△ACO是等边三角形，
∴∠A=60°．
勾股定理
1.定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.
2.勾股定理的证明
（1）邹元治的证明（“邹元治证法”）.
将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
　　　　　
（2）赵爽的“勾股圆方图”（“赵爽弦图”）.
将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
　　　　　　
（3）美国总统加菲尔德的证明（“总统证法”）.
如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
　　　　　　
6.如图，在
Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，CD是斜边AB上的高，则AD的长度为______.
（第6题图）
（第7题图）
7."赵爽弦图"巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的"赵爽弦图"是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为
a，较短直角边长为
b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为___3_____.
8.长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长为________.
9.一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【解析】
（1）由题意得：AC=25米，BC=7米，
AB==24（米），
答：这个梯子的顶端距地面有24米；
（2）由题意得：BA′=20米，
BC′==15（米），
则：CC′=15﹣7=8（米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
三、逆命题与逆定理
1.逆命题
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的
条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，则另一个命题叫做它的逆命题.
例：命题“两直线平行，同位角相等”与命题“同位角相等，两直线平行”为互逆命题.
【注】每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题.
2.逆定理
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理.这两个定理叫做互逆定
理.
10.下列说法正确的是（B）.
A.命题一定是正确的
B.每一个命题都有逆命题
C.真命题的逆命题是真命题
D.每个定理都有逆定理
11.“直角三角形的两个锐角互余”，这个命题的逆命题是__有两个角互余的三角形是直角三角形__.
四、勾股定理逆定理
【探究】勾股定理的逆命题是什么？是真命题吗？
如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
【证明】勾股定理的逆命题一定成立.
12.已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，则四边形ABCD的面积为__36cm?_______.
五、HL判定
定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
【注】这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
13.如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点0.
（1）求证∶
△ABC≌△DCB.
（2）求证∶
OB=
OC.
【解析】（1）由HL定理易证Rt△ABC≌Rt△DCB
（2）由（1）全等可得∠ACB=∠DBC，即OB=OC.
1