浙教版九年级数学上册 第一章 二次函数 单元检测试题（Word版 含解析）

第一章
二次函数
单元检测试题
（满分120分；时间：120分钟）
一、
选择题
（本题共计
10
小题
，每题
3
分
，共计30分
，
）
?1.
下列函数是二次函数的是?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
?
2.
在半径为的圆中，挖去一个边长为的正方形，剩下部分面积为，则关于与之间函数关系式为（
）
A.
B.
C.
D.
?
3.
抛物线的开口方向是(?
?
?
?
?)
A.向上
B.向下
C.向左
D.向右
?
4.
喜迎圣诞，某商店销售一种进价为元/件的商品，售价为元/件，每星期可卖出件，若每件商品的售价每上涨元，则每星期就会少卖出件．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每星期销售该商品的利润为元，则与的函数解析式为?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
?
5.
关于二次函数，下列说法中正确的是（????????）
A.函数图象是抛物线，且开口向下
B.函数图象与轴有两个交点
C.当时，随的增大而增大
D.函数图象的顶点坐标是
?
6.
已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：①；②；③；④；⑤（的实数），其中正确的结论有（
）
A.个
B.个
C.个
D.?
?
7.
若抛物线与轴两个交点间的距离为，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线过点（
）
A.
B.
C.
D.
?
8.
已知、、在二次函数的图象上，比较、、的大小（
）
A.
B.
C.
D.
?
9.
抛物线＝是由抛物线＝经过某种平移得到，则这个平移可以表述为（
）
A.向左平移个单位
B.向左平移个单位
C.向右平移个单位
D.向右平移个单位
?10.
二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则以下关于的结论正确的是（
）
A.的最大值为
B.的最小值为
C.是负数
D.是非负数
二、
填空题
（本题共计
10
小题
，每题
3
分
，共计30分
，
）
?
11.
把抛物线一般式化为顶点式为________，顶点坐标是________．
?
12.
将二次函数的图象向下平移个单位，再向右平移个单位，得到抛物线，则________，________．
?
13.
已知二次函数的图象经过点，与轴交于，那么________．
?
14.
已知二次函数，把它改写成的形式是________．
?
15.
二次函数的图象如图所示，当函数值时，自变量的取值范围是________．
?
16.
正方形的面积与边长之间的函数关系式为________，自变量的取值范围是________．
?
17.
二次函数的图象与轴的交点坐标为________，与轴的交点坐标为________，当________时，函数值取最小值，且最小值为________．
?
18.
若抛物线＝的顶点是，且经过点，则抛物线的函数关系式为________．
?
19.
已知关于的一元二次方程＝的两个实数根分别为＝，＝，则二次函数＝中，当时，的取值范围是________．
?
20.
已知抛物线的部分图象如图所示，当时，的取值范围是________．
三、
解答题
（本题共计
6
小题
，共计60分
，
）
21.
校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度与水平距离之间的函数关系式为.
求：
铅球的出手时的高度；
小明这次试掷的成绩．
?
22.
某公司投资万元购买了一条新生产线生产新产品．根据市场调研，生产每件产品需要成本元，该产品进入市场后不得低于元/件且不得超过元/件，该产品销售量（万件）与产品售价（元）之间的关系如图所示．
（1）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）第一年公司是盈利还是亏损？求出当盈利最大或亏损最小时的产品售价；
（3）在（2）的前提下，即在第一年盈利最大或者亏损最小时，公司第二年重新确定产品售价，能否使前两年盈利总额达万元？若能，求出第二年产品售价；若不能，说明理由．
?
23.
已知二次函数＝的图象与轴交于不同的两点、，顶点为，且的面积．
（1）求的取值范围
（2）若，分别为一个两位数的十位与个位数字，求出所有这样的两位数．
?
24.
如图，有一个抛物线型拱桥，其最大高度为，跨度为，现把它的示意图放在平面直角坐标系中，求此抛物线的函数关系式．
?
25.
已知抛物线的顶点在轴上.
若点是抛物线最低点，且落在轴正半轴上，直接写出，，
的取值范围；
，是抛物线上两点，若，则；若，则，且当的绝对值为时，为等腰直角三角形（其中.
①求抛物线的解析式；
②设中点为，若，求点纵坐标的最小值．
?
26.
某商店将每件进价为元的某种商品按每件元出售，每天可售出约件．该商店想通过降低售价、增加销售量的方法来提高利润．经市场调查，发现这种商品每件每降价元，每天的销售量可增加件．设商品降价元，每天销售该商品获得的利润为元．
求（元）与（元）的函数关系式，并写出的取值范围；
求当取何值时最大?并求出的最大值；
若要使每天销售利润为元，且尽可能最大的向顾客让利，应将该商品降价多少元?
参考答案与试题解析
一、
选择题
（本题共计
10
小题
，每题
3
分
，共计30分
）
1.
【答案】
B
【解答】
解：、是一次函数，故此选项错误；
、是二次函数，故此选项正确；
、分母中含有未知数不是二次函数，故此选项错误；
、，时是二次函数，故此选项错误.
故选.
2.
【答案】
B
【解答】
解：圆面积是，正方形面积是，
则函数关系式是：．
故选．
3.
【答案】
A
【解答】
解：抛物线，，
抛物线开口向上．
故选.
4.
【答案】
A
【解答】
解：设每件商品的售价上涨元（为正整数），
则每件商品的利润为：元，
总销量为：件，
商品利润为：
，
，
．
故选．
5.
【答案】
D
【解答】
解：，因为，所以函数开口向上，故错误；
，，，
故函数图象与轴无交点，故错误；
，函数开口向上，对称轴为，故当时，随的增大而减小，故错误；
，，顶点坐标为，故正确.
故选.
6.
【答案】
B
【解答】
解：①由图象可知：，，，，故此选项错误；
②当时，，即，错误；
③由对称知，当时，函数值大于，即，故此选项正确；
④当时函数值小于，，且，
即，代入得，得，故此选项正确；
⑤当时，的值最大．此时，，
而当时，，
所以，
故，即，故此选项正确．
故③④⑤正确．
故选．
7.
【答案】
B
【解答】
解：∵
某定弦抛物线的对称轴为直线，
∴
该定弦抛物线过点、，
∴
该抛物线解析式为．
将此抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线的解析式为．
当时，，
∴
得到的新抛物线过点，
故选．
8.
【答案】
D
【解答】
解：由抛物线可知对称轴，
∵
抛物线开口向上，到对称轴的距离最近，到对称轴的距离最远，
∴
．
故选．
9.
【答案】
B
【解答】
原抛物线的顶点为，新抛物线的顶点为，
∴
是抛物线＝向左平移个单位得到，
10.
【答案】
A
【解答】
解：解法一：∵
抛物线的开口向上，顶点纵坐标为，
∴
．
又∵
由图象知，即，
∵
一元二次方程有实数根，
∴
，即，即，解得，
∴
的最大值为．
解法二：一元二次方程有实数根，
可以理解为和有交点，
则，
，
故的最大值为．
故选．
二、
填空题
（本题共计
10
小题
，每题
3
分
，共计30分
）
11.
【答案】
,
【解答】
解：
．
则该抛物线的顶点坐标是．
故答案是：；．
12.
【答案】
,
【解答】
解：新函数解析式为：，
∴
顶点坐标为，
∵
向右平移个单位，再向下平移个单位得到新函数解析式，
∴
原抛物线的顶点为：，
∴
原抛物线解析式为，
∴
，，
故答案是：；．．
13.
【答案】
【解答】
解：把、分别代入得，
解得．
所以．
故答案为．
14.
【答案】
【解答】
解：，
故答案是．
15.
【答案】
【解答】
解：观察图象可知，函数值时，自变量的取值范围是．
故答案为：．
16.
【答案】
,
【解答】
解：正方形的面积与边长之间的函数关系式为，自变量的取值范围是．
故答案为，．
17.
【答案】
、,,,
【解答】
解：由函数
令，得
，
解得或，
∴
二次函数的图象与轴的交点坐标为：，；
令，得，
∴
函数与轴的交点坐标为，
∵
，∵
函数图象开口向上，
∴
当时，函数取得最小值为：．
18.
【答案】
＝
【解答】
设抛物线的解析式为＝，
将代入＝得，
＝，
函数解析式为＝，
展开得＝．
19.
【答案】
【解答】
∵
＝的两个实数根分别为＝，＝，
∴
二次函数＝与轴的两个交点坐标分别为，，
∵
＝，
∴
抛物线开口向上，
∴
时，的取值范围是：．
20.
【答案】
【解答】
解：∵
函数图象与轴的一个交点横坐标为，对称轴为，
∴
函数图象与轴的另一个交点横坐标为，
由图象可知，当时，．
故答案为：．
三、
解答题
（本题共计
6
小题
，每题
10
分
，共计60分
）
21.
【答案】
解：当时，，
∴
铅球的出手时的高度为．
由题意可知，把代入解析式得：，
解得，（舍去），
即小明这次试掷的成绩是米．
【解答】
解：当时，，
∴
铅球的出手时的高度为．
由题意可知，把代入解析式得：，
解得，（舍去），
即小明这次试掷的成绩是米．
22.
【答案】
解：（1）设．由图象可得：，
解得：．
所以，
故的取值范围是．
（2）设该公司第一年获利万元，则
，
所以第一年公司是亏损，且当亏损最小时的产品售价为元/件．
（3）由题意可列方程，
解得：，．
两个的值都在内，
所以第二年售价是元/件或件．
【解答】
解：（1）设．由图象可得：，
解得：．
所以，
故的取值范围是．
（2）设该公司第一年获利万元，则
，
所以第一年公司是亏损，且当亏损最小时的产品售价为元/件．
（3）由题意可列方程，
解得：，．
两个的值都在内，
所以第二年售价是元/件或件．
23.
【答案】
设，，则，是方程＝的两个不同的实根．
有＝，＝，，
∵
点的纵坐标
∴
，
即，
，
∴
；
由（1）知，＝，，，．
∵
被除余数为或，
∴
被除余数也为或．
从而＝，．这两个方程中符合题意的整数解有，
只有当＝，＝时，，
＝，＝，则，，，＝
＝，＝，则，，，＝
＝，＝，则，，，＝
故所求两位数为．
【解答】
设，，则，是方程＝的两个不同的实根．
有＝，＝，，
∵
点的纵坐标
∴
，
即，
，
∴
；
由（1）知，＝，，，．
∵
被除余数为或，
∴
被除余数也为或．
从而＝，．这两个方程中符合题意的整数解有，
只有当＝，＝时，，
＝，＝，则，，，＝
＝，＝，则，，，＝
＝，＝，则，，，＝
故所求两位数为．
24.
【答案】
解：设
因为抛物线过
所以代入得：
即
故此抛物线的函数关系式为：
．
【解答】
解：设
因为抛物线过
所以代入得：
即
故此抛物线的函数关系式为：
．
25.
【答案】
解：∵
顶点是抛物线最低点，
∴
抛物线开口向上，即.
又落在轴正半轴上，
∴
，.
①∵
当时，，则；
当时，，则，
∴
抛物线的对称轴是轴，且开口向上.
又顶点在轴上，
∴
顶点是原点，
∴
抛物线的解析式为，且.
当是等腰直角三角形，时，，
又为顶点，
∴
点关于抛物线对称轴轴对称，
∵
，
∴
，
设交轴于点，则，
∴
点中一个坐标为，另一个为；
把代入，解得，
∴
抛物线的解析式为.
②设直线解析式为：，
把代入中，得
，即，
则，
∴
，
由，根据三角形中位线定理，
得中点，
根据勾股定理，,
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
化简得，，
根据二次函数与二次方程的关系，结合图象，
得(负根舍去)，
∴
，
当时，的最小值是.
【解答】
解：∵
顶点是抛物线最低点，
∴
抛物线开口向上，即.
又落在轴正半轴上，
∴
，.
①∵
当时，，则；
当时，，则，
∴
抛物线的对称轴是轴，且开口向上.
又顶点在轴上，
∴
顶点是原点，
∴
抛物线的解析式为，且.
当是等腰直角三角形，时，，
又为顶点，
∴
点关于抛物线对称轴轴对称，
∵
，
∴
，
设交轴于点，则，
∴
点中一个坐标为，另一个为；
把代入，解得，
∴
抛物线的解析式为.
②设直线解析式为：，
把代入中，得
，即，
则，
∴
，
由，根据三角形中位线定理，
得中点，
根据勾股定理，,
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
化简得，，
根据二次函数与二次方程的关系，结合图象，
得(负根舍去)，
∴
，
当时，的最小值是.
26.
【答案】
解：这种商品售价降低元时，所获利润为元，
则
；
由知，，开口向下，
，所以当时，取得最大值，最大值.
把代入，解得.
所以尽可能最大的向顾客让利，应将该商品降价元.
【解答】
解：这种商品售价降低元时，所获利润为元，
则
；
由知，，开口向下，
，所以当时，取得最大值，最大值.
把代入，解得.
所以尽可能最大的向顾客让利，应将该商品降价元.