2019--2020学年浙江省九年级上册数学（浙教版）《相似三角形》试题分类——解答题（Word版 含解析）

2019--2020学年浙江省九年级上册数学（浙教版）《相似三角形》试题分类——解答题
1．（2019秋?江干区期末）如图，在△ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，若，AB＝8cm，求DE的长．
2．（2019秋?江干区期末）如图1，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E．
（1）求证：BE?BC＝AE?CD；
（2）如图2，若点P是边AD上一点，且PE⊥EC．求证：AE?AB＝DE?AP．
3．（2019秋?德清县期末）已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠ADE＝∠B．
求证：（1）△ABD∽△ADE；
（2）AD2＝AE?AB．
4．（2019秋?诸暨市期末）锐角△ABC中，BC＝6，AD为BC边上的高线，S△ABC＝12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN（如图1），设其边长为x，
（1）当PQ恰好落在边BC上（如图2）时，求x；
（2）正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为时，求x的值．
5．（2019秋?滨江区期末）如图，AD与BC交于点O，EF过点O，交AB于点E，交CD于点F，BO＝1，CO＝3，AO，DO．
（1）求证：∠A＝∠D．
（2）若AE＝BE，求证：CF＝DF．
6．（2019秋?新昌县期末）在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，D是线段AB上一点，且DB＝4，过点D作DE与线段AC相交于点E，使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，求DE的长．请根据下列两位同学的交流回答问题：
（1）写出正确的比例式及后续解答；
（2）指出另一个错误，并给予正确解答．
7．（2019秋?余姚市期末）如图1，△ABC内接于⊙O，点D是的中点，且与点C位于AB的异侧，CD交AB于点E．
（1）求证：△ADE∽△CDA．
（2）如图2，若⊙O的直径AB＝4，CE＝2，求AD和CD的长．
8．（2019秋?长兴县期末）如图，AC、BD交于点E，BC＝CD，且BD平分∠ABC．
（1）求证：△AEB∽△CED；
（2）若BC＝6，EC＝3，AE＝2，求AB的长．
9．（2019秋?嘉兴期末）如图，BC是半圆O的直径，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E．
（1）求证△DCE∽△DBC；
（2）若CE，CD＝2，求直径BC的长．
10．（2019秋?余杭区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上且AE?AB＝AD?AC，连结DE，BD．
（1）求证：△ADE∽△ABC．
（2）若点E为AB中点，AD：AE＝6：5，△ABC的面积为50，求△BCD的面积．
11．（2019秋?下城区期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，D是边BC上一点，AB2＝BD?BC，E为线段AD中点，连结CE并延长交AB于点F．
（1）求证：AD⊥BC．
（2）若AF：BF＝1：3，求证：CD：DB＝1：2．
12．（2019秋?瑞安市期末）如图Rt△ABC与
Rt△DEF中，∠A＝∠D＝90°，∠B＝40°，∠E＝20°，用一条过顶点的线段将
Rt△ABC分割成两个三角形，再用另一条过顶点的线段将
Rt△DEF也分割成两个三角形；所分割成的四个三角形恰好是两对相似三角形．（要求：1．用三种不同的方法；2．在图中标出相应的锐角度数．）
13．（2019秋?北仑区期末）如图，下列网格由小正方形组成，点A，B，C都在正方形网格的格点上．
（1）在图1中画出一个以线段BC为边，且与△ABC面积相等但不全等的格点三角形；
（2）在图2和图3中分别画出一个以线段AB为边，且与△ABC相似（但不全等）的格点三角形，并写出所画三角形与△ABC的相似比．（相同的相似比算一种）
14．（2019秋?临安区期末）如图，点B、D、E在一条直线上，BE交AC于点F，，且∠BAD＝∠CAE．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）求证：△AEF∽△BCF．
15．（2019秋?越城区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACB，点E，F分别在AB，BC上，且∠EFB＝∠D．
（1）求证：△EFB∽△CDA；
（2）若AB＝20，AD＝5，BF＝4，求EB的长．
16．（2019秋?镇海区期末）两个相似多边形的最长边分别为6cm和8cm，它们的周长之和为56cm，面积之差为28cm2，求较小相似多边形的周长与面积．
17．（2019秋?南浔区期末）如图，在由12个小正方形构造成的网格图（每个小正方形的边长均为1）中，点A，B，C
（1）画出△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；
（2）若点D，E也是网格中的格点，画出△BDE，使得△BDE与△ABC相似（不包括全等），并求相似比．
18．（2019秋?江干区期末）如图，在菱形ABCD中，点E在BC边上（不与点B、C重合），连接AE、BD交于点G．
（1）若AG＝BG，AB＝4，BD＝6，求线段DG的长；
（2）设BC＝kBE，△BGE的面积为S，△AGD和四边形CDGE的面积分别为S1和S2，把S1和S2分别用k、S的代数式表示；
（3）求的最大值．
19．（2019秋?萧山区期末）如图，?ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠DCB交AD于点E，BF和CE相交于点P．
（1）求证：AE＝DF．
（2）已知AB＝4，AD＝5
①求的值；
②求四边形ABPE的面积与△BPC的面积之比．
20．（2019秋?海曙区期末）如图是5×5的正方形网格，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）将△ABC绕点A逆时针方向旋转90°得到△AB1C1，在图①中作出△AB1C1；
（2）在图②中作一个与△ABC相似且面积最大的格点△A2B2C2；
（3）在图③中找出三个与点A、B、C在同一圆上的格点，并用D1，D2，D3标注．
2019--2020学年浙江省九年级上册数学（浙教版）《相似三角形》试题分类——解答题
参考答案与试题解析
一．解答题（共20小题）
1．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵，∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴，
∵AB＝8cm，
∴DEcm．
2．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵在矩形ABCD中，AB＝CD．AD＝BC，∠BAD＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝∠AED＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝∠BAE+∠EAD，
∴∠ABE＝∠DAE，
∴△ABE∽△DAE，
∴，
∴，
∴BE?BC＝AE?CD；
（2）证明：如图②中，
∵AE⊥BD，PE⊥EC，
∴∠AED＝∠PEC＝90°，
∴∠AEP＝∠DEC，
∵∠EAD+∠ADE＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠EAP＝∠EDC，
∴△AEP∽△DEC，
∴，
∵AB＝CD，
∴AE?AB＝DE?AP．
3．【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠DAE，
∵∠ADE＝∠B．
∴△ABD∽△ADE；
（2）∵△ABD∽△ADE，
∴
∴AD2＝AE?AB．
4．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵BC＝6，AD为BC边上的高线，S△ABC＝12，
∴，
∴AD＝4，
设AD交MN于点H，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴，即，解得x，
∴当PQ恰好落在边BC上时，x．
（2）①当PQ在△ABC的内部时，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积即为正方形MPQN的面积，
∴，
解得，
②当PQ在△ABC的外部时，如图3，PM交BC于点E，QN交BC于点F，AD交MN于点H，
设HD＝a，则AH＝4﹣a，
由得，解得a，
∴矩形MEFN的面积为MN（2.4＜x≤6）．
即，
解得x1＝4，x2＝2（舍去），
综上：正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为时，x为或4．
5．【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵BO＝1，CO＝3，AO，DO．
∴，
∵∠AOB＝∠COD，
∴△OAB∽△ODC，
∴∠A＝∠D．
（2）∵∠A＝∠D，
∴AB∥CD，
∴，，
∴．
∵AE＝BE，
∴CF＝DF．
6．【答案】见试题解答内容
【解答】解（1），
∴．
（2）另一个错在没有进行分类讨论，如图，过点D作∠ADE＝∠ACB，
则△ADE∽△ACB，
∴，
∴．
综合以上可得，DE或．
7．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵点D是的中点，
∴
∴∠ACD＝∠BAD，
∵∠ADE＝∠CDA
∴△ADE∽△CDA
（2）连结BD，
∵点D是的中点，
∴AD＝BD
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴，
由（1）得△ADE∽△CDA，
∴，即AD2＝CD?ED，
∴，
∴CD2﹣2CD﹣48＝0，解得CD＝8或﹣6．
∴CD＝8．
8．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵BC＝CD，
∴∠DBC＝∠D，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠DBA，
∴∠D＝∠DBA，
又∵∠AEB＝∠CED，
∴△AEB∽△CED；
（2）解：∵△AEB∽△CED，
∴，
又∵BC＝CD＝6，EC＝3，AE＝2，
∴，
∴AB＝4．
9．【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵D是弧AC的中点，
∴，
∴∠ACD＝∠DBC，且∠BDC＝∠EDC，
∴△DCE∽△DBC；
（2）∵BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴DE1，
∵△DCE∽△DBC，
∴，
∴，
∴BC＝2．
10．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AE?AB＝AD?AC，
∴AE：AC＝AD：AB，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC．
（2）解：∵点E为AB中点，
∴AE＝BE，
∵AD：AE＝6：5，
∴设AD＝6x，则AE＝5x，AB＝10x，
∵AE?AB＝AD?AC，
∴ACx，
∴CD＝AC﹣ADx，
∴，
∵△ABC的面积为50，
∴△BCD的面积50＝14．
11．【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵AB2＝BD?BC，
∴，又∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∴∠BDA＝∠BAC＝90°，即AD⊥BC．
（2）作EG∥CB交AB于点G，
则△AEG∽△ADB，
∴，
∴BD＝2EG，
∵，
∴，
∵EG∥CB，
∴△FEG∽△FCB，
∴，
∴BC＝3EG，
∴CB：DB＝3：2．
∴CD：DB＝1：2．
12．【答案】见试题解答内容
【解答】解：方法一：
方法二：
方法三：
方法四：
方法五：
13．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图所示，△BCD即为所求．
（2）如图所示，△ABE和△ABF即为所求，
相似比；
相似比．
14．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）∵∠BAD＝∠CAE
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD
即∠BAC＝∠DAE
在△ABC和△ADE中
，∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE；
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴∠C＝∠E、
在△AEF和△BFC中，∠C＝∠E，∠AFE＝∠BFC，
∴△AEF∽△BCF．
15．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠B＝∠DAC，
∵∠D＝∠EFB，
∴△EFB∽△CDA；
（2）∵△EFB∽△CDA，
∴，
∵AB＝AC＝20，AD＝5，BF＝4，
∴BE＝16．
16．【答案】见试题解答内容
【解答】解：设较小相似多边形的周长为x，面积为y，则较大相似多边形的周长为56﹣x，面积28+y，
根据题意得，（）2，
解得x＝24，y＝36，
所以较小相似多边形的周长为24cm，面积为36cm2．
17．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图2所示：△BDE，即为所求，
相似比为：：2．
18．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AG＝BG，
∴∠BAG＝∠ABG，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠BAG＝∠ADB，
∴△BAG∽△BDA，
∴，即，
∴BG，
∴DG＝BD﹣BG＝6；
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝AD＝kBE，AD∥BC，
∵AD∥BE，
∴∠DAE＝∠BEA，∠ADG＝∠BEG
∴△ADG∽△EBG，
∴（）2＝k2，k，
∴S1＝k2S，
∵k，
∴S△ABG，
∵△ABD的面积＝△BDC的面积，
∴S2＝S1S＝k2S+kS﹣S＝（k2+k﹣1）S；
（3）∵1（）2，
∴的最大值为．
19．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC＝AB，AD＝BC，
∴∠AFB＝∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠FBC，
则∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB，
同理可证：DE＝DC，
∴AF＝DE，
∴AE＝DF．
（2）①解：由（1）可知AB＝AF＝DE＝4，
∵AD＝5，
∴AE＝DF＝1，EF＝3，
∵EF∥BC，
∴．
②解：连接PA．设△AEP的面积为S．
∵EF＝3AE，
∴△EFP的面积为3S，
∵△EFP∽△CBP，
∴（）2，
∴S△BCPS，
∵PB：PF＝5：3，
∴S△APB：S△APF＝5：3，
∴S△ABPS，
∴S四边形ABPES，
∴．
20．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）△AB1C1如图所示．
（2）△A2B2C2如图所示．
（3）D1，D2，D3如图所示．（答案不唯一）