浙教版九年级数学上学期《4.5 相似三角形的性质及其应用》 同步练习（Word版 含解析）

4.5
相似三角形的性质及其应用
一．选择题
1．如图，在△ABC，AB＝AC＝a，点D是边BC上的一点，且BD＝a，AD＝DC＝1，则a等于（　　）
A．
B．
C．1
D．2
2．一块直角三角形木板，它的一条直角边AC长为1cm，面积为1cm2，甲、乙两人分别按图①、②把它加工成一个正方形桌面，则①、②中正方形的面积较大的是（　　）
A．①
B．②
C．一样大
D．无法判断
3．如图，在4×4的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝3.5m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度GA为（　　）
A．1.2m
B．1.3m
C．1.4m
D．1.5m
5．如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（　　）
A．17.5m
B．17m
C．16.5m
D．18m
7．如图为一座房屋屋架结构示意图，已知屋檐AB＝BC，横梁EF∥AC，点E为AB的中点，且BD⊥EF，屋架高BD＝4m，横梁AC＝12m，则支架DF长为（　　）
A．2
B．2
C．
D．2
8．如图，一只箱子沿着斜面向上运动，箱高AB＝1.3m，当BC＝2.6m时，点B离地面的距离BE＝1m，则此时点A离地面的距离是（　　）
A．2.2m
B．2m
C．1.8m
D．1.6m
9．如图，已知，M，N分别为锐角∠AOB的边OA，OB上的点，ON＝6，把△OMN沿MN折叠，点O落在点C处，MC与OB交于点P，若MN＝MP＝5，则PN＝（　　）
A．2
B．3
C．
D．
10．《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中A、C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（　　）
A．360步
B．270步
C．180步
D．90步
二．填空题
11．如图，△ABC为一块铁板余料，BC＝10cm，高AD＝10cm，要用这块余料裁出一个矩形PQMN，使矩形的顶点P，N分别在边AB，AC上，顶点Q，M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为　
　cm2．
12．如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度，小红在操场上点C处直立高3m的竹竿CD，然后退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合；小红又在点C1处直立高3m的竹竿C1D1，然后退到点E1处，此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合．小红的眼睛离地面高度EF＝1.5m，量得CE＝2m，EC1＝8m，C1E1＝4m，则电线杆AB的高度为　
　m．
13．如图，正方形EFGH内接于△ABC，设BC＝（表示一个两位数），EF＝c，三角形中高线AD＝d，已知a，b，c，d恰好是从小到大的四个连续正整数，则△ABC的面积为　
　．
14．为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表．由于书房空间狭小，他想根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距离为3m的小视力表．如图，如果大视力表中“E”的高度是3.5cm，那么小视力表中相应“E”的高度是　
　．
三．解答题
15．20世纪90年代以来，我国户外广告行业取得了突飞猛进的发展，户外广告装置多设立于城市道路、铁路、公路等主要交通干道边上，面向密集的车流和人流．某天，小芳走到如图所示的C处时，看到正对面一条东西走向的笔直公路．上有一辆汽车从东面驶来，到达Q处时，恰好被公路北侧边上竖着的一个长12m的广告牌AB挡住，3s后在P处又重新看到该汽车的全部车身，已知该汽车的行驶速度是21.6km/h，假设AB∥PQ，公路宽为10m，求小芳所在C处到公路南侧PQ的距离．
16．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看一到位于A处的树木（即点D在直线AC上）．
17．大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝1.28米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝1.92米，CG＝20米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB．
18．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使矩形PQMN的边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上．
（1）当矩形的边PN＝PQ时，求此时矩形零件PQMN的面积；
（2）求这个矩形零件PQMN面积S的最大值．
19．西安市的大雁塔又名“慈恩寺塔”，是国家级文物保护单位，玄奘为保存由天竺经丝绸之路带回长安的经卷主持修建了大雁塔，最初五层，后加盖至九层，是西安市的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝53米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB．
20．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边长BC＝120cm，高AP＝90cm，现在要把它加工成长方形零件DFHE，且满足FH＝2DF，F、H在BC上，D、E分别在AB、AC上，求短边DF的长．
21．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝30cm，高AD＝20cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，当EF为多少cm时，矩形EGHF的面积最大，最大值为多少？
22．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，BC＝200mm，高AD＝150mm，要把它加工成一矩形零件，使矩形一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．
（1）设PN＝x，矩形PQMN的面积为S，求S关于x的函数表达式，并指出x的取值范围．
（2）当x为何值时，矩形PQMN的面积最大？最大值是多少？
23．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，高线AH长8cm，底边BC长10cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形DEFG的一边EF在BC上，其余两个顶点D、G分别在AB、AC上，AH交DG于M．
（1）求证：AM?BC＝AH?DG；
（2）加工成的矩形零件DEFG的面积能否等于25cm2？若能，求出宽DE的长度；否则，请说明理由．
24．如图，一个油漆桶高75cm，桶内还有剩余的油漆，一根木棒长1m，小明将木棒从桶盖小口斜插入桶内，一端触到桶底边缘时，量得木棒露在桶外的部分长10cm．抽出小棒，又量得木棒上沾了油漆的部分长36cm，请计算桶内油漆的高度．
参考答案
一．选择题
1．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∴∠DAC＝∠B，
∵∠C＝∠C，
∴△CDA∽△CAB，
∴＝，
∴CA2＝CD?CB，
∵CA＝a，BD＝a，CD＝1，
∴CB＝1+a，
∴a2＝1?（1+a），
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴a＝或（舍弃），
故选：A．
2．解：由AC长为1cm，△ABC的面积为1cm2，可得BC＝2cm，
如图①，设加工桌面的边长为xcm，
∵DE∥CB，
∴＝，
即＝，
解得：x＝（cm）；
如图②，设加工桌面的边长为ycm，
过点C作CM⊥AB，分别交DE、AB于点N、M，
∵AC＝1cm，BC＝2cm，
∴AB＝＝，
∵△ABC的面积为1cm2，
∴CM＝cm，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴＝，
即＝，
解得：y＝cm，
∵x2＝＝，y2＝，
∴x2＞y2，
即S1＞S2，
故选：A．
3．解：第1个网格中两个三角形对应边的比例满足＝＝，所以这两个三角形相似；
第2个网格中两个三角形对应边的比例＝＝，所以这两个三角形相似；
第3个网格中两个三角形对应边的比例满足＝＝＝，所以这两个三角形相似；
第4个网格中两个三角形对应边的比例＝＝，所以这两个三角形相似；
故选：D．
4．解：由题意可得：FC∥DE，
则△BFC∽BED，
故＝，
即＝，
解得：BC＝3，
则AB＝5.4﹣3＝2.4（m），
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴∠FBC＝∠GBA，
又∵∠FCB＝∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，
∴＝，
∴＝，
解得：AG＝1.2（m），
故选：A．
5．解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．
∵S△ABC＝?AB?BC＝?AC?BP，
∴BP＝＝＝．
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝．
设DE＝x，则有：＝，
解得x＝，
故选：D．
6．解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴，
∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝12.8m，
∴AC＝AB+BC＝14m，
∴，
解得，DC＝17.5，
即建筑物CD的高是17.5m，
故选：A．
7．解：∵AB＝BC，BD⊥EF，
∴AD＝DC＝6m，
∴AB＝＝＝2（m），
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴＝，
∵点E为AB的中点，
∴F是BC的中点，
∴FD是△ABC的中位线，
∴DF＝AB＝（m）．
故选：C．
8．解：由题意可得：AD∥EB，则∠CFD＝∠AFB＝∠CBE，△CDF∽△CEB，
∵∠ABF＝∠CEB＝90°，∠AFB＝∠CBE，
∴△CBE∽△AFB，
∴＝＝，
∵BC＝2.6m，BE＝1m，
∴EC＝2.4（m），
即＝＝，
解得：FB＝，AF＝，
∵△CDF∽△CEB，
∴＝，
即＝
解得：DF＝，
故AD＝AF+DF＝+＝2.2（m），
答：此时点A离地面的距离为2.2m．
故选：A．
9．解：∵MN＝MP，
∴∠MNP＝∠MPN，
∴∠CPN＝∠ONM，
由折叠可得，∠ONM＝∠CNM，CN＝ON＝6，
∴∠CPN＝∠CNM，
又∵∠C＝∠C，
∴△CPN∽△CNM，
＝，即CN2＝CP×CM，
∴62＝CP×（CP+5），
解得CP＝4，
又∵＝，
∴＝，
∴PN＝，
故选：D．
10．解：如图，设正方形城池的边长为x步，则AE＝CE＝x，
∵AE∥CD，
∴∠BEA＝∠EDC，
∴Rt△BEA∽Rt△EDC，
∴＝，即＝，
∴x＝360，
即正方形城池的边长为360步．
故选：A．
二．填空题
11．解：设QM＝xcm，则PN＝xcm，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴＝，
即＝，
则AE＝x，
故DE＝10﹣x，
则矩形PQMN面积为：x（10﹣x）＝﹣x2+10x＝﹣（x﹣5）2+25，
∴矩形PQMN面积的最大值为25cm2．
故答案为：25．
12．解：∵DC⊥AE，D1C1⊥AE，BA⊥AE，
∴DC∥D1C1∥BA，
∴△F1D1N∽△F1BG．
∴＝．
∵DC∥BA，
∴△FDM∽△FBG．
∴＝．
∵D1N＝DM，
∴＝，
即＝．
∴GM＝10m．
∵＝，
∴＝．
∴BG＝9m．
∴AB＝BG+GA＝10.5（m）．
答：电线杆AB的高度为10.5m．
故答案是：10.5．
13．解：a、b、c、d为连续四个整数故可设为a，a+1，a+2，a+3，
∵BC＝，
∴BC＝11a+1，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解关于a的方程，得
a1＝1，a2＝5，
经检验1和5是原分式方程的解，
∴S△ABC＝BC×AD＝24，或S△ABC＝BC×AD＝224，
故答案为：24或224．
14．解：由题意得：CD∥AB，
∴＝，
∵AB＝3.5cm，BE＝5m，DE＝3m，
∴，
∴CD＝2.1cm，
故答案为：2.1cm．
三．解答题
15．解：设小芳所在C处到公路南侧PQ的距离为xm，
21.6km/h＝21.6×＝6m/s，
∵AB∥PQ，
∴△CAB∽△CPQ，
∴，
∴＝，
∴x＝30，
∴小芳所在C处到公路南侧PQ的距离为30m．
16．解：DH＝100，DK＝100，AH＝15，
∵AH∥DK，
∴∠CDK＝∠A，
而∠CKD＝∠AHD，
∴△CDK∽△DAH，
∴＝，即＝，
∴CK＝．
答：出南门步恰好看一到位于A处的树木．
17．解：根据题意得，△EDC∽△EBA，
∴，
∵DC＝HG，
∴，
∴，
∴CA＝40（米），
∵，
∴＝，
∴AF＝61.92米，
∴＝，
∴AB＝64.5米，
答：古塔的高度AB为64.5米．
18．解：（1）设矩形零件PQMN的边PN＝a，PQ＝x，则AE＝80﹣a．
∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC．
∴＝．
因此，，
解得a＝120﹣x．
∴120﹣x＝x，
解得：x＝48
所以长方形PQMN的面积S＝xa＝x（120﹣x）＝﹣x2+120x＝﹣×482+120×48＝2304mm2
所以矩形零件PQMN的面积为2304mm2．
（2）由S＝﹣x2+120x，
当x＝﹣＝40时，a＝60．
S最大值＝40×60＝2400（mm2）．
所以这个长方形零件PQMN面积S的最大值是2400mm2．
19．解：∵△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，
∴＝，＝，
∵DC＝HG，
∴＝，
∴＝，
∴CA＝106（米），
∵＝，
∴＝，
∴AB＝55（米），
答：大雁塔的高度AB为55米．
20．解：设DF＝xcm，
则DE＝2xcm，AD＝（90﹣x）cm，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴x＝36，
∴DF的长为36cm．
21．解：设EG＝xcm，
∵四边形EFHG是矩形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴，
解得EF＝（20﹣x）．
∴S矩形EFHG＝EG?EF＝（20﹣x）?x．
即S＝﹣x2+30x．
∴当x＝﹣＝﹣＝10时，矩形EGHF的面积最大，
此时EF＝（20﹣x）＝15cm，最大面积为＝＝75cm2．
22．解：（1）∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴＝，
∵QM＝PN＝x，MN＝ED＝y，AE＝150﹣y，
∴，
∴y＝150﹣x
∴S＝xy＝﹣x2+150x；
150﹣x＞0，
解得：x＜200，
则0＜x＜200；
（2）设矩形的面积为S，
则S＝﹣x2+150x＝﹣（x﹣100）2+7500．
故当x＝100时，此时矩形的面积最大，最大面积为7500mm2．
23．（1）证明：∵四边形DEFG为矩形，
∴DG∥EF，
∴△ADG∽△ABC，
∴＝，
∴AM?BC＝AH?DG；
（2）解：加工成的矩形零件DEFG的面积不能等于25cm2，理由如下：
当加工成的矩形零件DEFG的面积等于25cm2时，设宽DE的长度为xcm，则AM＝（8﹣x）cm，DG＝cm．
∵高线AH长8cm，底边BC长10cm，AM?BC＝AH?DG，
∴（8﹣x）×10＝8×，
整理得x2﹣8x+20＝0，
∵△＝64﹣4×20＝﹣16＜0，
∴x无实数根，
故加工成的矩形零件DEFG的面积不能等于25cm2．
24．解：∵AC⊥BC，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
解得：CE＝30
∴桶内油漆的高度为30cm．