浙教版九年级数学上册第4章 相似三角形单元培优测试卷（ word含解答）

2020年秋浙教版九年级数学上册第4章
相似三角形单元培优测试卷
一、选择题（共10题；共30分）
1.已知
，那么下列等式中，不一定正确的是（???
）
A.???????B.????????????????C.???????????????D.?
2.如图，直线a∥b∥c
，
分别交直线m
，
n于点A
，
B
，
C
，
D
，
E
，
F
，
若AB＝2，BC＝4，DE＝3，则EF的长是（???
）
A.?5?????????????????????B.?6?????????????????????????C.?7?????????????????????????????D.?8
3.如图，三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC上的一点，且DE平行于BC，S△ADE＝S四边形DECB
，
则△ABC与△ADE相似比的值为（??
）
A.?2???????????????B.?4??????????????????????C.?????????????????????D.?
4.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则DE的长为（??
）
A.?2.2???????????????????B.?2.5????????????????????????C.?2????????????????????????????D.?1.8
5.如图，等腰
与等腰
是以点O为位似中心的位似图形，位似比为
，则点D的坐标是（?
）
A.???????????????B.????????????????C.??????????????????D.?
6.宽与长的比是
（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形
，分别取
的中点
，连接
，以点F为圆心，以
为半径画弧，交
的延长线于点G；作
，交
的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（??
）
A.?矩形ABEF?????????B.?矩形EFCD????????????C.?矩形EFGH?????????????D.?矩形ABGH
7.如图，在正三角形
中，分别在
，
上，且
，
，则有（???
）
A.?????B.???????C.????????D.?
8.如图，AB是
O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F.若BF=FE=2，FC=1，则AC的长是（??
）
A.??????????????????B.?????????????????C.?????????????????????D.?
9.如图，在
中，
，高
，正方形
一边在
上，点
分别在
上，
交
于点
，则
的长为（??
）
A.??????????????????????B.???????????????????????C.??????????????????????????D.?
10.如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（?
）
A.????????????????????????B.?????????????????????C.?????????????????????D.?
二、填空题（共8题；共24分）
11.如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，那么这两个三角形的面积比是________．
12.如果两个相似三角形的相似比为2︰3，两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周长为________cm.
13.如图，
内接于
于点H，若
，
的半径为7，则
________．
14.在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形，如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中，面积最大的三角形的斜边长是________.
15.如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，点P是AC边的中点，点D和E分别是边BC和AB上的任意一点，则PD+DE的最小值为________.
16.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，对角线AC、BD交于点O
，
AO＝CO
，
CD⊥BD
，
如果CD＝3，BC＝5，那么AB＝________．
17.如图，把某矩形纸片ABCD沿EF
，
GH折叠（点E
，
H在AD边上，点F
，
G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG=90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于________．
?
???
18.如图①，在
中，
，点E是边
的中点，点P是边
上一动点，设
．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．．那么
的值为________．
三、解答题（共7题；共66分）
19.如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交BD于点O，且
，AF是∠BAC的平分线，交BC于点F，交DE于点G.
（1）求证：CE⊥AB．
（2）求证：
.
20.如图，抛物线
的图象经过点
，交x轴于点
(点A在点B左侧)，连接
直线
与
轴交于点D,与
上方的抛物线交于点E,与
交于点F．
（1）求抛物线的解析式及点
的坐标；
（2）
是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
21.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A，C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD，AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G.
（1）求证：EF＝DE；
（2）当AF＝2时，求GE的长.
22.如图，在Rt△ABC中，AC＝4，∠BAC＝90°，∠B＝30°，D是BC上一点，AE⊥AD
，
∠ADE＝30°，连接CE
．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）求证：△ACE∽△ABD；
（3）设CE＝x
，
当CD＝2CE时，求x的值．
23.如图1，在矩形ABCO中，OA＝8，OC＝6，D
，
E分别是AB
，
BC上一点，AD＝2，CE＝3，OE与CD相交于点F
．
（1）求证：OE⊥CD；
（2）如图2，点G是CD的中点，延长OG交BC于H
，
求CH的长．
24.如图，在
的正方形方格中，每个小正方形的边长都为1，顶点都在网格线交点处的三角形，
是一个格点三角形．
（1）在图
中，请判断
与
是否相似，并说明理由；
（2）在图
中，以O为位似中心，再画一个格点三角形，使它与
的位似比为2：1
（3）在图
中，请画出所有满足条件的格点三角形，它与
相似，且有一条公共边和一个公共角．
25.在平面直角坐标系
中，把与x轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”.如图，抛物线
的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C.抛物线
与
是“共根抛物线”，其顶点为P.
???
（1）若抛物线
经过点
，求
对应的函数表达式；
（2）当
的值最大时，求点P的坐标；
（3）设点Q是抛物线
上的一个动点，且位于其对称轴的右侧.若
与
相似，求其“共根抛物线”
的顶点P的坐标.
答案
一、选择题
1.A、由比例的性质得到3y=5x，故本选项不符合题意．
B、根据比例的性质得到x+y=8k（k是正整数），故本选项符合题意．
C、根据合比性质得到
，故本选项不符合题意．
D、根据等比性质得到
，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
2.∵直线a∥b∥c
，
∴
，即
，
∴EF＝6．
故答案为：B
．
3.解：∵S△ADE＝S四边形DECB
，
∴S△ABC＝2S△ADE
，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
，
即
，
即△ABC与△ADE相似比的值是
，
故答案为：C.
4.解：如图1，连接BD、CD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝
＝
＝
，
∵弦AD平分∠BAC，
∴CD＝BD＝
，
∴∠CBD＝∠DAB，
在△ABD和△BED中，
∴△ABD∽△BED，
∴
＝
，即
，
解得DE＝
.
故答案为：A.
5.解：∵等腰
与等腰
是以点O为位似中心的位似图形，位似比为
，
∴
，即：DE=3BC=12，
∴CE=DE=12，
∴
，解得：OC=6，
∴OE=6+12=18，
∴点
的坐标是：
．
故答案为：A．
6.解：设正方形的边长为2，则CD＝2，CF＝1
在直角三角形DCF中，DF＝
∴FG＝
∴CG＝
?1
∴
∴矩形DCGH为黄金矩形
故答案为：D.
7.由已知中正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，
，AE＝BE，
易判断出：△AED为一个锐角三角形，△BED为一个钝角三角形，故A不符合题意；
△ABD也是一个钝角三角形，故C也不符合题意；
但△BCD为一个锐角三角形，故D也不符合题意；
故答案为：B．
8.解：连接BC，
∵AB是
O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCF=90°，
∵BF⊥CD，
∴∠CFB=90°，
∴∠CBF+∠BC=90°，
∴∠ACE=∠CBF，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC=∠CFB=90°，
，
∴
，
∵FB=FE=2，FC=1，
∴CE=CF+EF=3，
，
∴
，
∴
，
故答案为：B.
9.解：∵四边形EFGH是正方形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴
.
设AN=x，则EF=FG=DN=60-x，
∴
解得：x=20
所以，AN=20.
故答案为：B.
10.解：过点C作CF⊥BG于F，如图所示：
设DE=x，则AD=8-x，
根据题意得：
（8-x+8）×3×3=3×3×6，
解得：x=4，
∴DE=4，
∵∠E=90°，
由勾股定理得：CD=
，
∵∠BCE=∠DCF=90°，
∴∠DCE=∠BCF，
∵∠DEC=∠BFC=90°，
∴△CDE∽△BCF，
∴
，
即
，
∴CF=
．
故答案为：A．
二、填空题
11.解：∵两个相似三角形的相似比为：
，
∴这两个三角形的面积比
；
故答案为：16∶25.
12.设两个三角形的周长分别为
由已知，得
解得
∴较小的三角形的周长为40
cm.
13.解：作直径AD，连接BD，
∵AD为直径，
∴∠ABD＝90°，又AH⊥BC，
∴∠ABD＝∠AHC，
由圆周角定理得，∠D＝∠C，
∴△ABD∽△AHC，
∴
，即
，
解得，AB＝
，
故答案为：
．
14.解：
在
中，
，
，
，
，
与
相似的格点三角形的两直角边的比值为
，
若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在
网格图形中，最长线段为
，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出
，
，
的三角形，
，
，
，
此时
的面积为：
，
为面积最大的三角形，其斜边长为：
.
故答案为：
.
15.解：作点P关于BC的对称点F，过F作FE⊥AB于E交BC于D，
则此时，PD+DE的值最小，且PD+DE的最小值＝EF，
∴CF＝CP，
∵点P是AC边的中点，
∴AP＝PC＝3，
∴AF＝9，
∵在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∵∠AEF＝∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝∠A+∠F，
∴∠B＝∠F，
∴△ABC∽△AFE，
∴
＝
，
∴
＝
，
∴EF＝
，
∴PD+DE的最小值为
，
答案为：
.
16.过点A作AE⊥BD
，
∵CD⊥BD
，
AE⊥BD
，
∴∠CDB＝∠AED＝90°，CO＝AO
，
∠COD＝∠AOE
，
∴△AOE≌△COD（AAS）
∴CD＝AE＝3，
∵∠CDB＝90°，BC＝5，CD＝3，
∴DB＝
＝4，
∵∠ABC＝∠AEB＝90°，
∴∠ABE+∠EAB＝90°，∠CBD+∠ABE＝90°，
∴∠EAB＝∠CBD
，
又∵∠CDB＝∠AEB＝90°，
∴△ABE∽△BCD
，
∴
，
∴
，
∴AB＝
．
故答案为：
．
17.解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，
由折叠可知
：PA＇=AB，PD＇=CD，
∴PD＇=PA＇，
∵∠FPG=90?，∠EPF=∠D＇PH，∠GPH=∠A＇PE，
∴∠A＇PE+∠D＇PH=∠EPF+∠GPH=90?，
∵∠A＇EP+A＇PE=90?，
∴∠A＇EP=∠D＇PH，
∴?A＇EP∽?D＇PH，
∵△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，
∴
，
设D＇H=k，则A＇P=PD＇=2k，A＇E=4k，
∵S?D＇PH=PD＇·D＇H=·k·2k=1，
∴k=1，
∴PH=
，
PE=
，
∴AD=AE+EP+PH+HP=4+2++1=5+3
，
∵AB=2k=2，
∴S矩形ABCD=AB·AD=2（5+3）=10+6.
故答案为：10+6.
18.解：如图，过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，交于点D，
可得四边形ABCD为平行四边形，又AB=AC，
∴四边形ABCD为菱形，点A和点D关于BC对称，
∴PA+PE=PD+PE，
当P，D，E共线时，PA+PE最小，即DE的长，
观察图像可知：当点P与点B重合时，PD+PE=
，
∵点E是AB中点，
∴BE+BD=3BE=
，
∴BE=
，AB=BD=
，
∵∠BAC=120°，
∴∠ABD=（180°-120°）÷2×2=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴DE⊥AB，∠BDE=30°，
∴DE=3，即PA+PE的最小值为3，
即点H的纵坐标为a=3，
当点P为DE和BC交点时，
∵AB∥CD，
∴△PBE∽△PCD，
∴
，
∵菱形ABCD中，AD⊥BC，
∴BC=2×
=6，
∴
，
解得：PC=4，
即点H的横坐标为b=4，
∴a+b=3+4=7，
故答案为：7.
三、解答题
19.（1）证明：∵
，
∴
.
∵BD是AC边上的高，
∴∠BDC
=
90°，△ADB和△ODC是直角三角形.
∴Rt△ADB∽Rt△ODC.
∴∠ABD
=∠OCD.
又∵∠EOB=∠DOC，∠DOC+∠OCD+∠ODC=180°，
∠EOB
+∠ABD+∠OEB
=180°.
∴∠OEB
=
90°.
∴CE⊥AB.
（2）证明：在△ADB和△AEC中，
∵∠BAD=∠CAE，∠ABD
=∠OCD，
∴△ADB∽△AEC.
∴
，
即
.
在△DAE和△BAC中
∵∠DAE
=∠BAC，
.
∴△DAE∽△BAC.
∵AF是∠BAC的平分线，
∴
，即
.
20.
（1）解：把
代入
，即
，解得
∴抛物线的解析式为
令
可得:
∴
；
（2）解：存在，
如图，由题意，点E在y轴的右侧，作
轴，交
于点G
直线
与
轴交于点
∴
，
设
所在直线的解析式为
，
将
代入上述解析式得：
解得:
的解析式为
设
则
，其中
.
∴抛物线开口方向朝下
∴当
时，有最大值，最大值为
.
将t=2代入
=-2+3+2=3
∴点
的坐标为
．
21.
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠ECM＝45°，
∵MN∥BC，∠BCM＝90°，
∴∠NMC+∠BCM＝180°，∠MNB+∠B＝180°，
∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，
∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，
∴MC＝ME，
∵CD＝MN，
∴DM＝EN，
∵DE⊥EF，∠EDM+∠DEM＝90°，
∴∠DEF＝90°，
∴∠DEM+∠FEN＝90°，
∴∠EDM＝∠FEN，
在△DME和△ENF中，
，
∴△DME≌△ENF（ASA），
∴EF＝DE；
（2）解：由（1）知，△DME≌△ENF，
∴ME＝NF，
∵四边形MNBC是矩形，
∴MC＝BN，
又∵ME＝MC，AB＝4，AF＝2，
∴BN＝MC＝NF＝1，
∵∠EMC＝90°，
∴CE＝
，
∵AF∥CD，
∴△DGC∽△FGA，
∴
，
∴
，
∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，
∴AC＝4
，
∵AC＝AG+GC，
∴AG＝
，CG＝
，
∴GE＝GC﹣CE＝
＝
.
22.
（1）∵AE⊥AD，∠BAC=90°，
∴∠EAD=∠CAB=90°，
∵∠B=30°，∠ADE=30°，
∴∠B=∠ADE，
∴△ADE∽△ABC；
（2）∵∠EAD=∠CAB=90°，
∴∠EAC=∠DAB=90°﹣∠CAD，
∵△ADE∽△ABC，
∴
，
∴
，
∵∠EAC=∠DAB，
∴△ACE∽△ABD；
（3）在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=4，∠B=30°，
∴BC=2AC=8，AB=
=4
，
∵CE=x，CD=2CE，
∴CD=2x，
∵△ACE∽△ABD，
∴
，
∴
，
∴BD=
x，
∴BC=CD+BD=2x+
x=8，
解得：x=16﹣8
．
23.（1）∵四边形ABCO是矩形，
∴OA=BC=8，OC=AB=6，
在Rt△OCE中，CE=3，
∴OE=
，
∵AB∥OC，即AD∥OC，且AD=2，
∴
，
∴
，
∴PA=4，
∴PO=PA+OA=12，
∴在Rt△OPC中，OC=6，
∴CP=
，
∵OA∥BC，即OP∥CE，
∴
，
∴
，
∴EF=
OE=
，
CF=
CP=
，
∵(
)2+(
)2=
=9，
∴EF2+CF2=CE2
，
∴△CEF是直角三角形，
∴∠CFE=90°，
∴OE⊥CD；
（2）在Rt△CBD中，CB=8，BD=AB﹣AD=6﹣2=4，
根据勾股定理，得CD=
，
∵点G是CD的中点，
∴CG=DG=2
，
由（1）知：CP=6
，
∴DP=CP﹣CD=2
，
∴点G是CP的三等分点，
∵OA∥BC，即OP∥CH，
∴
，
∴
，
∴CH=6．
答：CH的长为6．
24.
（1）解：如图
所示：
与
相似，
理由：
；
，
，
与
相似；
（2）解：如图
所示：
即为所求；
（3）解：如图
所示：
和
即为所求．??
25.
（1）解：当
时，
，解得
，
.
∴
、
、
.
由题意得，设
对应的函数表达式为
，
又∵
经过点
，
∴
，
∴
.
∴
对应的函数表达式为
.
（2）解：∵
、
与
轴交点均为
、
，
∴
、
的对称轴都是直线
.
∴点
在直线
上.
∴
.
如图1，当A、C、P三点共线时，
的值最大，
此时点P为直线
与直线
的交点.
由
、
可求得，直线
对应的函数表达式为
.
∴点
.
（3）解：
由题意可得，
，
，
，
因为在
中，
，故
.
由
，得顶点
.
因为
的顶点P在直线
上，点Q在
上，
∴
不可能是直角.
第一种情况：当
时，
①如图2，当
时，则得
.
设
，则
，
∴
.
由
得
，解得
.
∵
时，点Q与点P重合，不符合题意，
∴舍去，此时
.
②如图3，当
时，则得
.
设
，则
.
∴
.
由
得
，解得
（舍），此时
.
第二种情况：当
时，
①如图4，当
时，则得
.
过Q作
交对称轴于点M，∴
.
∴
.由图2可知
，
∴
.
∴
，又
，代入得
.
∵点
，
∴点
.
②如图5，当
时，则
.
过Q作
交对称轴于点M，
∴
，则
.
由图3可知
，
，
∴
，
，
∴
.
又
，代入得
.
∵点
，
∴点
，
综上所述，
或
或
或
.