第1章 解直角三角形 单元测试卷（含解析）

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九年级下册数学
解直角三角形
单元测试卷
（满分120分）
题号
一
二
三
总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
将△ABC的三边同时扩大2倍，则cosA的值（
）
A.
扩大2倍
B.
扩大4倍
C.
缩小2倍
D.
没有变化
如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，则cos∠BAC的值为（
）
A.
B.
C.
D.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则下列等式中正确的是（?
?）
A.
cosA＝
B.
sinB＝
C.
tanB＝
D.
以上都不正确
如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD.若⊙O的直径是13，BD＝12，则sin∠ACD的值是(
)
A.
B.
C.
D.
在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tan
A＝1，．你认为△ABC最确切的判断是（???
）
等腰三角形
B.
等腰直角三角形
C.
直角三角形
D.
锐角三角形
如图，某校教学楼AB与CD的水平间距BD＝a
m，在教学楼CD的顶部C点测得教学楼AB的顶部A点的仰角为α，测得教学楼AB的底部B点的俯角为β，则教学楼AB的高度是（
）
A.
(atanα+atanβ)m
B.
C.
(asinα+asinβ)m
D.
(acosα+acosβ)m
如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画圆O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为（　　）
???????
A.
1
B.
C.
D.
2
以平面直角坐标系的原点O为圆心，以1为半径作圆．若点P是该圆上第一象限内的一点，且OP与x轴正方向组成的角为α，则点P的坐标为（???
）
A.
(cosα，1)
B.
(1，sinα)
C.
(sinα，cosα)
D.
(cosα，sinα)
已知点A(－2,0),B(6,0),C(0,m),以BC为斜边按如图所示作Rt△PBC（B,P,C三点按顺时针方向排列）,使∠BPC=90°，tan∠BCP=2,连接AP，当线段AP的长最短时，点P的横坐标为（????
）
A.－1
B.
C.
1
D.
如图，在正方形中，，分别为、的中点，连接，交于点，将沿对折，得到，延长交延长线于点，有下列结论：①；②；③；④.其中正确结论的个数是（???
）
A.
4
B.
3
C.
2
D.
1
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA+cosA＝_____．
在△ABC中，若|cosA－|＋(1－tanB)2＝0，则∠C的度数是_____．
如图，一艘船以40nmile/h的速度由西向东航行，航行到A处时，测得灯塔P在船的北偏东30°方向上，继续航行2.5h，到达B处，测得灯塔P在船的北偏西60°方向上，此时船到灯塔的距离为??????????nmile．（结果保留根号）
在△ABC中，∠C=90°，如果sinA＞cosA，那么∠A的度数范围是______．
已知点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝－（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则tanA的值为_____.
如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，=，则sinA的值为____．
如图，在锐角中，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC于D，E两点，且，则：的值为______．
如图，二次函数y=-x-4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PC+PD的最小值为______．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）
计算：
（1）8sin260°+tan45°﹣4cos30°
（2）（﹣+sin49°）0+（﹣）﹣1×﹣|tan45°﹣|
如图，在平面直角坐标系中，过格点、、作一圆弧.
(1)直接写出该圆弧所在圆的圆心的坐标;
(2)求弧的长(结果保留);
(3)连接、，则=
_______?.
如图，校门口路灯灯柱AB被钢缆CD固定，已知BD＝4米，且．
（1）求钢缆CD的长度；
（2）若AD＝2米，灯的顶端E距离A处1.6米，∠EAB＝120°，则灯的顶端E距离地面多少米？
如图，为了测量建筑物AB的高度，在D处树立标杆CD，标杆的高是2m，在DB上选取观测点E、F，从E测得标杆和建筑物的顶部C、A的仰角分别为58°、45°．从F测得C、A的仰角分别为22°、70°．求建筑物AB的高度（精确到0.1m）．（参考数据：tan22°≈0.40，tan58°≈1.60，tan70°≈2.75．）
???????
某城市处于东南沿海，夏季经常遭受台风袭击，一次，气象局测得台风中心在该市A的正西方向300千米的B处，以每小时10千米的速度向东偏南30°的BC方向移动，距台风中心200千米的范围是受台风严重影响的区域．试问：
（1）台风中心在移动过程中离该市最近距离是多少千米？
（2）该市A是否受台风影响？若不会受到，请说明理由；若会受到，求出该市受台风严重影响的时间．
已知一次函数y＝k1x+b与反比例函数的图象相交于第一象限内的，Q(4，m)两点，与x轴相交于点A．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）求点P关于原点的对称点P′的坐标；
（3）求∠P′AO的正弦值．
在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E是边AD上一点，EM⊥EC交AB于点M，点N在射线MB上，且AE是AM和AN的比例中项．
（1）如图1，求证：∠ANE＝∠DCE；
（2）如图2，当点N在线段MB之间，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长；
答案和解析
1.【答案】D
【解析】三角函数值只与角的大小有关，与角的边的长短无关.根据题意易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角函数值不变.
2.【答案】C
【解析】如图，AC=，AD=4，则cos∠BAC=.
3.【答案】D
4.【答案】D
【解析】∵AB是直径，∴∠ADB=90°，
∵⊙O的直径是13，∴AB=13，
由勾股定理得：AD===5，
∴sin∠B==，
∵∠ACD=∠B，∴sin∠ACD=sin∠B=.
5.【答案】B
【解析】由题意，得
∠A=45°，∠B=45°．∠C=180°-∠A-∠B=90°，
故选：B．
6.【答案】A
【解析】过点C作于点E,
则CE=BD=a，
在Rt中，,可得BE=,
在Rt中，,可得AE=,
故教学楼AB的高度是AB=(+)m,
7.【答案】C
【解析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，
如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，
则EH=FH，
∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2，
∴AD=BD=AB=2，即此时圆的直径为2，
∴OE=1，
由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，
∴在Rt△EOH中，EH=OE?sin∠EOH=1×=，
由垂径定理可知EF=2EH=．
本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用．关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形．
8.【答案】D
【解析】如图，作PA⊥x轴于点A，则∠POA=α，
sinα=，∴PA=OP?sinα，
∵cosα=，∴OA=OP?cosα．
∵OP=1，
∴PA=sinα，OA=cosα．
∴P点的坐标为（cosα，sinα）
9.【答案】B
【解析】如图2-1，过点P作y轴垂线，垂足为N，过点B作x轴垂线，交NP延长线于点M，
则∠BON=∠ONM=∠NMB=90°，
∴四边形ONMB为矩形，
∴∠PBM+∠BPM=90°，
∵∠BPC=90°，
∴NPC+∠BPM=90°，
∴∠PBM=∠NPC，
∴△BPM∽△PCN，
∴
∵在Rt△PCB中，tan∠BCP=2，
∴
设BM=a，则PN=1/2a，
∴P（1/2a，-a），
列方程组
消去a，得y=-2x，
∴点P（1/2a，-a）随点C的变化而运动所形成的图象为直线y=-2x，
过点A作直线y=-2x的垂线，垂足为H，
如图2-2，当点P位于点H处时，AP最短，过点P作PK⊥x轴于点K，
则∠PKA=PKO=90°，
又∵∠APK+∠KPO=90°，∠KPO+∠POK=90°，
∴∠APK=∠POK，
∴△APK∽△POK，
∴
∴
解得，n1=0（舍去），n2=-2/5
∴P（-2/5，4/5），故点P的横坐标为
10.【答案】B
【解析】①在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，，，
由折叠可得，FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°，PB=BC，
∵CD∥AB，∴∠CFB=∠ABF，
∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，故①正确；
②∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴CF=BE，BP=CB=2CF，
在△ABE和△BCF中，，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，
又∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠BGE=90°，∴AE⊥BF，故②正确；
③由①知，QF=QB，
令PF=k（k＞0），则CF=k，PB=2k，
在Rt△BPQ中，设QB=x，
∴x2=（x-k）2+4k2，
∴x=，
∴sin∠BQP=，故③正确；
④∵∠BGE=∠BCF，∠GBE=∠CBF，
∴△BGE∽△BCF，
∵BE=BC，BF=BC，
∴BE：BF=1：，
∴△BGE的面积：△BCF的面积=1：5，
∴S四边形ECFG=4S△BGE，故④错误．
综上所述，①②③正确．
11.【答案】
【解析】根据tanA=和三角函数定义画出图形，进而求出sinA和cosA的值，再求出sinA+cosA的值．
12.【答案】75°
【解析】根据题意得出cosA-=0，1-tanB=0，进而得出∠A=60°，∠B=45°，再利用三角形内角和定理得出答案．
13.【答案】50
【解析】根据题意，得：∠PAB=60°，∠PBA=30°，AB=2.5×40=100（nmile），
∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°-60°-30°=90°．
在Rt△PAB中，PB=AB?sin∠PAB=100×=50（nmile）．
14.【答案】45°＜∠A＜90°
【解析】解：在△ABC中，∠C=90°，
∵sinA＞cosA，
∴∠A的度数范围是45°＜∠A＜90°．
15.【答案】
【解析】作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D，如图，
∵点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=-（x＞0）的图象上，
∴S△OAC=×2=1，S△OBD=×|-4|=2，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°
∴∠AOC+∠BOD=90°，
又∠BOD+∠DBO=90°，
∴∠AOC=∠DBO，
∴Rt△AOC∽Rt△OBD，
∴
∴tan∠OAB=．
16.【答案】???????
【解析】∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB=∠ADC，
∵∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ACD，
∴=，
又∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴==，
设AD=2a，则AC=5a，
根据勾股定理得到CD=a，
因而sinA==．
17.【答案】???????
【解析】解：连接BE；
是的直径，∴∠BEC=∠BEA=90°，
在中，，即；
四边形DBCE内接于，
，，
∽，
；
所以：的值为．
18.【答案】
【解析】连接AC????
y=-x-4与x轴交点A（-3，0）、B（5，0），点C（0，-4），对称轴x=1，
∴sin∠ACO=，
作点D关于y轴的对称点D'，作点A关于y轴的对称点A'，过点D'作D'E⊥CA'于点E，则D'E为所求；
由对称性可知，∠ACO=∠OCA'，
∴sin∠OCA'=，
∴PC=PE，
再由D'P=DP，
∴PC+PD的最小值为D'E，
∵A'（3，0），D'（-1，0），
∴A'D'=4，CO=4，A'O=3，
∴CA'=5，∴
∴D'E=
19.【答案】（1）原式＝8×（）2+1﹣4×＝6+1-2＝7-2；
（2）原式＝1+（﹣3）×﹣（﹣1）＝1-2﹣+1＝2-3．
20.【答案】解：（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，0）；
（2）弧AC的半径是=，圆心角是90°，则弧AC长是=；
（3）?如图2,
由勾股定理得AE=,
AC=，
由正方形的性质和格点的性质可知,AEC=,
则C===
21.【答案】解：（1）在Rt△DCB中，cos∠DCB=，
∴
∴设BC=3x，DC=5x，
∴BD=，
∵BD=4m，∴4x=4，∴x=1，
∴CD=5米；
（2）如图，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F．
∵∠EAB=120°，∴∠EAF=60°，
∴AF=AE?cos∠EAF=1.6×=0.8（米），
∴FB=AF+AD+DB=0.8+2+4=6.8（米）．∴灯的顶端E距离地面6.8米．
22.【答案】解：在Rt△CED中，∠CED=58°，
∵tan58°=，
∴DE=，
在Rt△CFD中，∠CFD=22°，
∵tan22°=，
∴DF=，
∴EF=DF-DE=，
同理：EF=BE-BF=，
∴，
解得：AB≈5.9（米），
答：建筑物AB的高度约为5.9米．
23.【答案】解：（1）过点A作AD⊥BC于D，
由题意得AB=300，∠ABD=30°
∴AD=AB=150（km）；
（2）∵150＜200
∴该市点A受到台风严重影响
设台风中心距A点200km处，刚好处在BC上的E，F两点则
在Rt△ADE中，AE=200，AD=150
∴DE==
∴EF=2DE=
∴该市A受台风严重影响的时间为．
24.【答案】解：（1）∵点P在反比例函数的图象上，
∴把点代入可得：k2＝4，∴反比例函数的表达式为，
∴Q点坐标为(4，1)．把，Q(4，1)分别代入y＝k1x+b中，得
解得
∴一次函数的表达式为y＝-2x+9;
（2）点P关于原点的对称点P'的坐标为;?
（3）过点P′作P′D⊥x轴，垂足为D．
∵，∴，P′D＝8．
∵点A在y＝-2x+9的图象上，
∴点A坐标为，即，
∴DA＝5，
∴，，
∴
25.【答案】解：（1）∵AE是AM和AN的比例中项，
∴=，∵∠A=∠A，
∴△AME∽△AEN，
∴∠AEM=∠ANE，
∵∠D=90°，∴∠DCE+∠DEC=90°，
∵EM⊥BC，∴∠AEM+∠DEC=90°，
∴∠AEM=∠DCE，
∴∠ANE=∠DCE；
（2）∵AC与NE互相垂直，
∴∠EAC+∠AEN=90°，
∵∠BAD=90°，∴∠ANE+∠AEN=90°，
∴∠ANE=∠EAC，
由（1）得∠ANE=∠DCE，∴∠DCE=∠EAC，
∴tan∠DCE=tan∠DAC，∴=，
∵DC=AB=3，AD=4，
∴DE=，∴AE=4-=，
由（1）得∠AEM=∠DCE，
∴tan∠AEM=tan∠DCE，∴=，∴AM=，
∵=，∴AN=，
∴MN=.
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精品试卷·第
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