二次函数的应用复习

(共28张PPT)
二次函数的三种解析式
1.一般式y=ax2+bx+c(a≠0）
2.两根式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
3.顶点式y=a(x+m)2+k (a≠0)
一般式 y=ax2+bx+c(a≠0）
a , b同号
a , b异号
C＞0
C＜0
经过原点
x
y
o
C
x
y
o
C
x
y
o
C
x
y
o
C
x
y
o
C
与y轴正半轴相交
与y轴负半轴相交
对称轴在y轴的左侧
对称轴在y轴的右侧
C =0
3. C的作用（决定与y轴交点）
2. a,b的作用（决定对称轴）
对称轴为y轴
b=0
1.系数a的作用：
（决定开口方向与开口大小
以及函数最值情况）
|a|越大，抛物线的张口越小；
|a|越小，抛物线的张口越大，
|a|相同的抛物线通过平移
（或旋转）一定能重合。
与x轴交点的求法：
令y=0,得到ax2+bx+c=0
与x轴交点情况：
当b2-4ac＞0时有两个交点
当b2-4ac=0时有一个交点
当b2-4ac＜0时没有交点
顶点在y轴上 b=0
顶点在x轴上
x
y
o
x
y
o
x
y
o
顶点在原点b=c=0
x
y
o
x
y
o
与y轴交点的求法：令x=0,得到y=c 即（0，c）
例1 已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，那么下列判断中不正确的有（ ）
A.abc>0
B.b2-4ac>0
C.2a+b>0
D.4a-2b+c<0
-1
1
x
y
o
典型例题举例：
D
练习:已知二次函数
y=ax2+bx+c的图象如图所
示,下列结论①a+ b + c<0
②a – b + c>0 ③abc>0 ④
b=2a。其中正确的结论的
个数是（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
x
y
O
-1
1
m
n
D
例2 （1）若二次函数y=x2+2(m-1)x+2m-m2的图像经过原点，求m的值
（2）若二次函数y=x2+2(m-1)x+2m-m2的图像关于y轴对称，求m的值
2m-m2=0,m=2或m=0
当m>0时,向左平移
当m<0时,向右平移
当k>０时向上平移
当k<０时向下平移
的图象：
对称轴是 _____________， 顶点坐标是 __________。
直线x=-m
(-m, k)
顶点式 y=a(x+m)2+k
（所有一般式 y=ax2+bx+c(a≠0）都可以配成顶点式来考虑）
平移规律 ：m正左负右 k正上负下
当k<０时向下平移
当k>０时向上平移
当m>0时,向左平移
当m<0时,向右平移
例3 （1）抛物线Y=2(x-1)2+3向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的图像的函数解析式为 。
（2）二次函数y=3x2-6x+5的图象可由怎样的
二次函数的图象经过如何平移变换得到？
（3）二次函数的图像可由函数y=ax2-1的图像
向左平移2个单位得到，且过点M(-1,-3)
（4） 把抛物线y=ax2+bx+c向下平移2个单位，再向左平移6个当单位，所得的抛物线顶点为(-3,-1)，且a+b+c=9，求原抛物线解析式
（5）已知抛物线L2与抛物线L1：y=x2-2x-3关于X轴对称，求抛物线L2的解析式
x
y
o
P(1,- 4)
A
B
-1
3
-3
P’(1,4)
由a和顶点坐标确定函数解析式
若关于y轴对称呢
若关于原点对称呢
L1
若绕着顶点旋转1800 ？
y
O
C
x1
x2
A
B
二次函数与方程、不等式的关系
思考：满足什么条件时，二次函数值恒大于0？恒小于0？
x
y
o
1
-3
-2
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示
对称轴x=_____
顶点坐标:______
当x=_____时,y有最_____值是____
函数值y<0时,对应x的取值范围是_______
函数值y>0时,对应x的取值范围是_______
函数值y=0时,对应x的取值范围是_______
-1
(-1,-2)
-1
小
-2
-3x<-3或x>1
-3或1
例4.求满足下列条件的二次函数解析式：
（1）二次函数的图像与x轴交于点A(2,0),
B(4,0),且图像过点C(1,6)
（2）二次函数当x=1时有最大值y=4,且x=0时
y=0
（3）图象在x轴上截得的线段长为4，图象
的顶点坐标为P（3，-2）。
x
y
O
P(3,-2)
1
5
例5.已知点A（-1，-1）在抛物线
y=(k2-1)x2-2(k-2)x+1上
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若B点与A点关于抛物线的对称轴对称，
问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？
如果存在，求符合条件的直线；如果不存
在，说明理由。
解（2）∵ B点与A点关于抛物线的对称轴对称∴B点坐标为（x,-1），又B点在抛物线
上，
解得B点坐标为
K=-3,y=8x2+10x+1
课堂小结：
1. 抛物线的三种解析式？
3. 各种解析式对称轴、顶点坐标求法？
2. 如何选择这三种解析式求抛物线的解析式？
4. 抛物线的平移旋转规律？
5. 抛物线与x轴两交点距离的求法？
( 1 )图象过A(0，1) 、B（1，2）、C（2，-1）三点
已知抛物线y=ax2+bx+c满足下列条件,求函数的解析式.
（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c
∵图象过A(0，1) 、B（1，2）、C（2，-1）三点
∴
∴
∴y= -2x2+3x+1
巩固练习
x
y
o
解：∵A(1，0)，对称轴为x=2
∴抛物线与x轴另一个交点C应为（3，0）
∴设其解析式为y=a(x-1)(x-3)
∵B（0，-3）
∴-3=a（0-1）（0-3）
∴a= -1
∴y= -(x-1)(x-3)
（2）图象经过A（1，0）、B（0，-3），且对称轴是直线x=2
1
A
B
-3
C
3
2
（3）图象顶点是（-2，3），且经过点（-1，5）
解：∵图象顶点是（-2，3）
∴设其解析式为y=a（x+2）2+3
∵经过点（-1，5）
∴5=a（-1+2）2+3
∴a=2
∴y=2（x+2）2+3
（4）图象和x轴交于（-2，0）、（4，0）两点且顶点为（1，-9/2）
解：由于题中告诉了图象与x轴的交点坐标，又告诉了顶点坐标，所以既可以用两根式又可以用顶点式来设其解析式
设两根式为：y=a(x+2)(x-4)
∴-9/2=a(1+2)(1-4)
∵顶点为（1，-9/2）
∴a= -1/2
∴y= -1/2(x+2)(x-4)
（5）图象顶点是M（1，16）且与x轴交于两点，已知两交点相距8个单位。
解： ∵顶点M坐标为（1，16），对称轴为x=1，又交点A、B关于直线x=1对称，AB=8
∴A（-3，0）、B（5，0）
∴此函数解析式可设为
y=a（x-1）2+16
或y=a（x+3）（x-5）
x
y
o
1
16
A
B
- 3
5
(6)经过点A（2，4），B（-1，0）且在x轴上截得的线段长为2
解： ∵B（-1，0）且在x轴上截得的线段长为2
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为C（-3，0）或C’（1，0）
∴设抛物线的解析式为y=a（x- x1）（x- x2）
①当抛物线经过B、C三点时，解析式为y=a（x+1）（x+3）
又∵抛物线经过A（2，4）
∴4=a（2+1）（2+3）
②当抛物线经过B、C’ 三点时，解析式为y=a（x+1）（x-1）
x
y
o
B
-1
- 3
1
C
C’
∴a=
∴y= （x+1）（x+3）
（7）已知抛物线C与抛物线y=2x2-4x+5关于x轴对称，求抛物线C 的解析式。
x
y
O
(1,3)
Y=2(x-1)2+3
(1,-3)
y=2(x-1)2-3
1.若把抛物线y=2x2-4x+5关于y轴对称
2.若把抛物线y=2x2-4x+5绕着顶点旋转1800
思考：