第3章 圆的基本性质 单元测试卷（有答案）

2020-2021学年浙教新版九年级上册数学《第3章
圆的基本性质》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．下面说法正确的是（　　）
A．一条路已经修了80%千米
B．半径是2厘米的圆，它的周长和面积相等
C．某班的出勤率达到101%
D．某校的男同学人数比女同学人数多10%
2．半径为10的⊙O，圆心在直角坐标系的原点O，则点P（8，6）与⊙O的位置关系是（　　）
A．在⊙O上
B．在⊙O内
C．在⊙O外
D．不能确定
3．如图，在直角坐标系中，点A（0，3）、点B（4，3）、点C（0，﹣1），则△ABC外接圆的半径为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．
4．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，弧AD＝弧CD，若∠CAB＝40°，则∠CAD＝（　　）
A．30°
B．40°
C．50°
D．25°
5．如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上的五个点，圆心O在AD上，∠BCD＝110°，则∠AEB的度数为（　　）
A．70°
B．35°
C．40°
D．20°
6．下面说法正确的个数有（　　）
①若m＞n，则ma2＞nb2；
②由三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；
③有两个角互余的三角形一定是直角三角形；
④各边都相等的多边形是正多边形；
⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形．
A．1
个
B．2
个
C．3
个
D．4
个
7．如图，扇形OAB中，OB＝3，∠AOB＝100°，点C在OB上，连接AC，点O关于AC的对称点D刚好落在上，则的长是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．在直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（3，4），把线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA'，则点A'的坐标为（　　）
A．（4，3）
B．（4，﹣3）
C．（﹣4，3）
D．（3，﹣4）
9．如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连结AB、AD，若AD＝，则半径R的长为（　　）
A．1
B．
C．
D．
10．如图，点C是半圆O的中点，AB是直径，CF⊥弦AD于点E，交AB于点F，若CE＝1，EF＝，则BF的长为（　　）
A．
B．1
C．
D．
二．填空题（共10小题）
11．已知弦AB把圆周分成1：9两部分，则弦AB所对圆心角的度数为　
　．
12．如图，⊙O的半径为1，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则的长为　
　．
13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝60°，BC＝6，则⊙O的半径是　
　．
14．若过⊙O内一点M的最长弦为10，最短弦为6，则OM的长为　
　．
15．如图，已知AB为⊙O的直径，AB＝AC，⊙O交BC于D，DE⊥AC于E，⊙O的半径为2.5，AD＝3，则DE的长为　
　．
16．在平面直角坐标系中有A，B，C三点，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为　
　．
17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD．若∠BDC＝40°，则∠BCD的度数为　
　．
18．正六边形的边长为2，则边心距为　
　．
19．平面直角坐标系中，点A的坐标为（，1），以原点O为中心，将点A逆时针旋转150o得到点A′，则点A′的坐标为　
　．
20．已知一个扇形的圆心角是60°，面积是6π，那么这个扇形的弧长是　
　．
三．解答题（共7小题）
21．如图，在⊙O中．
（1）若＝，∠ACB＝80°，求∠BOC的度数；
（2）若⊙O的半径为13，且BC＝10，求点O到BC的距离．
22．如图，已知⊙O与⊙O内一定点P，请用尺规作图法求作经过点P的最短弦AB．（保留作图痕迹，不写作法）
23．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上一点，连接DE，AE．
（1）∠CPD＝　
　°；
（2）若DC＝4，CP＝，求DP的长．
24．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝6，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积．
25．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，在BC上取一点D，连结AD，作△ACD的外接圆⊙O，交AB于点E．张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．
（1）小明编制题目是：若AD＝BD，求证：AE＝BE．请你解答．
（2）在小明添加条件的基础上请你再添加一条线段的长度，编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案．（根据编出的问题层次，给不同的得分）
26．如图，图1等腰△BAC与等腰△DEC，共点于C，且∠BCA＝∠ECD，连结BE、AD，若BC＝AC、EC＝DC．
（1）求证：BE＝AD；
（2）若将等腰△DEC绕点C旋转至图2、3、4情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么？
（请你用图2证明你的猜想）
27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．
（1）若∠BAC＝40°，则∠ADC＝　
　°；
（2）求证：∠BAC＝2∠DAC；
（3）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．解：A：根据百分数意义，百分数表示一个数是另一个数的百分之几，不能表示具体数量，无单位，故错误；
B：圆的周长单位是厘米，面积单位是平方厘米，两者之间无法比较大小，故错误；
C：出勤率最高为100%，不可能更大了，因此选项错误；
故选：D．
2．解：∵点P（8，6），
∴OP＝＝10，
则OP＝r，
∴点P在⊙O上，
故选：A．
3．解：连接AB、BC，如图，
∵A（0，3）、B（4，3），
∴AB⊥y轴，
∴∠BAC＝90°，
∴BC为△ABC外接圆的直径，
∵AC＝3+1＝4，AB＝4，
∴BC＝＝4，
∴△ABC外接圆的半径为2．
故选：D．
4．解：连接OD、OC，如图，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∵＝，
∴∠AOD＝∠COD＝∠AOB＝50°，
∴∠CAD＝∠COD＝25°．
故选：D．
5．解：如图，连接DE，
∵四边形BCDE是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BED＝180°，
∵∠BCD＝110°，
∴∠BED＝70°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB＝∠AED﹣∠BED＝90°﹣70°＝20°，
故选：D．
6．解：①若m＞n，则ma2＞nb2，当a＝0时错误；故不符合题意；
②由不在同一直线上的三条线段首尾
顺次相接所组成的图形叫做三角形，故不符合题意；
③有两个角互余的三角形一定是直角三角形，故符合题意；
④各边都相等，各角也相等的多边形是正多边形，故不符合题意．
⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形是钝角三角形或直角三角形，故不符合题意；
故选：A．
7．解：连接OD，
∵点D是点O关于AC的对称点，
∴AD＝OA，
∵OA＝OD，
∴OA＝OD＝AD，
∴△OAD为等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∴∠BOD＝100°﹣60°＝40°，
∴的长＝＝π，
故选：B．
8．解：如图，由题意A（3，4），把线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA'，观察图象可知A′（4，﹣3）．
故选：B．
9．解：∵弦AC＝BD，
∴，
∴，
∴∠ABD＝∠BAC，
∴AE＝BE；
连接OA，OD，
∵AC⊥BD，AE＝BE，
∴∠ABE＝∠BAE＝45°，
∴∠AOD＝2∠ABE＝90°，
∵OA＝OD，
∴AD＝R，
∵AD＝，
∴R＝1，
故选：A．
10．解：如图，连接AC，BC，OC，过点B作BH⊥CF交CF的延长线于H，设OC交AD于J．
∵＝，
∴AC＝BC，OC⊥AB，
∵AB是直径，
∴ACB＝90°，
∴∠ACJ＝∠CBF＝45°，
∵CF⊥AD，
∴∠ACF+∠CAJ＝90°，∠ACF+∠BCF＝90°，
∴∠CAJ＝∠BCF，
∴△CAJ≌△BCF（ASA），
∴CJ＝BF，AJ＝CF＝1+＝，
∵OC＝OB，
∴OJ＝OF，设BF＝CJ＝x．OJ＝OF＝y，
∵∠AEC＝∠H＝90°，∠CAE＝∠BCH，CA＝CB，
∴△ACE≌△CBH（AAS），
∴EC＝BH＝1，
∵∠ECJ＝∠FCO，∠CEJ＝∠COF＝90°，
∴△CEJ∽△COF，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EJ＝，
∵BF＝CJ，∠H＝∠CEJ，∠CJE＝∠BFH，
∴△BHF≌△CEJ（AAS），
∴FH＝EJ＝，
∵AE∥BH，
∴＝，
∴＝，
整理得，10x2+7xy﹣6y2＝0，
解得x＝y或x＝﹣y（舍弃），
∴y＝2x，
∴＝，
解得x＝或﹣（舍弃）．
∴BF＝，
故选：A．
二．填空题（共10小题）
11．解：∵弦AB把圆周分成1：9两部分，
∴弦AB所对圆心角的度数＝×360°＝36°．
故答案为36°．
12．解：由圆周角定理得，2∠BAD＝∠BOD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD，
∴180°﹣∠BAD＝2∠BAD，
解得，∠BAD＝60°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝120°，
∴的长＝＝π，
故答案为：π．
13．解：作直径CD，如图，连接BD，
∵CD为直径，
∴∠CBD＝90°，
∵∠D＝∠A＝60°，
∴BD＝BC＝×6＝6，
∴CD＝2BD＝12，
∴OC＝6，
即⊙O的半径是6．
故答案为6．
14．解：由已知可知，最长的弦是过M的直径AB，
最短的是垂直平分直径的弦CD，
已知AB＝10，CD＝8，
则OD＝5，MD＝4，
由勾股定理得OM＝3．
故答案为：3．
15．解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴AC＝5，
在Rt△ADC中，∵AC＝5，AD＝3，
∴CD＝＝4，
∵×DE×AC＝×AD×CD，
∴DE＝＝．
故答案为
16．解：∵A（1，3），B（3，3），C（5，1）不在同一直线上
∴经过点A，B，C可以确定一个圆
∴该圆圆心必在线段AB的垂直平分线上
∴设圆心坐标为M（2，m）
则点M在线段BC的垂直平分线上
∴MB＝MC
由勾股定理得：＝
∴1+m2﹣6m+9＝9+m2﹣2m+1
∴m＝0
∴圆心坐标为M（2，0）
故答案为：（2，0）．
17．解：∵∠BDC＝40°，
∵∠BDC与∠BAC在BC的同侧，
∴∠BAC＝40°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAD＝2∠BAC＝80°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠BAD＝180°；
∴∠BCD的度数为100°，
故答案为：100°．
18．解：如图所示：
连接OA、OB，作OC⊥AB于C，
则∠OCA＝90°，AC＝BC＝AB＝1，∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝30°，
∴OC＝AC＝；
故答案为：．
19．解：如图，过点A作AE⊥x轴于E．
∵A（，1），
∴OE＝，AE＝1，
∴tan∠AOE＝＝，
∴∠AOE＝30°，
∴OA＝OA′＝2OE＝2，
∵∠AOA′＝150°，
∴点A′在x轴上，
∴A′（﹣2，0），
故答案为（﹣2，0）．
20．解：设扇形的半径为r，
由题意，＝6π，
∴r＝6，
∴扇形的弧长＝＝2π，
故答案为2π．
三．解答题（共7小题）
21．解：（1）∵＝，
∴∠ABC＝∠ACB＝80°，
∴∠A＝180°﹣80°﹣80°＝20°，
∴∠BOC＝2∠A＝40°；
（2）作OH⊥BC于H，如图，则BH＝CH＝BC＝5，
在Rt△OBH中，OH＝＝＝12，
即点O到BC的距离为12．
22．解：如图所示：线段AB即为所求；
23．解：（1）如图，连接BD，
∵正方形ABCD内接于⊙O，P为上一点，
∴∠DBC＝45°，
∵∠CPD＝∠DBC，
∴∠CPD＝45°．
故答案为：45；
（2）如图，作CH⊥DP于H，
∵CP＝2，∠CPD＝45°，
∴CH＝PH＝2，
∵DC＝4，
∴DH＝＝＝2，
∴DP＝PH+DH＝2+2．
24．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，
又∵OC为半径，
∴AE＝ED，
（2）解：连接CD，OD，
∵OC∥BD，
∴∠OCB＝∠CBD＝30°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠AOC＝∠OCB+∠OBC＝60°，
∵∠COD＝2∠CBD＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∵AB＝6，
∴BD＝3，AD＝3，
∵OA＝OB，AE＝ED，
∴，
∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD＝﹣＝3π﹣．
25．（1）证明：连结DE，
∵∠C＝90°，
∴AD为直径，
∴DE⊥AB，
∵AD＝BD，
∴AE＝BE；
（2）答案不唯一．
①第一层次：若AC＝4，求BC的长．答案：BC＝8；
②第二层次：若CD＝3，求BD的长．答案：BD＝5；
③第三层次：若CD＝3，求AC的长．
设BD＝x，
∵∠B＝∠B，∠C＝∠DEB＝90°，
∴△ABC～△DBE，
∴＝，
∴＝，
∴x＝5，
∴AD＝BD＝5，
∴AC＝＝4．
26．（1）证明：∵∠BCA＝∠ECD，
∴∠BCA﹣∠ECA＝∠ECD﹣∠ECA，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD；
（2）解：图2、图3、图4中，BE＝AD，理由如下：
∵∠BCA＝∠ECD，
∴∠BCA﹣∠ECA＝∠ECD﹣∠ECA，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD．
27．（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC＝180°﹣∠BAC＝110°，
故答案为：110；
（2）证明：∵BD⊥AC，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD，
∵∠DAC＝∠CBD，
∴∠BAC＝2∠DAC；
（3）解：过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC，
∴∠BAH＝∠CAH＝CAB，CH＝BH，
∵∠BAC＝2∠DAC，
∴∠CAG＝∠CAH，
过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，
∴∠G＝∠AHC＝90°，
∵AC＝AC，
∴△AGC≌△AHC（AAS），
∴AG＝AH，CG＝CH，
∵∠CDG＝∠ABC，
∴△CDG∽△ABH，
∴＝＝，
∴＝，
设BH＝k，AH＝2k，
∴AB＝＝k＝10，
∴k＝2，
∴BC＝2k＝4．