26.2.2 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与性质同步练习（含解析）

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华东师大版26.2.2
二次函数y=ax?＋bx＋c的图象与性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线的对称轴是（
）
A．直线
B．直线
C．直线
D．直线
2．抛物线的开口方向和顶点坐标分别是(
)
A．向上，
B．向下，
C．向下，
D．向上，
3．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如下图所示，那么（
）
A．a＜0，b＞0，c＞0
B．a＜0，b＜0，c＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0
D．a＜0，b＜0，c＜0
4．已知二次函数y＝a(x－1)2＋3，当x＜1时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是(　　)
A．a≥0
B．a≤0
C．a＞0
D．a＜0
5．二次函数的图象一定不经过（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限．
6．用配方法将化成的形式为：
A．
B．
C．
D．
7．要得到二次函数y=-x2+2x-2的图象，需将y=-x2的图象（
）
A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位
B．向右平移2个单位，再向上平移2个单位
C．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
8．函数与抛物线的图象可能是（
）．
A．
B．
C．
D．
9．已知二次函数y＝kx2-7x-7的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为（　　）
A．k＞
B．k≥且k≠0
C．k＜
D．k＞且k≠0
10．抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a＜0）经过点(0，2)，且关于直线x＝﹣1对称，（x1，0）是抛物线与x轴的一个交点，有下列结论，其中结论错误的是（
）
A．方程ax2＋bx＋c＝2的一个根是x＝﹣2
B．若x1＝2，则抛物线与x轴的另一个交点为(﹣4，0)
C．若m＝4时，方程ax2＋bx＋c＝m有两个相等的实数根，则a＝﹣2
D．若≤x≤0时，2≤y≤3，则a＝
二、填空题
11．抛物线的开口方向向______，对称轴是__________，最高点的坐标是_________，函数值得最大值是________．
12．把抛物线变为的形式是________．
13．抛物线的最高点为（-1，-3），则b+c=____________。
14．如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称，则Q点的坐标为________．
15．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象的顶点为点D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为－1，3，与y轴负半轴交于点C．在下面五个结论中：①2a－b＝0；②a＋b＋c>0；③c＝－3a；④只有当a＝时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值有4个．其中正确的结论是________(只填序号)．
三、解答题
16．已知一个二次函数的图像经过、、三点.（1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个二次函数图像平移，使顶点移到点的位置，求所得新抛物线的解析式.
已知：二次函数
（1）求出该函数图象的顶点坐标；（2）在所提供的网格中画出该函数的草图．
18．如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）M在抛物线上，线段MA绕点M顺时针旋转90°得MD，当点D在抛物线的对称轴上时，求点M的坐标；
（3）P在对称轴上，Q在抛物线上，以P，Q，B，C为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P的坐标．
参考答案
1．C
解析：
【分析】
用对称轴公式即可得出答案．
解析：
抛物线的对称轴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线的对称轴，熟记对称轴公式是解题的关键.
2．B
解析：
【分析】
对于抛物线y=a(x?h)2+k(a≠0),当a＞0时,开口向上;当a＜0时,开口向下,顶点坐标为(h,k),据此即可完成解答.
解析：
由二次函数图象的性质可知,抛物线y=?3x2+4=?3(x2-0)+4，则抛物线y=?3x2+4的开口向下,顶点坐标为(0,4).故选择B.
【点睛】
本题考查抛物线的开口方向、顶点坐标，解题的关键是掌握抛物线的开口方向、顶点坐标的求法.
3．B
【分析】
先根据图象的开口确定a的符号，利用对称轴知b的符号，与y轴的交点确定c的符号．
解析：
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴左侧，
∴x=-＜0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；
4．D
解析：
：∵二次函数y=a（x-1）2+3，
∴该二次函数的对称轴为直线x=1，
又∵当x＜1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0.
故选D．
【点睛】运用了二次函数的性质，解题的关键是明确在二次函数中，当a＞0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a＜0时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小．
5．A
解析：
∵二次函数y=ax2-2x-3（a＜0）的对称轴为直线x,
∴其顶点坐标在第二或三象限，
∵当x=0时，y=-3，
∴抛物线一定经过第四象限，
∴此函数的图象一定不经过第一象限．
故选A．
6．B
解析：
试题解析：
故选B.
7．D
【分析】
根据顶点坐标的变化可以确定选项.
解析：
解：原抛物线的顶点坐标为（0，0），y=-x2+2x-2=-（x-1）2-1,所以新抛物线的顶点坐标为（1，-1），
∴将原抛物线向右平移1个单位，再向下平移1个单位可得到新抛物线．
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，熟记平移规律和顶点坐标是解题关键.
8．C
【分析】
一次函数和二次函数与y轴交点坐标都是(0,1)，然后再对a分a>0和a<0讨论即可．
解析：
解：由题意知：与抛物线与y轴的交点坐标均是(0,1)，故排除选项A；
当a>0时，一次函数经过第一、二、三象限，二次函数开口向上，
故其图像有可能为选项C所示，但不可能为选项B所示；
当a<0时，一次函数经过第一、二、四象限，二次函数开口向下，不可能为为选项D所示；
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数与二次函数的图像关系，熟练掌握函数的图像与系数之间的关系是解决本类题的关键．
9．C
【分析】
根据二次函数图像与x轴没有交点说明
，建立一个关于k的不等式，解不等式即可.
解析：
∵二次函数的图象与x轴无交点，
∴
即
解得
故选C．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式和二次函数图像与x轴交点个数的关系，掌握根的判别式是解题的关键.
10．D
【分析】
根据已知条件可将二次函数y＝ax2＋bx＋c变形为y
=a（x＋1）2﹣a＋2，把x=-2代入，可对A进行判断；利用对称性可对B进行判断；依据一元二次方程根的差别式可对C进行判断；根据抛物线的图象与性质可对D进行判断.
解析：
解：由已知可得，c＝2，b＝2a，
∴y＝ax2＋2ax＋2＝a（x2＋2x）＋2＝a（x＋1）2﹣a＋2，
A.当x＝﹣2时，y＝2，
∴方程ax2＋bx＋c＝2的一个根是x＝﹣2；故A正确，不符合题意；
B.若x1＝2，函数的对称轴为直线x＝﹣1，则抛物线与x轴的另一个交点为(﹣4，0)，正确，不符合题意；
C.ax2＋2ax＋2＝4时，△＝4a2＋8a＝0，
∴a＝0或a＝﹣2，
∴a＝﹣2，正确，不符合题意；
D.若﹣≤x≤0时2≤y≤3；
在﹣≤x≤0时，当x＝﹣1时，y有最大值2﹣a，当x＝0时，有最最小值2；
∴3＝2﹣a，
∴a＝﹣1，
故D.错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活运用求根公式和函数图象的增减性是解题的关键．
11．下
直线x=1
（1，1）
1
解析：
y=-4x2+8x-3=-4（x2-2x+1）+1=-4（x-1）2+1，
∴开口方向向下，对称轴是直线x=1，最高点的坐标是（1，1），函数值的最大值是1．
故答案为下；直线x=1；（1，1）；1．
点睛：函数y=ax2+bx+c=a(x+)2+，其对称轴为直线x=-，最高点坐标为（-，），函数的最值为（a>0时是最小值，a<0时是最大值）.
12．
解析：
y=2x2-12x-12=2(x2-6x+9)-30=2(x-3)2-30，
则m=3，n=-30，
则mn=-90.
故答案为-90.
13．-6
解析：
由最高点为（-1，-3），
得-1=-，-3=，
解得b=-2，c=-4，
则b+c=-6.
故答案为-6.
14．(－2，0)
解析：
试题解析：因为P、Q点关于直线
对称，所以P点到直线的距离应该与Q点到直线的距离相等，P点坐标为（4，0），所以Q点的坐标为（-2，0）.
故本题的答案为（-2，0）.
15．③④
解析：
试题分析：先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3确定出AB的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，∴AB=4，∴对称轴x=﹣=1，即2a+b=0．故①错误；②根据图示知，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0．故②错误；③∵A点坐标为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，而b=﹣2a，∴a+2a+c=0，即c=﹣3a．故③正确；④∵△ADB为等腰直角三角形．所以AD=BD=AB，设D（1，a+b+c），又b=﹣2a，c=﹣3a，故D（1，﹣4a）；列方程求解得a=1/2或a=﹣1/2（舍去），∴只有a=1/2时三角形ABD为等腰直角三角形，故④正确；⑤要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，当AB=BC=4时，∵AO=1，△BOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，∴c2=16﹣9=7，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c=﹣，与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a=；同理当AB=AC=4时，∵AO=1，△AOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，∴c2=16﹣1=15，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c=﹣与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a=；同理当AC=BC时在△AOC中，AC2=1+c2，在△BOC中BC2=c2+9，∵AC=BC，∴1+c2=c2+9，此方程无解．经解方程组可知只有两个a值满足条件．故⑤错误．综上所述，正确的结论是③④．故答案是：③④．
考点：1.抛物线与x轴的交点；2.二次函数图象与系数的关系；3.等腰三角形的判定．
16．(1)
;(2)
【分析】
（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用顶点式写出所得新抛物线的表达式．
解析：
（1）设所求二次函数的解析式为：.
由题意，得
解得
该二次函数的解析式为.
（2）新抛物线是由二次函数的图像平移所得，
.
又顶点坐标是，
.
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
17．（1）
(－2，－1)；（2）见解析
【分析】
（1）将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标；
（2）利用五点法画二次函数的图象即可．
解析：
（1）化为顶点式为
则该函数图象的顶点坐标为；
（2）先求出自变量x在处的函数值，再列出表格
当和时，
当和时，
当时，
列出表格如下：
由此画出该函数的草图如下：
【点睛】
本题考查了二次函数的顶点式、画二次函数的图象，掌握函数图象的画法是解题关键．
18．（1）y＝﹣x2+x+2；（2）点M（，）或（，）或（1+，）或（1﹣，）；（3）点P（，）或（，﹣）或（，）．
【分析】
（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2），即可求解；
（2）设点M（m，﹣m2+m+2）顺时针旋转90°此时点M即为点D（﹣m2+m+2，﹣m﹣1），即可求解；
（3）分BC是平行四边形的边、BC是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
解析：
解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2），
﹣2a＝2，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）设点M（m，﹣m2+m+2），
过点M作y轴的平行线HN，交过点A与x轴的平行线于点H，交x轴于点N，
∵∠DMH+∠HDM＝90°，∠DMH+∠AMN＝90°，
∴∠DHM＝∠AMN，
又∵∠MHD＝∠ANM＝90°，AM＝MD，
∴△MDH≌△AMN（ASA），
∴DH＝MN，
即：﹣m2+m+2＝|
﹣m|，
解得：m＝
或1，
故点M（，）或（，）或（1+，）或（1﹣，）；
（3）设点Q（m，n），n＝﹣m2+m+2，点P（，s），点B、C的坐标分别为：（2，0）、（0，2），
①当BC是平行四边形的边时，
点C向右平移2个单位向上平移2个单位得到B，
同样点Q（P）向右平移2个单位向上平移2个单位得到点P（Q），
则m+2＝，n﹣2＝s或m﹣2＝，n+2＝s，
解得：s＝或﹣，
故点P（，）或（，﹣）；
②当BC是平行四边形的对角线时，
m+＝2，n+s＝2，
解得：s＝，故点P（，），
综上，故点P的坐标为：（，）或（，﹣）或（，）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合性问题，能够正确求出函数解析式以及读懂题干意思，画出具体图形，求出点的坐标是解题的关键
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