第2章 有理数的运算
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1、下列叙述正确的是（ ）
A、有理数中有最大的数 B、零是整数中最小的数
C、有理数中有绝对值最小的数 D、若一个数的平方与立方结果相等，则这个数是0
2、在下列数，+1，6.7，﹣14，0，，﹣5中，属于整数的有（ ）
A、2个 B、3个
C、4个 D、5个
3、下列计算中，错误的是（ ）
A、（+）+（﹣）=﹣ B、（﹣）+（+）=﹣
C、（﹣）+（﹣）=﹣ D、（+）+（﹣）=0
4、下列说法中错误的是（ ）
A、一个正数的绝对值一定是正数 B、一个负数的绝对值一定是正数
C、任何数的平方一定是正数 D、任何数的平方都不是负数
5、下列各组数中，不相等的一组是（ ）
A、（﹣2）3和﹣23 B、（﹣2）2和﹣22
C、（﹣2）和﹣2 D、|﹣2|3和|2|3
6、已知两数相乘大于0，两数相加小于0，则这两数的符号为（ ）
A、同正 B、同负
C、一正一负 D、无法确定
7、已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，则（ ）
A、|a|＜|b|＜|c| B、|a|＞|b|＞|c|
C、|a|＞|c|＞|b| D、|c|＞|a|＞|b|
8、若﹣2减去一个有理数的差是﹣5，则﹣2乘这个有理数的积是（ ）
A、10 B、﹣10
C、6 D、﹣6
9、因燃油涨价，某航空公司把从城市A到城市B的机票价格上涨了10%，三个月后又因燃油价格的回落而重新下调10%，则下调后的票价与上涨前比，下列说法正确的是（ ）
A、不变 B、贵了
C、便宜了 D、不确定
10、某人以3千米每小时的速度在400米的环形跑道上行走，他从A处出发，按顺时针方向走了1分钟，再按逆时针方向走3分钟，然后又按顺时针方向走7分钟，这时他想回到出发地A处，至少需要的时间是（ ）分钟．
A、5 B、3
C、2 D、1
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11、据测算，我国每年因沙漠造成的直接经济损失超过5 400 000万元，这个数用科学记数法表示为 _________ 万元．
12、高度每增加1公里，气温大约降低4℃．现在地面气温是12℃，那么离地面4公里高空的温度是 _________ ．
13、大于﹣3.1而小于2的整数有 _________ 个．
14、某种零件，标明要求是φ18±0.2mm（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是17.9mm，该零件 _________ （填“合格”或“不合格”）
15、若在数轴上到点A距离为2的点所表示的数为4，则点A所表示的数为 _________ ．
16、某一电子昆虫落在数轴上的原点，从原点开始跳动，第1次向左跳1个单位长度到K1，第2次由K1向右跳2个单位长度到K2，第3次由K2向左跳3个单位长度到K3，第4次由K3向右跳4个单位长度到K4依此规律跳下去，当它跳第2009次落下时，电子昆虫在数轴上的落点K2009表示的数是 _________ ．
三、解答题（共8小题，满分66分）
17、把下列各数填在相应的表示集合的大括号内．
﹣1，﹣，﹣|﹣3|，0，，﹣0.3，1.7，9，
自然数：
整数：
分数：
负分数：
18、计算：
（1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）
（2）
（3）
（4）
19、在数轴上表示数，+5，﹣1，，0.5，并把这些数用“＜”连接．
20、根据图中标明的尺寸，求出当a=3，b=4时，阴影部分的面积．（已知π=3.14159，结果精确到0.001）
( http: / / www.m / )
21、现定义一种运算：a*b=ba﹣a+b．
试计算：
（1）2*3
（2）4*（﹣3）
22、某粮食加工厂从生产的粮食中抽出20袋检查质量，以每袋50千克为标准，将超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，结果记录如下：
与标准质量的偏差：
问：这20袋大米共超重或不足多少千克？总质量为多少千克？
23、一只小虫从某点O出发在一条直线上爬行．规定向右爬行为正，向左为负．小虫共爬行5次，小虫爬行的路程依次为：（单位：厘米）﹣5，﹣3，+10，﹣4，+8
（1）小虫最后离出发点多少厘米？
（2）若小虫爬行速度保持不变，共用了6分钟，请问小虫爬行速度是多少？
24、问题：你能比较20092010和20102009的大小吗？
为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较nn+1和（n+1）n的大小（n为正整数），我们从n=1，n=2，n=3…这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜出结论．
（1）通过计算，比较下列各组数字大小
①12 _________ 21②23 _________ 32③34 _________ 43
④45 _________ 54⑤54 _________ 65⑥67 _________ 76
…
（2）把第（1）题的结果经过归纳，你能得出什么结论？
（3）根据上面的归纳猜想得到的结论，试比较两个数的大小：
20092010 _________ 20102009（填“＞”、“＜”或“=”）答案与评分标准
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1、下列叙述正确的是（ ）
A、有理数中有最大的数 B、零是整数中最小的数
C、有理数中有绝对值最小的数 D、若一个数的平方与立方结果相等，则这个数是0
考点：有理数的乘方；有理数；绝对值。
分析：根据有理数、绝对值、乘方的有关定义及性质，对各选项进行判断．
解答：解：有理数中没有最大的数，A错；
整数中没有最小的数，B错；
绝对值最小的数是0，C正确；
一个数的平方与立方结果相等，则这个数是0或1，D错．
绝对值为非负数，所以有最小值0，
故选C．
点评：本题主要考查有理数中没有最大的数，整数中没有最小的数，绝对值最小的数是0，一个数的平方与立方结果相等，则这个数是0或1；熟练掌握这些知识点是解题的关键，也是今后学好数学的基础．
2、在下列数，+1，6.7，﹣14，0，，﹣5中，属于整数的有（ ）
A、2个 B、3个
C、4个 D、5个
考点：有理数。
分析：先找出所有整数，再计算个数．
解答：解：因为整数包括正整数、负整数和0，所以属于整数的有+1，﹣14，0，﹣5共4个．
故选C．
点评：注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
3、下列计算中，错误的是（ ）
A、（+）+（﹣）=﹣ B、（﹣）+（+）=﹣
C、（﹣）+（﹣）=﹣ D、（+）+（﹣）=0
考点：有理数的加法。
分析：两个有理数相加，同号的其余相同符号，然后把绝对值相加；异号的取绝对值较大的符号，然后用绝对值大的减去绝对值小的；根据此法则即可判定选择项．
解答：解：A、（+）+（﹣）=﹣，故选项正确；
B、（﹣）+（+）=，故选项错误；
C、（﹣）+（﹣）=﹣，故选项正确；
D、（+）+（﹣）=0，故选项正确．
故选B．
点评：此题主要考查了有理数的加法运算，解题关键是利用有理数的加法法则：两个有理数相加，同号的其余相同符号，然后把绝对值相加；异号的取绝对值较大的符号，然后用绝对值大的减去绝对值小的； 两个相反数相加和为0．
4、下列说法中错误的是（ ）
A、一个正数的绝对值一定是正数 B、一个负数的绝对值一定是正数
C、任何数的平方一定是正数 D、任何数的平方都不是负数
考点：有理数的乘方。
分析：任何数的平方和绝对值都大于或等于0；正数的平方和绝对值都大于0；0的平方和绝对值都为0．
解答：解：A、符合绝对值的性质；
B、符合绝对值的性质；
C、0的平方是0；
D、在实数范围内，任何数的平方都不是负数．
故选C．
点评：此题考查绝对值与平方的性质．任何数的平方和绝对值都大于或等于0；正数的平方和绝对值都大于0，0的平方和绝对值都为0．
5、下列各组数中，不相等的一组是（ ）
A、（﹣2）3和﹣23 B、（﹣2）2和﹣22
C、（﹣2）和﹣2 D、|﹣2|3和|2|3
考点：有理数的乘方。
分析：根据乘方的运算法则算出各自结果，然后进行比较得出答案．
解答：解：A中都是﹣8，B中一个是4一个是﹣4，C，D也都相等．
故选B．
点评：解决此类题目的关键是熟记有理数的乘方运算法则和绝对值的定义．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数．
6、已知两数相乘大于0，两数相加小于0，则这两数的符号为（ ）
A、同正 B、同负
C、一正一负 D、无法确定
考点：有理数的乘法；有理数的加法。
分析：两数相乘大于0，则两数同号，两数相加小于0，则这两数为同负．
解答：解：∵两数相乘大于0，则两数同号，
又∵两数相加小于0，
则这两数为同负．
故选B．
点评：本题考查了有理数的加法和乘法法则．
两数相乘，同号得正；同号两数相加，取相同的符号．
7、已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，则（ ）
A、|a|＜|b|＜|c| B、|a|＞|b|＞|c|
C、|a|＞|c|＞|b| D、|c|＞|a|＞|b|
考点：绝对值；数轴。
专题：数形结合。
分析：由题意已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，先判断a，b，c与0的关系，然后再判断与1的关系，从而进行求解．
解答：解：已知a，b，c在数轴上的位置可知：
a＜b＜0＜c＜1，
又a，b在﹣1的左边，
∴|a|＞|b|＞1，
∵c在1的左边，
∴|c|＜1，
∴|a|＞|b|＞|c|，
故选B．
点评：此题主要考查数轴与点的关系和绝对值的性质，是一道基础题，比较简单．
8、若﹣2减去一个有理数的差是﹣5，则﹣2乘这个有理数的积是（ ）
A、10 B、﹣10
C、6 D、﹣6
考点：有理数的混合运算。
分析：先由减法计算出这个数，再计算﹣2与这个数的积．
解答：解：根据题意得，这个有理数是﹣2﹣（﹣5）=3．
则﹣2×3=﹣6．
故选D．
点评：主要考查了有理数的混合运算，要掌握正确掌握运算顺序，即乘方运算（和以后学习的开方运算）叫做三级运算；乘法和除法叫做二级运算；加法和减法叫做一级运算．在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序．
9、因燃油涨价，某航空公司把从城市A到城市B的机票价格上涨了10%，三个月后又因燃油价格的回落而重新下调10%，则下调后的票价与上涨前比，下列说法正确的是（ ）
A、不变 B、贵了
C、便宜了 D、不确定
考点：列代数式。
专题：应用题；增长率问题。
分析：可设上涨前的票价为a元，然后列出下调后的价格为a（1+10%）（1﹣10%），与上涨前进行比较得出正确结果．
解答：解：设上涨前的票价为a元，
则由题意得：
下调后的价格为：a（1+10%）（1﹣10%）=0.99a＜a，
所以下调后的票价与上涨前比便宜了．
故选C．
点评：解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
10、某人以3千米每小时的速度在400米的环形跑道上行走，他从A处出发，按顺时针方向走了1分钟，再按逆时针方向走3分钟，然后又按顺时针方向走7分钟，这时他想回到出发地A处，至少需要的时间是（ ）分钟．
A、5 B、3
C、2 D、1
考点：一元一次方程的应用。
专题：行程问题。
分析：根据所学的正负数的意义判断出他离出发点的最少距离，除以速度即为最少需几分钟．
解答：解：3千米每小时=50米/分．
设A为原点，按顺时针方向记为正，那么按逆时针方向走则为负．
∴他此时离出发的距离为：[1+（﹣3）+7]×50=250米，
∵环形跑道长为400米，
∴回到原点最短距离为：400﹣250=150米，
∴需要的时间为：150÷50=3分．
故选B．
点评：出现两个相反的量时，一般应采用正负数表示不容易出差错；需注意本题是在环形跑道上，难点是找到回到原点的最短距离．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11、据测算，我国每年因沙漠造成的直接经济损失超过5 400 000万元，这个数用科学记数法表示为 5.4×106万元．
考点：科学记数法—表示较大的数。
专题：应用题。
分析：在实际生活中，许多比较大的数，我们习惯上都用科学记数法表示，使书写、计算简便．将一个绝对值较大的数写成科学记数法a×10n的形式时，其中1≤|a|＜10，n为比整数位数少1的数．
解答：解：5 400 000=5.4×106万元．
故答案为5.4×106．
点评：用科学记数法表示一个数的方法是（1）确定a：a是只有一位整数的数；（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．
12、高度每增加1公里，气温大约降低4℃．现在地面气温是12℃，那么离地面4公里高空的温度是 零下4℃ ．
考点：有理数的混合运算。
专题：应用题。
分析：因为高度每增加1公里，气温大约降低4℃．那么高度增加4公里，气温大约降低4℃×4=16℃．现在地面气温是12℃，则离地面4公里高空的温度是12℃﹣16℃=﹣4℃．
解答：解：由题意得12﹣4×4=﹣4（℃）
故答案为零下4℃
点评：此题结合实际问题考查有理数的混合运算，解答此题的关键是理清题意，列出正确的有理数式．
13、大于﹣3.1而小于2的整数有 5 个．
考点：有理数大小比较。
专题：计算题。
分析：根据题意画出数轴，在数轴上标出﹣3.1和2两个点，便可直接求出符合条件的整数．
解答：解：画出数轴并标出各点，如图：
( http: / / www.m / )
由图可知，符合条件的整数有﹣3，﹣2，﹣1，0，1共5个．
故填5．
点评：本题考查的是有理数的大小比较，引进了数轴，数和形结合起来，使问题更简单化．
14、某种零件，标明要求是φ18±0.2mm（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是17.9mm，该零件 合格 （填“合格”或“不合格”）
考点：正数和负数。
专题：应用题。
分析：φ18±0.2 mm，知零件直径最大是18+0.2=18.2，最小是18﹣0.2=17.8，合格范围在17.8mm和18.2mm之间．
解答：解：根据标明要求是φ18±0.2mm，得：
合格范围在17.8mm和18.2mm之间，
17.9mm在合格范围之间．
故答案为：合格．
点评：本题主要考查了正数和负数在实际生活中的应用．理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
15、若在数轴上到点A距离为2的点所表示的数为4，则点A所表示的数为 2或6 ．
考点：数轴。
专题：数形结合。
分析：根据题意先画出数轴，便可直观解答．
解答：解：如图，点A所表示的数为2或6．
点评：由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
16、某一电子昆虫落在数轴上的原点，从原点开始跳动，第1次向左跳1个单位长度到K1，第2次由K1向右跳2个单位长度到K2，第3次由K2向左跳3个单位长度到K3，第4次由K3向右跳4个单位长度到K4依此规律跳下去，当它跳第2009次落下时，电子昆虫在数轴上的落点K2009表示的数是 ﹣1005 ．
考点：有理数的混合运算；数轴。
专题：规律型。
分析：充分运用正负数的意义，列式计算，注意从左到右，两个相邻数的和都是﹣1，可以简化运算．
解答：解：规定向右为正，向左为负，根据正负数的意义得
0﹣1+2﹣3+4﹣…﹣2009=（﹣1）×2010÷2=﹣1005，
即：电子昆虫在数轴上的落点K2009表示的数是﹣1005．
点评：在实际问题中，正负数可以表示两个具有相反意义的量，本题中，向左、向右具有相反意义，可以用正负数列式计算．
三、解答题（共8小题，满分66分）
17、把下列各数填在相应的表示集合的大括号内．
﹣1，﹣，﹣|﹣3|，0，，﹣0.3，1.7，，π，1.1010010001…
整数{…}；
分数{…}；
无理数{…}．
考点：实数。
分析：根据实数的分类方法即可求解．主要注意的是π和1.1010010001…它们是无理数．
解答：解：整数{﹣1，﹣|﹣3|，0}；
分数{﹣，，﹣0.3，1.7}；
无理数{，π，1.1010010001…}．
点评：此题主要考查了实数的分类．实数分为：有理数和无理数．有理数分为：整数和分数；无理数分为：正无理数、负无理数（无限不循环小数）．
18、计算：
（1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）
（2）
（3）
（4）
考点：有理数的混合运算；有理数的加减混合运算。
专题：计算题。
分析：按照有理数混合运算的顺序，先乘方后乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的．
解答：解：（1）原式=﹣12﹣5﹣14+39=﹣31+39=8；
（2）原式=×48﹣×48+×48=32﹣18+10=24；
（3）原式=﹣18×××（）=；
（4）原式=﹣63×﹣49=﹣6﹣49=﹣55．
点评：本题考查的是有理数的运算能力．注意：
（1）要正确掌握运算顺序，在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序；
（2）去括号法则：﹣﹣得+，﹣+得﹣，++得+，+﹣得﹣．
（3）能用公式计算的就用公式．
19、在数轴上表示数，+5，﹣1，，0.5，并把这些数用“＜”连接．
考点：有理数大小比较；数轴。
专题：综合题。
分析：先分别把各数化简为﹣，5，﹣1，﹣4，0.5，再在数轴上找出对应的点，注意在数轴上标数时要用原数，最后比较大小的结果也要用化简的原数．
解答：解：这些数分别为﹣，5，﹣1，﹣4，0.5．
在数轴上表示出来如图所示．
根据这些点在数轴上的排列顺序，从左至右分别用“＜”连接为：
﹣4＜﹣＜﹣1＜0.5＜+5．
( http: / / www.m / )
点评：本题利用了数轴、数形结合的思想，以及有理数大小的比较．
20、根据图中标明的尺寸，求出当a=3，b=4时，阴影部分的面积．（已知π=3.14159，结果精确到0.001）
考点：列代数式；代数式求值。
专题：几何图形问题。
分析：阴影部分的面积=边长为a，a+b的长方形的面积﹣半径为a的圆的面积﹣边长为a，b的直角三角形的面积，把相关数值代入求解即可．
解答：解：∵长方形的面积为a（a+b），
直角三角形的面积为ab，
圆的面积为πa2，
∴阴影部分的面积=a（a+b）﹣ab﹣πa2=（1﹣π）a2+ab，
∵a=3，b=4，π=3.14159，
∴阴影部分的面积=7.9314225≈7.931．
点评：考查列代数式，得到阴影部分的面积的等量关系是解决本题的关键．
21、现定义一种运算：a*b=ba﹣a+b．
试计算：
（1）2*3
（2）4*（﹣3）
考点：整式的混合运算—化简求值。
专题：新定义。
分析：仔细观察定义运算式：a*b=ba﹣a+b，理清本运算式的意义．两数a、b的某种运算等于b（后一数）的a（前一数）次方﹣a（前一数）+b（后一数）．根据此定义运算即可．
解答：解：（1）2*3=32﹣2+3=9﹣2+3=10，
（2）4*（﹣3）=（﹣3）4﹣4+（﹣3）=74．
点评：做好本类题目的关键是要根据定义的表达式，弄清给定数值字符间蕴含的加减乘除运算关系．如本题中的a*b=ba﹣a+b，先算b的a次方，再减去a，随后加上b，并同a、b的先后位置有关．
22、某粮食加工厂从生产的粮食中抽出20袋检查质量，以每袋50千克为标准，将超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，结果记录如下：
与标准质量的偏差：
( http: / / www.m / )
问：这20袋大米共超重或不足多少千克？总质量为多少千克？
考点：有理数的乘法；正数和负数。
专题：应用题；图表型。
分析：求出偏差的和，依据和的正负即可判断，以每袋50千克为标准，计算出总质量，再加上偏差即可解决．
解答：解：﹣0.7×1﹣0.5×3﹣0.2×4+0+0.4×3+0.5×3+0.7×1=+0.4千克，
即这20袋大米共超重0.4千克；
这20袋大米的总质量是：50×20+0.4=1000.4千克；
答：这20袋大米共超重0.4千克，总质量为1000.4千克．
点评：解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．依据这一点可以简化数的求和计算．
23、一只小虫从某点O出发在一条直线上爬行．规定向右爬行为正，向左为负．小虫共爬行5次，小虫爬行的路程依次为：（单位：厘米）﹣5，﹣3，+10，﹣4，+8
（1）小虫最后离出发点多少厘米？
（2）若小虫爬行速度保持不变，共用了6分钟，请问小虫爬行速度是多少？
考点：有理数的加法；正数和负数。
专题：应用题。
分析：（1）直接把5次爬行的数据相加，再根据有理数的加减混合运算规则计算出结果即可；
（2）求出各数据的绝对值的和，再根据速度=路程÷时间解答．
解答：解：（1）（﹣5）+（﹣3）+（+10）+（﹣4）+（+8）
=﹣12+18
=6cm；
（2）|﹣5|+|﹣3|+|+10|+|﹣4|+|+8|
=5+3+10+4+8
=30cm，
30÷6=5厘米/分．
答：（1）小虫最后离出发点右侧6cm处；（2）小虫的爬行速度为5厘米/分．
点评：本题主要考查有理数的加减运算，第二问要利用爬行过的路程的绝对值的和求解，这是学生容易出错的地方．
24、问题：你能比较20092010和20102009的大小吗？
为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较nn+1和（n+1）n的大小（n为正整数），我们从n=1，n=2，n=3…这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜出结论．
（1）通过计算，比较下列各组数字大小
①12 ＜ 21②23 ＜ 32③34 ＞ 43
④45 ＞ 54⑤54 ＞ 65⑥67 ＞ 76
…
（2）把第（1）题的结果经过归纳，你能得出什么结论？
（3）根据上面的归纳猜想得到的结论，试比较两个数的大小：
20092010 ＞ 20102009（填“＞”、“＜”或“=”）
考点：有理数的乘方；有理数大小比较。
专题：规律型。
分析：（1）通过计算即可得出答案，（2）分类进行讨论：当n≤2时，nn+1＜（n+1）n，当n＞2时，nn+1＞（n+1）n，（3）根据规律进行比较即可．
解答：解：（1）通过计算得出：12＜21，23＜32，34＜43，45＞54，54＞65，67＞76，
（2）把第（1）题的结果经过归纳得出：
当n≤2时，nn+1＜（n+1）n，
当n＞2时，nn+1＞（n+1）n，
（3）根据以上结论得出：20092010＞20102009，
故答案为20092010＞20102009．
点评：本题考查了有理数的乘方和有理数大小比较，解题的关键是通过计算发现规律，然后根据规律进行判断就容易了．
