浙教版九年级数学上册作业本：专题提升七　与直角三角形有关的相似（Word版 含答案）

1065530010363200专题提升七　与直角三角形有关的相似
第1题图
1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，交AB于点D，若AD＝1，BD＝4，则CD等于(　　)
A．2　　　　B．4 C.　　　　D．3
2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，正方形DEFG的顶点D，E分别在边AC、BC上，顶点F、G都在边AB上．
(1)求证：GF2＝AG·BF；
(2)若BC＝3，AC＝4，求正方形DEFG的边长．
第2题图
(1)当直角三角形＋斜边上的高→所分成的三角形与原三角形均相似(母子相似)→AC2＝AD×AB，CD2＝DA×DB(射影定理)；
(2)当直角三角形内接矩形、正方形时，所有的三角形与原三角形均相似；
(3)当直角三角形＋另一直角→联想一线三直角或四点共圆．
例1　在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF(点E、F分别在边AC、BC上)．
(1)当AC＝BC＝2时，若△CEF与△ABC相似(如图1)，求AD的长；
(2)当点D是AB的中点时(如图2)，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．
例2　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD垂足为M，EN⊥CD垂足为N.
(1)当AD＝CD时，求证：DE∥AC；
(2)探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？
1．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，在底边AB上放置边长分别为3，4，x的三个相邻的正方形，则x的值为(　　)
A．5　　　　B．6　　　　C．7　　　　D．12
第1题图
第2题图
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，正方形DEFG的顶点D，E分别在边AC、BC上，顶点F、G都在边AB上．若BC＝3，AD＝4，则AG∶GF∶BF＝________．
3.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝5cm，点D在BC上，且CD＝3cm.现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连结EQ.设动点运动时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示AE、DE的长度；
(2)当t为何值时，△EDQ为直角三角形．
第3题图
4.如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AC∶AB＝1∶，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．且EF⊥CE，求EF∶EG的值．
第4题图
参考答案
【课前热身】
1．A　2.(1)∵四边形DEFG是正方形，∴DG＝GF＝EF，∠DGF＝∠EFG＝90°，∴∠DGA＝∠EFB＝90°，∴∠A＋∠B＝∠FEB＋∠B＝90°，∴∠A＝∠FEB，∴△AGD∽△EFB，∴＝，即＝，∴GF2＝AG·BF；　
第2题图
(2)过C作CH⊥AB交DE于M，设正方形DEFG的边长为x，∵BC＝3，AC＝4，∴AB＝5，CH＝2.4，∵DE∥AB，∴CM⊥DE，△CDE∽△CAB，∴＝，即＝，∴x＝，∴正方形DEFG的边长为.
【典型例题】
例1　(1)如图1，连结CD，∵AC＝BC＝2，∴△ABC是等腰直角三角形．又∵△CEF与△ABC相似，∴△CEF也是等腰直角三角形，∴∠CEF＝∠A＝45°，∴EF∥AB，由轴对称的性质知：EF⊥CD，∴CD⊥AB，又∵AC＝BC，∴点D是AB的中点，∴AD＝AB＝×＝；　(2)当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似，理由如下：如图2，连结CD，与EF交于点Q，∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD＝DB＝AB，∴∠DCB＝∠B，由轴对称的性质可知，∠CQF＝∠DQF＝90°，∴∠DCB＋∠CFE＝90°，∵∠B＋∠A＝90°，∴∠CFE＝∠A，又∵∠ECF＝∠BCA，∴△CEF∽△CBA.
例2　(1)证明：∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，∴∠BDC＝2∠DAC，∵DE是∠BDC的平分线，∴∠BDC＝2∠BDE，∴∠DAC＝∠BDE，∴DE∥AC；　(2)①当△BME∽△CNE时，得∠MBE＝∠NCE，∴BD＝DC，∵DE平分∠BDC，∴DE⊥BC，BE＝EC，又∠ACB＝90°，∴DE∥AC，∴＝，即BD＝AB＝＝5，∴AD＝5；②当△BME∽△ENC时，得∠EBM＝∠CEN，∴EN∥BD，∵EN⊥CD，∴BD⊥CD，即CD是△ABC斜边上的高，由三角形面积公式得AB·CD＝AC·BC，∴CD＝，∴AD＝＝.综上，当AD＝5或时，△BME与△CNE相似．
【针对练习】
1．C　2.16∶12∶9　3.(1)AE＝tcm，DE＝(5－t)cm; (2)如图1，∠EQD＝90°时，EQ∥AC，∴＝，即＝，解得，t＝；如图2，当∠DEQ＝90°时，△DEQ∽△DCA，∴＝，即＝，解得，t＝3.1，∴t＝s或t＝3.1s时，△EDQ为直角三角形．
第3题图
4．证法一：如图，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，∴四边形EQDH是矩形，∴∠QEH＝90°，∴∠FEQ＝∠GEH＝90°－∠QEG，又∵∠EQF＝∠EHG＝90°，∴△EFQ∽△EGH，∴EF∶EG＝EQ∶EH.∵AC∶AB＝1∶，∠CAB＝90°，∴∠B＝30°.在△BEQ中，∵∠BQE＝90°，∴EQ＝BE.在△AEH中，∵∠AHE＝90°，∠AEH＝∠B＝30°，AH＝AE，∴EH＝AE.∵点E为AB的中点，∴BE＝AE，∴EF∶EG＝EQ∶EH＝BE∶AE＝1∶＝∶3.　
第4题图
证法二：连结DE，GF，∵∠CEF＝∠ADB＝90°，∴E、F、D、G四点共圆，∴∠EDF＝∠EGF，又∵∠ADB＝90°，E为AB中点，∴DE＝EB，∴∠B＝∠EDB，又∠CAB＝90°，AC∶AB＝1∶，∴∠B＝30°＝∠EGF，∴EF∶EG＝1∶.　证法三：过E作EP∥AC交BC于点P，证△PEF∽△AEG，∴EF∶EG＝EP∶EA＝EP∶EB＝1∶.