浙教版九年级数学上册作业本：专题提升六　相似三角形基本图形(2)一线三等角（Word版 含答案）

1268730012077700专题提升六　相似三角形基本图形(2)一线三等角
1．如图，等边三角形ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
第1题图
第2题图
2．如图，等腰直角△ABC的直角边长为3，P为斜边BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝45°，则CD的长为____________．
(1)“一线三等角”型相似基本图形，通俗地讲，当一条直线上有三个相等的角时，总有两三角形相似．
(2)一线三等角可以在直线的同侧(如图1)，也可在直线的两侧(如图2)．等角常见的有30°，45°，60°，90°，也可以是一般的角．
(3)“一线三等角”＋中点，如图3，已知∠1＝∠2＝∠3，BD＝DC，则有△BED∽△DEF∽△CDF.
(4)在坐标系中出现直角时，常构造一线三等角模型．
例1　在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P为BC上的动点，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转．
(1)如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时，求证：△BPE∽△CFP；
(2)将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F.△BPE与△CFP还相似吗？(只需直接写出结论)
(3)在(2)的情形下，连结EF，△BPE与△PFE是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时，△BPE与△PFE相似？请说明理由．
例2　如图，已知抛物线的对称轴是直线x＝4，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A、C点的坐标分别是(2，0)、(0，3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上有一点P，满足∠PBC＝90°，求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，问在y轴上是否存在点E，使得以A、O、E为顶点的三角形与△PBC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
1．(连云港中考)如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为____________．
第1题图
第2题图
2．如图，点A在反比例函数y＝－(x<0)的图象上，点B在反比例函数y＝(x>0)的图象上，且∠AOB＝90°，则的值为(　　)
A．6　　　　B．3　　　　C.　　　　D．2
3.如图，已知点A(4，0)，B(－6，0)，点C是y轴上的一个动点，当∠BCA＝45°时，求点C的坐标．
第3题图
4.如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝5，D是AB上一点，BD＝2，E是BC上一动点，连结DE，并作∠DEF＝∠B，射线EF交线段AC于F.
(1)求证：△DBE∽△ECF；
(2)当F是线段AC中点时，求线段BE的长；
(3)连结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．
第4题图
参考答案
【课前热身】
1．B　2.
【典型例题】
例1　(1)证明：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°.∵∠B＋∠BPE＋∠BEP＝180°，∴∠BPE＋∠BEP＝135°，∵∠EPF＝45°，又∵∠BPE＋∠EPF＋∠CPF＝180°，∴∠BPE＋∠CPF＝135°，∴∠BEP＝∠CPF，又∵∠B＝∠C，∴△BPE∽△CFP(两角对应相等的两个三角形相似)．　(2)还相似；　(3)动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似，证明：同(1)，可证△BPE∽△CFP，得CP∶BE＝PF∶PE，而CP＝BP，因此PB∶BE＝PF∶PE.又因为∠EBP＝∠EPF，所以△BPE∽△PFE(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)．　例2　(1)设抛物线的解析式是y＝a(x－4)2＋b，根据题意得：
解得：则函数的解析式是：y＝x2－2x＋3；　(2)过P作PF⊥x轴，则△PBF∽△BCO，∴＝＝＝2，∴设点P的坐标为(m，n)，则n＝2(m－6)①，又点P在抛物线上，∴n＝m2－2m＋3②，①②联立解得m1＝10，m2＝6(舍去)，∴n＝2(10－6)＝8，∴点P的坐标为P(10，8)．　(3)∵PF⊥x轴，∴在Rt△PBF中，PB＝＝4，在Rt△OBC中，BC＝＝3，设点E坐标为(0，y)，∵△AOE与△PBC相似，∴①若AO与PB是对应边，则＝，解得|y|＝1.5，∴y＝±1.5，②若AO与BC是对应边，则＝，解得|y|＝，∴y＝±，∴在y轴上存在点E，使得△AOE与△PBC相似，点E坐标为，(0，±)．
【针对练习】
1.　2.C　3.解法一：如图，取OD＝OB＝6，OE＝OA＝4，易证△CDB∽△AEC，设OC＝x，有＝，得x2－10x－24＝0，解得x1＝12，x2＝－2(舍去)，∴OC＝12，根据轴对称性，C点的坐标为(0，12)或(0，－12)．　解法二：如图，在x正半轴上取OE＝OC，则∠OEC＝45°＝∠BCA，又∠B＝∠B，∴△BCA∽△BEC，有BC2＝BA·BE，设OE＝OC＝x，则36＋x2＝10×(x＋6)，得x1＝12，x2＝－2(舍去)，∴OC＝12，根据轴对称性，C点的坐标为(0，12)或(0，－12)．
第3题图
4．(1)∵AB＝AC＝6，∴∠B＝∠C，∵∠BDE＝180°－∠B－∠BED，∠CEF＝180°－∠DEF－∠BED，∵∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠CEF，∴△DBE∽△ECF；　(2)∵△DBE∽△ECF，∴＝，∵F是线段AC中点，∴CF＝AC＝3，∴＝，∴BE＝2或3；　(3)∵△DEF与△DBE相似，∴∠BED＝∠EDF，或∠DFE＝∠BED，当∠BED＝∠EDF，∴DF∥BC，∴∠ADF＝∠B，∠AFD＝∠C，∴∠ADF＝∠AFD，∴AD＝AF＝4，∴CF＝2；当∠DFE＝∠BED，则∠BDE＝∠FDE，∵△DBE∽△ECF，∴∠BED＝∠CFE，∴∠DFE＝∠CFE，∴点E在∠BDF与∠DFC的角平分线上，此时有：＝＝，即CE＝BE＝2.5，∵△DBE∽△ECF，∴＝，即＝，∴CF＝.综上所述，FC的长为2或.