4.1 比例线段(第3课时)
1．如果三个数a，b，c满足＝(或a∶b＝b∶c)，则称b为a，c的比例中项．b2＝ac?________________________________________________________________________.
2．点P把线段AB分成两条线段AP和PB，使AP＞PB，且______________，那么称线段AB被点P黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，其中较长一条线段AP与整条线段AB的比叫做黄金比．
3．若P为线段AB的黄金分割点且AP＞PB，则AP＝________AB≈________AB.
A组 基础训练
1．已知线段a＝4cm，b＝9cm，线段c是a，b的比例中项，则线段c的长为( )
A．6cm B．7cm C．8cm D．12cm
2．已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，则( )
A．AP2＝AB·PB B．AB2＝AP·PB
C．PB2＝AP·AB D．AP2＋BP2＝AB2
3．已知线段AB及AB上一点P，当P满足下列哪一种关系时，P为AB的黄金分割点：①AP2＝AB·PB；②AP＝AB；③PB＝AB；④＝；⑤＝.其中正确的是( )
A．①②③ B．①②③④
C．①不是 D．①②③④⑤
第4题图
4．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( )
A．4cm B．6cm
C．8cm D．10cm
5．如果a∶b＝3∶2，且b是a和c的比例中项，那么b∶c＝________．
6．点C是线段AB的黄金分割点，则等于________________．
7．如图，扇子的圆心角为x°，余下的圆心角为y°，x与y的比通常用黄金比来设计，这样的扇子造型美观，若取黄金比为0.6，则x＝________．
第7题图
第8题图
8.如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1______S2(填“＞”、“＝”或“＜”)．
9．(1)已知a＝4，c＝9，若b是a，c的比例中项，求b的值；
(2)已知线段MN是AB，CD的比例中项，AB＝4cm，CD＝5cm，求MN的长．并思考两题有何区别．
10．已知两条线段的和为8，它们的比例中项为2，则这两条线段的长为多少？
B组 自主提高
11.如图，直线y＝3x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B.过B点作直线BP与x轴正半轴交于点P，取线段OA、OB、OP，当其中一条线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，则P点的坐标为________________________．
第11题图
12.已知顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形(底边与腰的比值为黄金分割比)．如图，△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形，已知AB＝1，求DE的长度．
第12题图
13.若一个矩形的短边与长边的比值为(黄金分割数)，我们把这样的矩形叫做黄金矩形．
(1)操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD(AB>AD)中，以短边AD为一边作正方形AEFD；
(2)探究：在(1)中得到的四边形EBCF是不是黄金矩形？请说明理由；
第13题图
C组 综合运用
14.如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′＝EB.类似地，在线段AB上折出点B″，使AB″＝AB′，这时B″就是线段AB的黄金分割点．请你证明这个结论．
第14题图
参考答案
【课堂笔记】
1.＝ 2.＝ 3. 0.618
【课时训练】
1－4.ACBC 5.3∶2 6.或 7.135 8.＝ 9.(1)∵b是a，c的比例中项，∴a∶b＝b∶c，∴b2＝ac，b＝±，∵a＝4，c＝9，∴b＝±＝±6，即b＝±6；
(2)∵MN是线段，∴MN>0；∵线段MN是AB，CD的比例中项，∴AB∶MN＝MN∶CD，∴MN2＝AB·CD，∴MN＝±；∵AB＝4cm，CD＝5cm，∴MN＝±＝±2，MN不可能为负值，则MN＝2cm，通过解答(1)，(2)发现，b，MN同时作为比例中项出现，b可以取负值，而MN不可以取负值． 10.设一条线段长为x，则另一条线段长为(8－x)．∵(2)2＝x(8－x)，∴x1＝2，x2＝6，∴两线段长分别为2和6. 11.，(9，0)，(，0) 12.∵AB＝1，∴BC＝.∵＝＝，∴＝.∴＝.∴BE＝.∴DE＝.
第13题图
13．(1)在AB和DC上分别截取AE＝DF＝AD，连结EF，如图所示，则四边形AEFD就是所求作的正方形； (2)四边形EBCF是黄金矩形．理由：因为四边形AEFD是正方形，所以∠AEF＝90°，∠BEF＝90°，所以四边形EBCF是矩形．设CD＝a，AD＝b，则＝，所以＝＝－1＝－1＝，所以矩形EBCF是黄金矩形． 14.设正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE＝1，∴AE＝＝.又B′E＝BE＝1，∴AB′＝AE－B′E＝－1.又∵AB″＝AB′＝－1，∴AB″∶AB＝(－1)∶2，∴点B″是线段AB的黄金分割点．第4章 相似三角形
4．1 比例线段(第1课时)
1．比例的基本性质＝?________．
2．比例性质：①更比：a∶b＝c∶d?a∶c＝b∶d；②合比：a∶b＝c∶d?(a＋b)：b＝(c＋d)：d；③等比：a∶b＝c∶d?a∶b＝(a＋c)：(b＋d)(b＋d≠0)．
3．注意：当比例的项中出现负数或多项式时应加括号，如2∶(－1)，1∶(2＋)．
A组 基础训练
1．下列各组数中，成比例的是( )
A．－7，－5，14，5
B．－6，－8，3，4
C．3，5，9，12
D．2，3，6，12
2．把ad＝bc写成比例式，下列各式中错误的是( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
3．已知＝，则下列各式不一定成立的是( )
A.＝ B.＝
C.＝
D．()2＝()2
4．若(x＋y)∶(x－y)＝3，则x∶y＝( )
A．3∶1
B．2∶1
C．2∶(－1)
D．3∶(－1)
5．已知＝，则＝________，＝________．
6．如果＝，那么＝________．
7．已知点P(x，y)在正比例函数y＝－x图象上且x＞0，则＝________．
8．已知＝＝，且xyz≠0，求＝________．
9．根据条件，求a与b的比：
(1)3a＝4b； (2)＝.
10．求下列各式中x的值：
(1)3∶x＝6∶12；
(2)x∶(x＋2)＝(2－x)∶3.
11．判断2－，1，2，2＋四个数是否成比例，如果成比例，试写出一个比例式．
12．已知＝，求证：＝.
B组 自主提高
13．若a∶b＝3∶2，b∶c＝5∶4，则a∶b∶c＝( )
A．3∶2∶4 B．6∶5∶4
C．15∶10∶8 D．15∶10∶12
14.已知＝＝＝k，则k＝________．
15．已知三个数1，2，，请你再添一个数(只添一个)，使它们能构成一个比例式，试求这个数．
16．操场上有一群学生在玩游戏，其中男生与女生的人数比是2∶1，后来又有5名女生参加进来，此时男生与女生人数的比为4∶3，则原来各有多少名男生和女生？
C组 综合运用
17.已知点(a，1)，(a＋2，a)在一个正比例函数的图象上，
(1)求a的值；
(2)写出这个正比例函数的表达式．
参考答案
【课堂笔记】
1．ad＝bc
【课时训练】
1－4.BDBB 5. － 6. 7.－ 8.－1
9．(1)＝ (2)＝ 10.(1)由比例的基本性质可知：6x＝3×12，∴x＝6. (2)由比例的基本性质可知：(2＋x)(2－x)＝3x，∴x2＋3x－4＝0，∴x1＝－4，x2＝1.
11．成比例，答案不唯一，如＝. 12.设＝＝k，∴a＝bk，c＝dk，∴＝＝，＝＝，∴＝. 13.C 14.2或－1 15.设这个数为x，分三种情形讨论：①当x与1是两内项时，x＝2；②当x与2是两内项时，x＝；③当x与是两内项时，x＝.故这个数为2或或. 16.设原来有女生x人，则男生有2x人，∴2x：(x＋5)＝4∶3，解得x＝10，答：原来有男生20人，女生10人． 17.(1)∵点(a，1)，(a＋2，a)在一个正比例函数的图象上，∴1∶a＝a∶(a＋2)，∴a2＝a＋2，解得：a＝2或－1； (2)当a＝2时，k＝0.5；当a＝－1时，k＝－1.∴这个正比例函数的表达式为y＝0.5x或y＝－x.第4章 相似三角形
4．1 比例线段(第2课时)
1．两条线段的长度的比叫______________．
2．如果四条线段a，b，c，d满足＝，则称这四条线段a，b，c，d为比例线段，简称比例线段．
A组 基础训练
1．如图，C是线段AB上的一点，且AC∶CB＝2∶3，那么AB∶BC等于( )
第1题图
A．2∶3 B．5∶3
C．3∶2 D．3∶5
2．A旅游区到B旅游区之间的距离为105km，在一张比例尺为1∶2000000的交通旅游图上，它们之间的距离大约相当于( )
A．一根火柴的长度 B．一支钢笔的长度
C．一支铅笔的长度 D．一根筷子的长度
3．如图，已知C是线段AB上的一点，D是AB延长线上的一点，且＝，若AB＝8，AC＝3.2，则BD的长为( )
第3题图
A．2.5 B．11.2
C．12 D．25.6
第4题图
4．如图，画线段AB的垂直平分线交AB于点O，在这条垂直平分线上截取OC＝OA，以点A为圆心，AC为半径画弧交AB于点P，则线段AP与AB的比是( )
A.∶2
B．1∶
C.∶
D.∶2
5．已知a∶b＝4∶5，a＋b＝27，则a－b＝________．
6．在比例尺1∶200000的某市交通图上，人民广场与解放碑之间的距离约为10cm，则它们之间的实际距离约为________km.
7．(1)正方形的边长与对角线的比是________；等边三角形的边长与高的比是________；
(2)若△ABC的三个内角的比为1∶2∶3，则这个三角形的三边长的比为____________．
8．已有长为3cm，40cm，5cm的三条线段，添一条线段，使这四条线段成为比例线段，则可添的线段长度为__________________________．
9．如图，一幅矩形油画的长为40cm，宽为25cm，此幅油画的外围镶有画框，已知画框的宽度为5cm，则画框内外所构成的两个矩形的长和宽成比例吗？说明理由．
第9题图
10．已知：如下图所示，在△ABC中，AB＝12，AE＝6，EC＝4，且＝，求AD的长．
第10题图
B组 自主提高
11．将两块长为a米，宽为b米的长方形红布，加工成一个长为c米，宽为d米的长方形，有人就a，b，c，d的关系写出了如下四个等式，不过他写错了一个，写错的那个是( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
12.如图，在?ABCD中，DE⊥AB于点E，BF⊥AD于点F.
(1)AB，BC，BF，DE这四条线段能否成比例？如不能，请说明理由；如能，请写出比例式；
(2)若AB＝10，DE＝2.5，BF＝5，求BC的长．
第12题图
13．如图，已知在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝8，BC＝6.
(1)求CD，BD的长；
(2)判断DB，CD，BC，AC这四条线段是否成比例？
第13题图
C组 综合运用
14.如图，在△ABC中，已知∠B＝30°，∠C＝45°.
(1)求；
(2)求AB∶AC∶BC.
第14题图
参考答案
【课堂笔记】
1．这两条线段的比
【课时训练】
1－4.BACD 5.－3 6.20 7.(1)1∶ 2∶ (2)1∶∶2 8.cm或24cm或cm 9.不成比例，∵≠，∴不成比例． 10.设AD＝x，则＝，所以4x＝6(12－x)，得x＝，所以AD＝. 11.D 12.(1)成比例，∵S?ABCD＝AB×DE＝AD×BF，∴＝，∵AD＝BC，∴＝； (2)BC＝5. 13.(1)CD＝4.8，BD＝3.6； (2)∵＝＝，∴这四条线段成比例． 14.(1)过A作AD⊥BC于D，设AD＝x，∵∠B＝30°，∠C＝45°，∴AB＝2AD＝2x，AC＝AD＝x，∴＝＝； (2)由(1)得BD＝x，CD＝x，∴BC＝(＋1)x，∴AB∶AC∶BC＝2∶∶(＋1)．
