4.4 两个三角形相似的判定(第3课时)
三边对应___________的两个三角形相似．
判定两个三角形相似的常规思路：①先找两对对应角相等；②若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；③若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例；另外还可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．
A组 基础训练
1．可以判断△ABC∽△A′B′C′的条件是( )
A．∠A＝∠A′
B.＝，且∠C＝∠C′
C.＝＝
D.＝，且∠B＝∠B′
2．已知△ABC的三边长分别为2，5，6.△DEF的三边长如以下四个选项所列．若要使△DEF∽△ABC，则△DEF的三边长分别为( )
A．3，6，7 B．6，15，18
C．3，8，9 D．8，10，12
第3题图
3．如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，有下列条件：①∠AED＝∠B；②＝；③＝，其中能够判断△ADE与△ACB相似的有( )
A．①② B．①③
C．①②③ D．①
4．下列四组三角形中，根据条件不能判断△ABC与△DEF相似的是( )
5．已知两个三角形的三边分别为1，，和，，2，则两个三角形________(填“相似”或“不相似”)
6．给出下列命题：①顶角相等的两等腰三角形相似；②底角相等的两等腰三角形相似；③两直角边对应成比例的两直角三角形相似；④有一角对应相等的两直角三角形相似．其中真命题有___________(填序号)．
第7题图
7．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．在如图所示的5×5的方格纸中，作格点三角形ABC和格点三角形OAB相似(相似比不为1)，则点C的坐标是_________________．
8．如下图，在△ABC与△DEF中，∠B＝∠E＝90°，则△ABC与△DEF相似吗？说明理由．
第8题图
9．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求证：△ABC∽△EFD.
第9题图
10．如图，已知＝＝.求证：∠BAD＝∠CAE.
第10题图
B组 自主提高
11.如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，⑤△HGF，⑥△EKF.在②～⑥中，与①相似的三角形的序号是___________．
第11题图
12.要做两个形状相同的三角形框架，其中一个框架的三边长分别是4，5，6，另一个框架的一边长是2，怎样选料可使这两个三角形相似？
13.如图，四边形ABCD，DCFE，EFGH是三个正方形，求∠1＋∠2＋∠3的度数．
第13题图
C组 综合运用
14.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
(1)试证明△ABC是直角三角形；
(2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点，并且与△ABC相似(要求：不写作法与证明)．
第14题图
参考答案
【课堂笔记】
成比例
【课时训练】
1－4.CBAB 5.相似 6.①②③ 7.(4，0)或(3，2) 8.在△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，AB＝4，∴BC＝3，在△DEF中，∠E＝90°，DF＝10，EF＝6，∴DE＝8，∴＝＝＝2，∴△ABC∽△DEF. 9.∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴＝＝＝，∴△ABC∽△EFD.
10．∵＝＝，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE. 11.③④⑤ 12.设另外两边长为x，y，两分三种情况，当2为最小边时，＝＝得x＝2.5，y＝3；当2为最大边时，＝＝得x＝，y＝；当2为中间边长时＝＝得x＝，y＝.∴选料为和或2.5和3或和. 13.显然∠3＝45°，CF＝1，AC＝，AF＝，CG＝2，AG＝.∴＝＝＝.∴△ACF∽△GCA.∴∠1＝∠CAF，∴∠1＋∠2＝∠CAF＋∠2＝∠3＝45°.∴∠1＋∠2＋∠3＝90°. 14.(1)根据勾股定理，得AB＝2，AC＝，BC＝5，显然有AB2＋AC2＝BC2，根据勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形； (2)△ABC和△DEF相似．根据勾股定理，得AB＝2，AC＝，BC＝5，DE＝4，DF＝2，EF＝2.∵＝＝＝，∴△ABC∽△DEF； (3)如图，△P2P4P5即为所求．
第14题图4.4 两个三角形相似的判定(第2课时)
1．两边对应成比例，且_________相等的两个三角形相似．
2．两边对应成比例，且一边的对角对应相等的两三角形不一定相似．
A组 基础训练
1．已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是( )
A.＝
B.＝
C．∠B＝∠D D．∠C＝∠AED
第1题图
第2题图
2．已知△MNP如图所示，则下列四个三角形中与△MNP相似的是( )
第3题图
3．如图，在△ABC中，P为AB上一点，有下列四个条件：①∠B＝∠ACP；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP·AB；④AB·CP＝AP·CB.其中能使△APC和△ACB相似的条件是( )
A．①②④ B．①③④
C．②③④ D．①②③
第4题图
4．如图所示，在等边△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，且＝，AE＝BE，则有( )
A．△AED∽△BED
B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD
D．△BAD∽△BCD
5．如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝b，CB＝a，若△ACB∽△CBD，写出BD与a，b之间满足的关系式____________．
第5题图
第6题图
6．如图，BC平分∠ABD，AB＝4，BD＝6，当BC＝________时，△ABC∽△CBD.
7．如图，DE与BC不平行，当＝________时，△ABC与△AED相似．
第7题图
第8题图
8．如图，有一池塘，要测量两端A，B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD＝CA，连结BC并延长至E，使CE＝CB，连结ED，如果量出DE长为25m，那么池塘宽AB为________m.
9．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3.在线段AB上是否存在一点P，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似？若不存在，请说明理由；若存在，求出AP线段的长．
第9题图
10.如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以4cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟△PBQ与△ABC相似？
第10题图
B组 自主提高
11．如图，边长为a的三个正方形拼成一个矩形AEDF，则∠1＋∠2的度数为________．
第11题图
12.如图，△ABC是等边三角形，D，E在BC边所在的直线上，且BC2＝BD·CE.
(1)求证：△ABD∽△ECA；
(2)求∠DAE的度数．
第12题图
13.如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E.
(1)求证：△ADE∽△BCE；
(2)如果AD2＝AE·AC，求证：CD＝CB.
第13题图
C组 综合运用
14.如图，已知P是正方形ABCD边BC上一点，BP＝3PC，Q是CD的中点．
(1)求证：△ADQ∽△QCP；
(2)若AB＝10，连结BD交AP于点M，交AQ于点N，求BM，QN的长．
第14题图
参考答案
【课堂笔记】
1．夹角
【课时训练】
1－4.BCDB 5.BD＝ 6.2 7. 8.50 9.存在点P，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似，这样的点P有3个．理由如下：要使△PAD和△PBC相似，因为∠A＝∠B＝90°，根据两边成比例，夹角相等的两个三角形相似，应有＝或＝.设AP＝x(0
第13题图
(2)如图，∵AD2＝AE·AC，∴＝，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，∴∠AED＝∠ADC，又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，即∠AED＝90°，∴直径AC⊥BD，∴＝，∴CD＝CB. 14.(1)证明：∵正方形ABCD中，BP＝3PC，Q是CD的中点，∴PC＝BC，CQ＝DQ＝CD，且BC＝CD＝AD，∴PC∶DQ＝CQ∶AD＝1∶2，∵∠PCQ＝∠ADQ＝90°，∴△ADQ∽△QCP； (2)易证△BMP∽△DMA，∴BM∶DM＝BP∶AD＝3∶4，∵AB＝10，∴BD＝10，∴BM＝，同理QN＝.4.4 两个三角形相似的判定(第1课时)
1．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形_______．
2．有__________________的两个三角形相似．
A组 基础训练
1．下列各组中两个图形不一定相似的是( )
A．有一个角是35°的两个等腰三角形
B．两个等腰直角三角形
C．有一个角是120°的两个等腰三角形
D．两个等边三角形
2．如图，△ABC中，D，E分别在AC，AB上，∠1＝∠B，则下列各式成立的是( )
第2题图
A.＝
B.＝
C．AD·AC＝AE·AB
D．AC·AE＝AD·AB
第3题图
3．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，则图中相似三角形的对数有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
第4题图
4．(新疆中考)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，向点B运动，设E点的运动时间为t秒(0≤t＜4)，连结DE，当△BDE与△ACB相似时，t的值为( )
A．2
B．0.5或2
C．3.5 D．2或3.5
5．如图，∠1＝∠2，请补充条件：____________(写一个即可)，使△ABC∽△ADE.
第5题图
第6题图
6．如图，DE∥AC，BE∶EC＝2∶1，AC＝12，则DE＝________．
7．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，点D在边AB上，∠ACD＝∠B，则AD的长为________．
第7题图
第8题图
8．如图，在?ABCD中，点E在DC上，若DE∶EC＝1∶2，则BF∶BE＝________．
9．(益阳中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE.
第9题图
10.已知：如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，过A，D，C三点的圆交DE的延长线于F.求证：△FCE∽△ABC.
第10题图
B组 自主提高
第11题图
11．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线分别交⊙O，BC于点D，E，连结BD，则图中相似三角形有( )
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
12.如图，已知E是平行四边形ABCD中的DA边延长线上的一点，且AE＝AD，连结EC，分别交AB，BD于点F，G.
(1)求证：AF＝BF；
(2)若BD＝12，求DG的长．
第12题图
13.(武汉中考)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，O是AC边上一点，连结BO交AD于点F，OE⊥OB交BC于点E，求证：△ABF∽△COE.
第13题图
C组 综合运用
14.如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于点G，连结FG.
(1)写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对；
(2)如果α＝45°，AB＝4，AF＝3，求FG的长．
第14题图
参考答案
【课堂笔记】
1．相似 2.两个角对应相等
【课时训练】
1－4.ACCD 5.答案不唯一，如∠B＝∠D 6.8 7. 8.3∶5 9.证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE. 10.∵DE∥BC，∴∠FDA＝∠B.而∠A＝∠F，∠FCE＝∠FDA，∴∠FCE＝∠B.∴△FCE∽△ABC. 11.C 12.(1)证明：∵平行四边形ABCD，∴BC∥AD，BC＝AD＝AE，∴△BFC∽△AFE，∴AF∶BF＝AE∶BC＝1∶1，即AF＝BF. (2)∵BC∥AD，∴△BGC∽△DGE，∴BG∶DG＝BC∶DE＝1∶2，又∵BD＝12，∴DG＝8. 13.证明：∵AD⊥BC，∴∠DAC＋∠C＝90°，∵∠BAC＝∠BAF＋∠DAC＝90°，∴∠BAF＝∠C.∵OE⊥OB，∴∠BOA＋∠COE＝90°，∵∠BOA＋∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠COE.∴△ABF∽△COE. 14.(1)△AMF∽△BGM∽△MGF，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM.下面证明△AMF∽△BGM.∵∠A＝∠B＝∠DME＝α，∠AFM＝∠DME＋∠E，又∵∠BMG＝∠A＋∠E，∴∠AFM＝∠BMG，∴△AMF∽△BGM； (2)由α＝45°，可知AC⊥BC且AC＝BC，∵M为AB的中点，AB＝4，∴AM＝BM＝2，∴AC＝BC＝4，∵△AMF∽△BGM，∴＝，即AF·BG＝AM·BM，又∵AF＝3，∴BG＝.∵AC＝BC＝4，∴CG＝4－＝，CF＝1，∴FG＝＝.
