4.5 相似三角形的性质及其应用(第3课时)
1．在同一时刻，两个物体的高度和影长是成比例的．
2．若物体的高度和宽度不能被直接测量，则一般思路是根据题意和所求建立相关的相似三角形的模型，然后根据相似三角形的性质以及比例关系等来求解．
A组 基础训练
1．如图，身高1.6m的小利(CE)站在距路灯杆5m的C点处，测得她在灯光下的影长CD为2.5m，则路灯的高度AB为( )
A．5m B．4.8m C．2.5m D．4m
第1题图
第2题图
2．如图，铁路道口的栏道木短臂长1m，长臂长16m，当短臂的端点下降0.5m时，长臂的端点升高( )
A．11.25m B．6.6m
C．8m
D．10.5m
第3题图
3．如图，王华在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离EB＝20米，镜子与王华的距离ED＝2米时，王华刚好从镜子中看到铁塔顶端点A，已知王华的眼睛距地面的高度CD＝1.5米，则铁塔AB的高度是( )
A．15米 B.米 C．16米 D．16.5米
4．将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于________．
第4题图
第5题图
5．如图所示的是用来测量小管口径的量具，AB长为5mm，AC被分为50等份，若小管口径DE正好对着量具上30份处(DE∥AB)，则小管口径DE的长为________mm.
第6题图
6．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝________m.
7.如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料．为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形(阴影部分)铁片备用，当截取的矩形面积最大时，求矩形两边长x，y.
第7题图
B组 自主提高
8.如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度( )
第8题图
A．增大1.5米 B．减小1.5米
C．增大3.5米 D．减小3.5米
第9题图
9．(遵义中考)如图，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝________里．
10.如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的标杆竖直放置时影长2米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面(BC)上，有一部分落在斜坡(CD)上，他测得落在地面上的影长为10米，留在斜坡上的影长为2米，∠DCE＝45°，则旗杆的高度为多少米？(结果保留根号)
第10题图
C组 综合运用
11.(绍兴中考)课本中有一道作业题：
有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120mm，高AD＝80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm?
小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．
(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算；
(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
第11题图
参考答案
【课时训练】
1－3.BCA 4. 5.3 6.5.5
第7题图
7．过点D作DE⊥OC于点E，∵NH∥DE，∴△CNH∽△CDE，∴＝，∵CH＝24－y，CE＝24－8，DE＝OA＝20，NH＝x，∴＝，得x＝·(24－y)，∴矩形面积S＝xy＝－(y－12)2＋180，∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
8.D 9.1.05
第10题图
10．延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥FC于点E，∵CD＝2米，∠DCE＝45°，∴DE＝CE＝，∵同一时刻物高与影长成正比，∴＝，解得EF＝2DE＝2，∵DE⊥BC，AB⊥BC，∴△EDF∽△BAF，∴＝，即＝，∴AB＝5＋，答：旗杆的高度为米．
11．(1)设矩形的边长PN＝2y(mm)，则PQ＝y(mm)，由条件可得△APN∽△ABC，∴＝，即＝，解得y＝，∴PN＝×2＝(mm)，答：这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm； (2)设PN＝x(mm)，矩形PQMN的面积为S(mm2)，由条件可得△APN∽△ABC，∴＝，即＝，解得PQ＝80－x.∴S＝PN·PQ＝x(80－x)＝－x2＋80x＝－(x－60)2＋2400，∴S的最大值为2400mm2，此时PN＝60mm，PQ＝80－×60＝40(mm)．4.5 相似三角形的性质及其应用(第1课时)
1．相似三角形的性质：相似三角形对应边上的高线、中线、对应角的角平分线之比都等于___________．
2．重心的定义及性质：三角形三条___________的交点叫做三角形的重心．三角形的重心分每一条中线成___________的两条线段．
A组 基础训练
1．两个相似三角形的对应高线之比为1∶2，那么它们的对应中线之比为( )
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶8
2．如图，已知点D是△ABC的重心，则下列结论不正确的是( )
A．AD＝2DE B．AE＝2DE
C．BE＝CE
D．AE＝3DE
第2题图
第3题图
3．如图，△ABC中，E在AD上，且E是△ABC的重心，若S△ABC＝36，则S△DEC等于( )
A．3 B．4 C．6 D．9
4．如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2m，CD＝5m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是( )
第4题图
A.m
B.m
C.m
D.m
5．两个相似三角形对应边的比为3∶5，那么对应边上的中线之比为________．
6．已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，且＝，B′D′＝4，则BD的长为________．
第7题图
7．如图，△ABC的中线AD，CE相交于O，EF∥BC交AD于F，则OD∶FA＝________．
8．已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，G是△ABC的重心，则AG＝________．
9.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，其中BC＝6cm，高AD＝4cm，现在要把它裁剪成一个正方形材料备用，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，问这个正方形材料的边长是多少？
第9题图
10.已知在△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，AB＝8.
(1)求线段GC的长；
(2)过点G的直线MN∥AB，交AC于点M，交BC于点N，求MN的长．
第10题图
B组 自主提高
第11题图
11．如图，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D是边AB上的一点，∠ACD＝∠B，∠BAC的平分线AQ分别与CD，BC交于点P，Q，那么＝______．
12.如图，△ABC中，D为AB上一点，且＝＝k，AE⊥CD于E，AF⊥BC于F.求证：＝k.
第12题图
13.如图，在△ABC中，G是△ABC的重心，AG⊥GC，AG＝3，CG＝4，求BG的长．
第13题图
C组 综合运用
14.(乐山中考)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M为AD中点，连结CM交BD于点N，且ON＝1.
(1)求BD的长；
(2)若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．
第14题图
参考答案
【课堂笔记】
1．相似比 2.中线 1∶2
【课时训练】
1－4.ABCC 5.3∶5 6.6 7.2∶3 8.2 9.设正方形边长为xcm，则AP＝AD－PD＝4－x.∵△AEH∽△ABC，∴＝，∴＝，∴x＝2.4.答：正方形材料的边长是2.4cm. 10.(1)延长CG交AB于点D.∵点G是△ABC的重心，∴CD为AB边上的中线，CG＝CD.又∵∠C＝90°，∴CD＝AB＝4，∴CG＝CD＝. (2)∵MN∥AB，∴△CMN∽△CAB，∴＝.同理，可证△CMG∽△CAD，∴＝，∴＝＝，∴MN＝AB＝. 11. 12.证明：∵＝＝k，∠BAC＝∠CAD，∴△ACD∽△ABC，∴＝＝k. 13.延长BG，交AC于D，G是重心，∴D是AC中点，∵AG⊥GC，∴△AGC是
第13题图
直角三角形，根据勾股定理，可得AC＝5，∴GD是AC边上的中线，∵GD＝AC＝2.5，∴根据重心定理，BG＝2GD＝5. 14.(1)∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，∴∠DMN＝∠BCN，∠MDN＝∠NBC，∴△MND∽△CNB，∴＝，∵M为AD中点，∴MD＝AD＝BC，即＝，∴＝，即BN＝2DN，设OB＝OD＝x，则有BD＝2x，BN＝OB＋ON＝x＋1，DN＝x－1，∴x＋1＝2(x－1)，解得：x＝3，∴BD＝2x＝6； (2)∵△MND∽△CNB，且相似比为1∶2，∴MN∶CN＝DN∶BN＝1∶2，∴S△MND＝S△CND＝1，S△BNC＝2S△CND＝4.∴S△ABD＝S△BCD＝S△BCN＋S△CND＝4＋2＝6.∴S四边形ABNM＝S△ABD－S△MND＝6－1＝5.4.5 相似三角形的性质及其应用(第2课时)
1．相似三角形的周长之比等于___________．
2．相似三角形的面积之比等于___________．
A组 基础训练
1．若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为( )
A．1∶2 B．1∶4
C．1∶5 D．1∶16
2．(广东中考)在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为( )
A. B. C. D.
3．(内江中考)如图，在?ABCD中，E为CD上一点，连结AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF∶S△ABF＝4∶25，则DE∶EC＝( )
A．2∶5 B．2∶3
C．3∶5 D．3∶2
第3题图
第4题图
4．如图，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半，若AB＝，则此三角形移动的距离AA′是( )
A.－1 B.
C．1 D.
5．若两个相似三角形的相似比为2∶3，则它们的周长之比为________，面积之比为________．
6．地图上为1cm2的面积实际面积为400m2，则该地图的比例尺为________．
7．如图，⊙O的两弦AB，CD交于点P，连结AC，BD，得S△ACP∶S△DBP＝16∶9，则AC∶BD＝________．
第7题图
第8题图
8.(酒泉中考)如图，D，E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE∶S△CDE＝1∶3，则S△DOE∶S△AOC的值为________．
9．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2BD.
(1)若△ADE的周长为6，求△ABC的周长；
(2)若S梯形BCED＝20，求S△ADE.
第9题图
10．已知两个相似三角形的一对对应边长分别是35cm和14cm.
(1)已知它们的周长相差60cm，求这两个三角形的周长；
(2)已知它们的面积相差588cm2，求这两个三角形的面积．
B组 自主提高
第11题图
11．如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为( )
A．a B.a
C.a D.a
第12题图
12．如图，Rt△ABO与反比例函数y＝－(x＜0)的图象交于点D，且OD＝2AD，过D作DC⊥x轴于点C，则S四边形ABCD＝________．
13.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.已知△ADE和△EFC的面积分别为4cm2和9cm2，求△ABC的面积．
第13题图
C组 综合运用
14.如图，已知在△ABC中，D是BC的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于F.
(1)求证：△ABC∽△FCD；
(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求△ABC的边BC上的高AM及ED的长．
第14题图
参考答案
【课堂笔记】
1．相似比 2.相似比的平方
【课时训练】
1－4.ACBA 5.2∶3 4∶9 6.1∶2000 7.4∶3 8.1∶16 9.(1)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝.∵AD＝2BD，∴＝，又∵C△ADE＝6，∴＝，∴C△ABC＝9； (2)＝()2＝，∴＝，∴S△ADE＝16. 10.(1)∵相似三角形的对应边长分别是35cm和14cm，∴这两个三角形的相似比为5∶2，∴这两个三角形的周长比为5∶2.∵它们的周长相差60cm，设较大的三角形的周长为5xcm，较小的三角形的周长为2xcm，∴5x－2x＝60，∴x＝20，∴5x＝5×20＝100(cm)，2x＝2×20＝40(cm)，∴较大的三角形的周长为100cm，较小的三角形的周长为40cm； (2)∵这两个三角形的相似比为5∶2，∴这两个三角形的面积比为25∶4.∵它们的面积相差588cm2，设较大的三角形的面积为25xcm2，较小的三角形的面积为4xcm2，∴(25－4)x＝588，∴x＝28，∴25x＝25×28＝700(cm2)，4x＝4×28＝112(cm2)，∴较大的三角形的面积为700cm2，较小的三角形的面积为112cm2. 11.C 12.10 13.∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠AED＝∠C，∠A＝∠FEC，∴△ADE∽△EFC，∴＝＝，∴＝，∴＝，∵△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴S△ABC＝25cm2. 14.(1)证明：∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD.∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，∴EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB.∴△ABC∽△FCD； (2)∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，∴＝()2＝＝.∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20.又∵S△ABC＝×BC×AM，BC＝10，∴AM＝4.又DM＝CM＝CD，DE∥AM，∴DE∶AM＝BD∶BM＝，∴DE＝.
