第2章 直线与圆的位置关系 单元测试卷（含解析）

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九年级下册数学
直线与圆的位置关系
单元测试卷
（满分120分）
题号
一
二
三
总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则以2.5为半径的⊙C与直线AB的位置关系是(
)
A.
相交
B.
相离
C.
相切
D.
无法确定
如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB=55?，则∠APB等于（?
?
?）
A.
55?
B.
110?
C.
70?
D.
60?
如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若，则AB长为(
?
)
A.
4
B.
C.
8
D.??
如图，PA、PB切⊙O于点A、B，直线FG切⊙O于点E，交PA于F，交PB于点G，若PA＝8cm，则△PFG的周长是（?
?
?）
A.
8cm
B.
12cm
C.
16cm
D.
20cm
已知⊙O的半径是3，直线l是⊙O的切线，P是l上的任一点，那么（
）
0＜OP＜3
B.
OP＝3
C.
OP＞3
D.
OP≥3
下列命题中正确的是（
）
A.
与圆有公共点的直线是圆的切线
B.
经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的直径
C.
垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D.
到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
如图，形如的方程的图解是：画，使，，，再以B为圆心，长为半径画弧，分别交边及延长线于点D、E，则该方程的一个正根是（???
）
A.
的长
B.
的长
C.
的长
D.
的长
如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，以O为圆心，1cm为半径作圆，当O从点P出发以2cm/s速度向右作匀速运动，经过ts与直线a相切，则t为（
）
A.
2s
B.
s或2s
C.
2s或s
D.
s或s
已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（－1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是(
)
A.
B.
1
C.
2－
D.
2－
已知AC⊥BC，BC＝a，CA＝b，AB＝c，下列选项中⊙O的半径为的是（
）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
设的半径为R，圆心O到直线的距离为d，若d、R是方程的两根，则直线Z与相切时，m的值为______．
如图，∠ACB=30°，点O是CB上的一点，且OC=6，则以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为______．
如图,量角器的度刻度线为.将一矩形直尺与量角器部分重叠、使直尺一边与量角器相切于点,直尺另一边交量角器于点，量得,点在量角器上的读数为.则该直尺的宽度为_______
如图，矩形中，，以为直径的半圆与相切于点，连接，则阴影部分的面积为__________________．（结果保留）
如图，在中，，I是内心，O是外心，则______．
如图，已知的半径为3，圆心P在抛物线上运动，当与x轴相切时，圆心P的坐标为______．
如图所示，在平面直角坐标系中，在x轴正半轴上选取点A1，A2，A3，…，An；以A1A2，A2A3，A3A4，…，AnAn+1为边作等边△A1A2B1，△A2A3B2，…，△AnAn+1Bn；顶点B1，B2，B3，…，Bn在直线l上，且∠B1OA1=30°，分别作△A1A2B1，△A2A3B2，…，△AnAn+1Bn的内切圆O1，O2，O3，…，On，若⊙O1的半径为1，则⊙On的半径为______．（用含正整数n的式子表示）
如图所示，在△ABC中，∠A＝45°，，AC＝6，点D，E为边AC上的点，AD＝1，CE＝2，点F为线段DE上一点（不与D，E重合），分别以点D、E为圆心，DF、EF为半径作圆．若两圆与边AB，BC共有三个交点时，线段DF长度的取值范围是________．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）
如图，等腰三角形ABC中，．
用尺规作出圆心在直线BC上，且过A、C两点的；注：保留作图痕迹，标出点O，并写出作法
若，求证：AB与中所作相切．
如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．点E是BC上一点，BE=6，tan∠ABC=，tan∠AEC=，求圆的直径．
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．
（1）判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．
如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB延长线于点F．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O半径为5，CD＝6，求DE的长；
如图，⊙O的直径AB＝12，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，分别交AM，BN于点D，C．设AD＝x，BC＝y，求y关于x的函数解析式．
如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：△PCF是等腰三角形；
（2）若tan∠ABC＝，BE＝7，求线段PC的长．
如图直角坐标系中，以M（3，0）为圆心的⊙M交x轴负半轴于A，交x轴正半轴于B，交y轴于C、D．
(1)若C点坐标为（0，4），求点A坐标．
(2)在（1）的条件下，在⊙M上，是否存在点P，使∠CPM＝45°，若存在，求出满足条件的点P．
(3)过C作⊙M的切线CE，过A作AN⊥CE于F，交⊙M于N，当⊙M的半径大小发生变化时．AN的长度是否变化？若变化，求变化范围，若不变，证明并求值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
设点C到直线AB的距离为d，
∵S△ABC=AB×d=×AC×BC
∴5d=12
∴d=
∵d＜r=2.5
∴⊙C与直线AB的位置关系为相交
2.【答案】C
【解析】解：如图，连接OA、OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，
∴∠OAP=90°，∠OBP=90°，
∵∠AOB+∠OAP+∠OBP+∠APB=360°，
∴∠AOB+90°+90°+∠APB=360°，
∴∠AOB+∠APB=180°，
∵∠ACB=55°，
∴∠AOB=110°，
∴∠APB=180°-110°=70°
3.【答案】C
【解析】连接OC，利用切线的性质知OC⊥AB，由垂径定理得AB=2AC，因为tan∠OAB=，易得=，代入得结果．
4.【答案】C
【解析】根据切线长定理得到PB=PA=8cm，FA=FE，GE=GB，根据三角形的周长公式计算.
5.【答案】D
【解析】解：当点P为直线l与⊙O的切点时，连接OP，
则OP⊥直线l，∴OP=3，
根据垂线段最短可知，OP的最小值时3，∴OP≥3
6.【答案】D
【解析】解：A.与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项错误；
B.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，不是圆的直径，故该选项错误；
C.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故该选项错误；
D.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线，正确.
故选D．
7.【答案】A
【解析】解：设AE=x，则AD=x-6a，
由切线长定理可得：AC2=AD?AE，
b2=（x-6a）?x，
即x2-6ax=b2，
该方程的一个正根是AE的长.
8.【答案】D
【解析】本题考查了切线的性质以及分类讨论；熟练掌握切线的性质是解题的关键．当点O在点H的左侧⊙O与直线a相切时，OP=PH-OH；当点O在点H的右侧⊙O与直线a相切时，OP=PH+OH，即可得出结果．
9.【答案】C
【解析】解：若△ABE的面积最小，则BE的长最短，则AD与⊙C相切，连接CD，则CD⊥AD，
Rt△ACD中，CD=1，AC=OC+OA=3；
由勾股定理，得：AD=2；
∴S△ACD=AD?CD=；
易证得△AOE∽△ADC，
∴=()2=()2=，
即S△AOE=S△ADC=；
∴S△ABE=S△AOB-S△AOE=×2×2-=2-
10.【答案】D
【解析】解：A、连接OE、OD，
∵AC、BC分别切圆O于E、D，
∴∠OEC=∠ODC=∠C=90°，
∵OE=OD，
∴四边形OECD是正方形，∴OE=EC=CD=OD，
设圆O的半径是r，
∵OE∥BC，∴∠AOE=∠B，
∵∠AEO=∠ODB，
∴△ODB∽△AEO，
=，
=?解得：
r=，
故本选项错误；
B、设圆的半径是x，圆切AC于E，切BC于D，切AB于F，
同样得到正方形OECD，AE=AF，BD=BF，则a-x+b-x=c，
∴x=
故本选项错误；
C、设圆切AB于F，圆的半径是y，连接OF，
则△BCA∽△OFA，＝，，y＝，
故本选项错误；
D、从上至下三个切点依次为D，E，F；并设圆的半径为x；
∵BD=BF，
∴AD=BD-BA=BF-BA=a+x-c；
又∵b-x=AE=AD=a+x-c；
所以x=，
故本选项正确．
11.【答案】9
【解析】先根据切线的性质得出方程有两个相等的实数根，再根据△=0即可求出m的值．
12.【答案】2个
【解析】解：过O作OD⊥OA于D，
∵∠AOB=30°，OC=6，
∴OD=OC=3＜4，
∴以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为2个，
13.【答案】
【解析】解：连结OC交AD于点E,连结OD,如图：
直尺一边与量角器相切于点C,且直尺两边平行,
OCAD,
AD=10cm,DOB=,
DAO=,OE=cm,OA=cm,
CE=OC-OE=OA-OE=cm.
14.【答案】?4π
【解析】解：连接OE，如图，
?
∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，
∴OD=CD=4，OE⊥BC，
∴四边形OECD为正方形，
∴由弧DE、线段EC、CD所围成的面积S=S正方形OECD-S扇形EOD=42-=16-4π，
∴阴影部分的面积=S△BCD-S=×4×8-（16-4π）=4π
15.【答案】125°
【解析】解：∵∠BOC=140°，O为外心，∴∠A=BOC=70°，
∵I为内心，∴∠IBC=ABC，∠ICB=ACB，
∴∠IBC+∠ICB
=（∠ABC+∠ACB）=（180°-70°）=55°，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-55°=125°
16.【答案】、或(0，-3）
【解析】解：与x轴相切，
点P到x轴的距离为3，
即P点的纵坐标为3或-3，
当y=3时，，解得，，则P点坐标为或；
当时，，解得，则P点坐标为(0，-3），
综上所述，圆心P的坐标为、或(0，-3）．
17.【答案】2n-1
【解析】解：∵△A1A2B1是等边三角形，内切圆半径为1，
∴△A1A2B1的边长为，
∵∠A1OB1=30°，∠B1A1A2=∠A1OB1+∠A1B1O=60°，
∴∠A1OB1=∠OB1A1
∴OA1=A1B1=A1A2=，
同法可证OA2=A2B2=A2A3=2，OA3=A3B3=A3A4=4，
∴⊙O2的半径=×=2，⊙O3的半径为×4=22，…，
由此可知⊙On的半径为2n-1
18.【答案】或
【解析】解：如图，过点D作DM⊥AB于点M，过点E作EN⊥AB于点N，
∵∠A=45°，AD=1，
∴DM=，
∴若两圆与边AB，BC共有三个交点，
则此时，
∵CE=2，AC=6，
∴AE=4，
∵∠A=45°，
∴EN=，
∴若两圆与边AB，BC共有三个交点，
则此时，
∴，
故答案为或.
19.【答案】（1）解：作法：分别以A、C为圆心，以大于AC的长度为半径画弧，交于M、N两点，连接MN交BC于点O．如图⊙O即为所求．
（2）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C=30°，
∴∠AOB=∠OAC+∠C=60°，
∴∠ABO+∠AOB=90°，
∴∠BAO=90°，
∴AB⊥OA，
∴AB是⊙O的切线．
20.【答案】解：∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠DCB=90°，
∵∠ACD=∠ABC，
∴∠ACD+∠DCB=90°，∴BC⊥CA
在Rt△AEC中，，
∴，，
在Rt△ABC中，，
∴，，
∵BC-EC=BE，BE=6，
∴，解得：，
∴
故圆的直径是10．
21.【答案】解：（1）MN是⊙O切线．
理由：连接OC．
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，
∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，∠BCM=2∠A，
∴∠BCM=∠BOC，
∵∠B=90°，∴∠BOC+∠BCO=90°，
∴∠BCM+∠BCO=90°，∴OC⊥MN，
∴MN是⊙O切线．
（2）由（1）可知∠BOC=∠BCM=60°，∴∠AOC=120°，
在RtBCO中，OC=OA=4，∠BCO=30°，
∴BO=OC=2，BC=2
∴S阴=S扇形OAC-=-=-4．
22.【答案】解：（1）EF与⊙O相切，理由如下：
连接AD，OD，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∴AD⊥BC．
∵AB＝AC，∴CD＝BDBC．
∵OA＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC．
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD．
∴EF与⊙O相切．
（2）由（1）知∠ADC＝90°，AC＝AB＝10，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD8．
∵SACDAD?CDAC?DE，
∴8×610×DE．
∴DE．
23.【答案】?解：过点D作DF⊥BN于点F．
∵AM，BN分别与⊙O切于点A，B，
∴AB⊥AM，AB⊥BN．
又∵DF⊥BN，∴∠BAD＝∠ABC＝∠BFD＝90°，
∴四边形ABFD是矩形，∴BF＝AD＝x，DF＝AB＝12．
∵BC＝y，∴FC＝BC-BF＝y-x．
∵DE切⊙O于点E，∴DE＝DA＝x，CE＝BC＝y，
则DC＝DE+CE＝x+y．
在Rt△DFC中，由勾股定理，得DC2＝FC2+DF2，即(x+y)2＝(y-x)2+122，整理，得，
∴y关于x的函数解析式是（x>0）.
24.【答案】解：（1）过点A作AD⊥PC交PC的延长线于点D，
∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD．?
又∵AD⊥PD，
∴OC∥AD．
∴∠ACO=∠DAC．
又∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
∵AD⊥PD，∴∠DAC+∠ACD=90°．
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．∴∠PCB+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠PCB．
又∵∠DAC=∠CAO，
∴∠CAO=∠PCB．
∵CE平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF，
∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，
∴∠PFC=∠PCF，∴△PCF是等腰三角形．
（2）连接AE．
∵CE平分∠ACB，
∴=，∴．
∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°．
在Rt△ABE中，．????????
∵∠PAC=∠PCB，∠P=∠P，
∴△PAC∽△PCB，
∴．
又∵tan∠ABC=，∴，
∴．
设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，PO=3k+7，OC=7，
∵PC2+OC2=OP2，
∴（4k）2+72=（3k+7）2，
∴k=6（k=0不合题意，舍去）．
∴PC=4k=4×6=24．
25.【答案】解：（1）根据题意，连接CM，又M（3，0），C（0，4）；
故CM＝5，即⊙M的半径为5；.
所以MA＝5，且M（3，0）；即得A（﹣2，0）；
（2）假设存在这样的点P（x，y），结合题意，
可得△CMP为等腰直角三角形，且CM＝PM＝5，
故CP＝5；
结合题意有，；
解之得：、
即存在两个这样的点P；P1（7，3），P2（﹣1，﹣3）；
（3）AN的长不变为6．
证明：连接CM，作MH⊥AN于H，
易证△AMH≌△MCO，
故AH＝MO＝3．
即AN＝HN+AH＝3+3＝6．
【解析】（1）结合题意，连接CM，根据点M和点C的坐标可得出⊙M的半径，即MA的长，利用M的坐标即可得出A的坐标；
（2）假设存在这样的点P，根据题意，可知△CMP为等腰直角三角形，且CM=MP=5．根据圆的方程和两点的距离公式列出方程组，解之即可得出点P的坐标（也可以证明△COM≌△MEP，可求解）；
（3）作MH⊥AN于H，则AH=NH，易证△AMH≌△MCO，故AH=MO．从而可证AH为一定值．
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精品试卷·第
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