反比例函数图象的一个性质及其应用(九年级综合实践课)

九年级综合实践课3 九年级数学备课组（主备人： ）
《反比例函数图象的一个性质及其应用》
利用k的符号可以研究反比例函数（k为非零常数，下略）图象两支的位置分布及函数的变化情况，而|k|的大小与反比例函数的图象有何关系呢？为此，引出对以下问题的研究。
反比例函数与矩形的面积
众所周知，反比例函数的本质特征是两个变量y与x的乘积是一个常数k。由此不难得出反比例函数的一个重要性质：若A点是反比例函数图象上的任意一点，且AB垂直于x轴，垂足为B，AC垂直于y轴，垂足为C，则矩形面积
（如图1所示） 图1
常有不少中考题涉及到反比例函数图象与矩形面积的这种关系。运用上述结论，我们可以很方便地找到解决问题的方法。
例1. 如图所示，P是反比例函数的图象上的一点，由P分别向x轴、y轴引垂线，得阴影部分（矩形）的面积为3，则这个反比例函数的解析式是_____________。
略解：由题意，得又双曲线两支分布在第二、四象限，
所以，故
例2. 如图所示，过双曲线上两点A、B分别作x轴、y轴的垂线，若矩形ADOC与矩形BFOE的面积分别为，则与的关系是（ ）
A. B. C. D. 不能确定略解：由题意，易得故选B。
2. 反比例函数图象与三角形面积
由反比例函数图象与矩形面积的关系，还可引出反比例函数图象与直角三角形面积的关系。
例3. 如图所示，反比例函数在第一象限内的图象，P为该图象上任意一点，PQ垂直于x轴，垂足为Q。设△POQ的面积为S，则S的值与k之间的关系是（）
A. B. C. D.
略解：过P点作PA垂直于y轴，易得故选B。
例4. 如图所示，在的图象上有三点A、B、C，过这三点分别向x轴引垂线，交x轴于三点，连OA、OB、OC，记的面积分别为则有（ ）。
A. B.
C. D.
略解：由前述结论，易得
故选A。
例5. 如图所示，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC平行于y轴，BC平行于x轴，△ABC的面积为S，则（）
A. B. C. D.
略解：设AC交x轴于D点
易得
所以故选C。
例6. 如图所示，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴的垂线，交x轴于B，过C作x轴的垂线，交x轴于D。求证：当k取不同正数时，四边形ABCD的面积是常数。
简证：由题意易得，四边形ABCD为平行四边形，而，
所以，不论k取何正数，总有四边形ABCD面积
课后反思：